六年级奥数,牛吃草问题,教师讲义

1、牛吃草问题讲义牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：(1) 草的生长速度=(对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数)+ (吃的较多天数 吃的较少天数)；(2) 原有草量=牛头数X吃的天数-草的生长速度X吃的天数；(3) 吃的天数=原有草量+(牛头数草的生长速度)；(4) 牛头数=原有草量十吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛

2、吃草问题，给大家开拓一下思维，首先,先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固 定的，一直在均匀变化。典例评析例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃 20天？例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？小学六年级奥数 第-1 -页共6页例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃

3、草两相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量一一即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天 新长出飞草的数量也是不变的。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速 生长的，也就是说每天长的草是不变的；，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解

4、题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是(20 X 10-24 X 6)- (10-6)=14份，原来的草量是(24-14 )X 6=60份。可供18头牛吃60+( 18-14 ) =15天例2因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛

5、吃10天？【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方 法求出每天减少的草量和原来的草的总量【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：(20X 5-16 X 6) + ( 6-5 ) =4份，原来的草量：(20+4)X 5=120 份，可供 11 头牛吃 120 + (11+4)=8 天。总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化， 但是因为是匀速

6、生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。知识衍变小学六年级奥数 第-3 -页共6页牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至， 以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例3自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走 20级台阶，结果小明用了 5分钟，小丽用了 6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”，所以也可以看成是“牛吃草”问题

7、来解答。【思考3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了 6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？15米。蜗牛每夜下降：(20X 5-15 X 6)-( 6-5 ) =10分米所以井深：(20+10)X 5=150分米=15米例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想

8、在 2小时舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键【思考4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：(20X 10-15 X 10)- (20-10)=5份，池内原有的水是：(10-5 )X 20=100份.所以，用25部抽水机需要:100十(25-5)=5小时思维拓展例5有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，

9、4头牛死亡，余下的牛吃了 2天将草吃完，问原来有牛多少头？【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也 就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了 4天后卖掉2头，余下的牛又吃了 4天将草吃完。这群牛原来有多少头？25头。设每头牛每天的吃草量为 1份。每天新生的草量为：(23X 9-27 X 6) + ( 20-10 ) =15份，原有的草量为(2 7-15 )X 6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在 4+4=8天内吃草量72+15X 8

10、+2 X 4=200份。所以这群牛原来有 200十8 =25头例6有三块草地，面积分别为 5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可 供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。例1 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天小学六年级奥数 第-3 -页共6页把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽?摘录条件:27头原有草+6天生长草23头原有草+9天生长草21头?天原有

11、草+?天生长草小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后 两次青草的问题相差为23X9 -27X 6=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那(9-6 ) = 3天生长出来的，所以每天生长的青草为45十3=15现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足 15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的 牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草， 那么在这批牛开始吃 草之前，牧场上有多少青草呢？(27-15) X 6=72那么：第一次吃草量27X 6=162第二次

12、吃草量23X 9=207每天生长草量45 3=15原有草量(27-15 )X 6=72或 162-15X 6=7221头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72十6=12 (天)初中解答：假设原来有的草为 x份，每天长出来的草为 y份，每头牛每天吃草1份。那么可以列方程:x+6y=27X6x+9y=23X9解得 x=72,y=15若放21头牛，设n天可以吃完，则:72+15n=21nn=12例2水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干,若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？摘录条件：5台20天原有水+20天入库量6台15天原有

13、水+15天入库量?台6天原有水+6天入库量小学解答：设1台1天抽水量为"1"，第一次总量为5X20=100,第二次总量为6X 15=90每天入库量(100- 90) - (20 -15)=220天入库 2X 20=40,原有水 100-40=6060+2X 6=7272-6=12 （台）初中解答：假设原来有的水为x份，每天流进来的水为y份，每台机器抽出的水是 1个单位。那么可以列方程：x+20y=20X5x+15y=6X15解得 x=60,y=2若要6天抽完，设n台机器可以抽完，则：60+6X 2=6 nn=12巩固练习1. 一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供

14、10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供25头牛吃天。（）A. 10 B.5 C. 20A假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：（10 X 40-15 X 20） -（ 40-20 ） =5 （份）。那么 愿草量为：10X 40-40 X 5=200 （份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200+ （ 25-5 ） =10 （天）。2. 一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要只羊。（ ）A. 22 B. 23 C. 24B假设1只羊1天吃

15、草的量为1份。每天新生草量是：（14 X 10-20 X 5）-（ 10-5 ） =8 （份）原草量是：20 X 5-8 X 5= 60 （份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：60- 4+8= 23（只）3画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点分。（ ）A. 10 B. 12 C. 15C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。每分钟来的观众人数为（3X 9-5 X 5）-（ 9-5 ） =0.5 （份）到9时止，已来的观众人数为： 3X 9-

16、0.5 X 9= 22.5 （份）第一个观众来到时比 9时提前了： 22.5 - 0.5 = 45 （分）所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。4.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或 可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）亿人。70设1亿人1年所消耗的资源为1份那么地球上每年新生成的资源量为：（80 X 300-100 X 100）-（ 300-100 ） =70 （份）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只

17、能养活：70-仁70 （亿人）5快、中、慢三车同时从 A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、 小学六年级奥数 第-9 -页共6页20 千米、19千米。快车追上自行车用了 6小时，中车追上自行车用了 10 小时，慢车追上自行车用 ( ) 小时。12自行车的速度是：(20X 10-24 X 6) + ( 10-6 ) =14 (千米/小时)三车出发时自行车距 A地：(24-14 )X 6=60 (千米)慢车追上自行车所用的时间为： 60+(19-14) =12(小时)6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24 根抽水管抽水，6小时

18、可以把池中的水抽干，那么用 16根抽水管， ()小时可将可将水池中的水抽干。18 设 1 根抽水管每小时抽水量为 1 份。(1) 进水管每小时卸货量是：(21X 8-24 X 6)+( 8-6) =12(份)(2) 水池中原有的水量为：21 X 8-12 X 8= 72 (份)(3) 16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需： 72+(16-12) =18(小时)7. 某码头剖不断有货轮卸下货物， 又不断用汽车把货物运走， 如用 9 辆汽车， 12 小时可以把它们运完，如果用 8辆汽车， 1 6小时可以把它们运完。如果开始只用 3辆汽车， 1 0小时后增加若干辆，再过 4小时也 能运完，那么后来

19、增加的汽车是()辆。19 设每两汽车每小时运的货物为 1 份。(1) 进水管每小时的进水量为：(8X16-9X 12)+( 16-12) =5(份)( 2)码头原有货物量是：9X 12-12 X 5= 48(份)(3) 3辆汽车运 10 小时后还有货物量是： 48+(5-3 )X 10=68 (份)(4) 后来增加的汽车辆数是：( 68+4X 5)+ 4-3=19 (辆)8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16 头牛吃 20 天，可供 80 只羊吃 12 天。如果一头牛的吃草量等于 4只羊的吃草量，那么 10头牛与 60只羊一起吃可以吃多少天？8天( 1 )按牛的吃草量来计算， 80 只羊相当于 80+ 4=20(头)牛。( 2)设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份。(3) 先求出这片草地每天新生长的草量：(16X20-20X12)+( 20-12) =10(份)(4) 再求出草地上原有的草量： 16 X 20-10 X 20= 120 (份)(5) 最后求出 10头牛与 60只羊一