《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持4文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑一、填空题(每小题3分，共15分)1 .设事件A,B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)P(B)0.5,则A,B至少有一个不发生的概率为.答案：0.3解：即所以P(AB)P(AB)1P(AB)0.9.2 .设随机变量X服从泊松分布，且P(X1)4P(X2),则P(X3).答案：解答：2由P(X1)4P(X2)知ee2e即2210解得1,故23 .设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量YX在区间(0,4)内的概率密度为fY(y).答案：解答：设Y的分布函数为FY(y),X的

2、分布函数为Fx(x),密度为fX(x)则因为XU(0,2),所以Fx(百)0,即FY(y)Fx(Vy)故另解在(0,2)上函数yx2严格单调，反函数为h(y)J所以4 .设随机变量 X,Y相互独立，且均服从参数为 , Pmin(X,Y) 1 =答案： 2, Pmin( X,Y) 1 1 e-4 解答：P(X 1) 1 P(X5 .设总体X的概率密度为f(x)的指数分布，P(X 1) e 2 ,则0,X1 ,X2, ,Xn是来自X的样本，则未知参数答案：解答：似然函数为解似然方程得的极大似然估计为1) e e ,故1 e 4.(1)x , 0 x 1,其它的极大似然估计量为1.ln xi1.二、

3、单项选择题(每小题3分，共15分)1.设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是(A)若P(C)1,则AC与BC也独立.(B)若P(C)1,则AJc与B也独立.(C)若P(C)0,则ac与B也独立.(D)若CB,则A与C也独立.()答案：(D).解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以(A),(B),(C)都是正确的，只能选(D).事实上由图2.设随机变量X (A) 21(2)(C) 2(2).答案：(A)可见A与C不独立.(x),则P(|X|2)的值为(2)1.解答:X N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(|X| 2) 1 P( 2 X2

4、)2(2).()1(2)(2)12(2)121(2)应选(A)3 .设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是(A) X与Y独立.(B) D(X Y) DXDY .(C)D(XY)DXDY.(D)D(XY)DXDY.()答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，xy0cov（x,y）应选（B）.4 .设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为若X,Y独立，则,的值为2112(A),.(A),.99991151(C),(D),661818文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持答案：（A）,Xn为来自(B) X(D) XP(X 2, Y故应选（A）.2)P(X 2)P(Y 2)X

5、的样本，则下列结论中是的极大似然估计量.不是的估计量.（）解答：EX1，所以Xi是的无偏估计，应选（A).、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A'任取一产品，经检验认为是合格品B'任取一产品确是合格品_则（1）P（A）P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）P（AB）0.90.95（2）P（B|A）0.9977.P（A）0.857四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通

6、岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差解：X的概率分布为X0123即P2754368125125125125X的分布函数为DX3318五、（10分）设二维随机变量（X,Y）在区域D525(x,y)|x0,0,xy1上服从Y的分布函数与概率均匀分布.求（1）（X,Y）关于X的边缘概率密度；（2）Z文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持25文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑六、（2）利用公式fZ（z）、2,其中f(x,zx)00x其它或利用分布函数法f(x,zx)dx1,

7、02,0,0x1,其它.xz1.fz(z)fz(z)2故Z的概率密度为zdx02xz2z（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标2互独立，且均服从N（0,2）分布.求（1）命中环形区域D（x,y）|1X和纵坐标Y相2的概率；（2）命中点到目标中心距离Z声Y2的数学期望.0(1)PX,Y)Df(x,y)dxdyDr2Tx2r2e8drr2e8y28dxdy1,2edr万.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：样本，测得样本均值x10,样本方差cm)s20.16.区间；（2）检验假设Ho:20.1（显著性水平为N(,(1)求0.05).2）,今抽取容量为的置信度为0.9

8、516的的置信(附注)to.05(16)1.746,to.05(15)1.753,to.025(15)2.132,解：（1）的置信度为1下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868,10.2132）(2).222,、Ho:0.1的拒绝域为(n1).因为2215S-151.624,205(15)24.9960.12_2,_、2424.996o.o5(15),所以接受H。.概率论与数理统计期末考试试题（A）专业、班级:姓名:学号:单项选择题(每题3分共18分)1.D2.A3.B4.A5.A6.B题号一二三四五六七八九十一十二总成绩得分一、单项选择题(每题3分共18分)(1)(2)

9、设随机变量X其概率分布为X-1P则PX1.5()。(A)0.6(B)1(C)0(3)设事件Ai与A2同时发生必导致事件A发(A)P(A)P(A1A2)(B)P(A(C)P(A)P(AiA2)(D)P(A(4)0120.20.30.10.41(D)2生，则卜列结论止确的是()P(Ai)PO1)P(A1)P(A2)1(5)设X1X2,未知，则(n(A)Xi2i1,Xn为正态总体N(,)是一个统计量。(B)(C)X(D)(6)设样本Xi,X2,Xn来自总体X为H。：0已知)H1：(A)U(C)22(n1)S22二、填空题(每空3分共15分)(1)如果P(A0,P(B)0,P(AB)(2)设随机变量X

10、的分布函数为则X的密度函数f(x)(3)2)的一个简单随机样本，其中2,n2(Xi)i1N(,2),2未知。统计假设0°则所用统计量为(B)T(D)2n(Xi)2i1P(A),则P(B|A)，P(X2)(4)设总体X和Y相互独立，且都服从N(0,1),X1,X2,X9是来自总体X的样本，丫1,丫2,Y9是来自总体丫的样本，则统计量Xi.丫12X9丫92服从分布(要求给出自由度)。、填空题(每空3分共15分)1.P(B)2.f(x)xexx00x0_23e3.14.t(9)、(6分)设A, B相互独立,= P(A) P(B) P(A)P(B)(因为A, B相互独立).2分P(A)0.7

11、,P(AB)0.88,求P(AB).解：0.88=P(AB)P(A)P(B)P(AB)=0.7P(B)0.7P(B)则P(B)0.6.4分0.70.70.60.286分四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,各电梯在运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率解：用X表示时刻T运行的电梯数，则Xb(4,0.7).2分所求概率1C0(0.7)0(10.7)4=0.9919.6分x五、(6分)设随机变量X的概率密度为f(x)e,x-0,0,其它求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为y2x1是单调可导的，故可用公式法计算.1分当X0时，Y1.2分由y2x1,得x

12、1,x'4分22y11f(y-)。y122从而Y的密度函数为fY(y).5分0y1,y1一e2y12.6分0y1五、(6分)设随机变量X的概率密度为f(x)0,x 0其它求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为y 2x 1是单调可导的当X 0时，Y 1由 y 2x 1 ,得 x y-, 2从而Y的密度函数为fY(y)故可用公式法计算 .1分.2分1x' 一4 分2y 1 1f( )。 y 122.5 分0y 11 y 1 e 2y 12.6 分0y 1六、(8分)已知随机变量X和Y的概率分布为而且 P XY 0 1.(1)求随机变量X和Y的联合分布；(2)判断X与Y是否相互独

13、立？解：因为P XY 01 ,所以P XY 00111(2)因为PX0,Y00PX0PY0224所以X与Y不相互独立8分七、(8分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为求：(1)P(0X1,0Y2)；(2)求X的边缘密度解：(1) P(0 X 1,0 Y 2)dx 12e0(3x 4y)dy.2分(2)1 o 3x , 3e dx024e04ydy =3x 1e 04y 2e 0二1318, e .4分fx(X)12e(3x4y)dy.6分3x3e0.8分八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从参数为5指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一

14、台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费 设备净盈利的期望。300元，求工厂出售一台1解：因为Xe（一）4得 f (x)12x1 e 4 x 04.2分用Y表示出售一台设备的净盈利100Y100300则 P(Y100)1 xe 4dx1 4所以九、（8分）200EY1 1 e04x4dx.4分1100 e 4200) (11e 4)1300e 4 20033.64 (元).6分设随机变量X与Y的数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,求 E(2X Y),D(2XY) 0解：已知EX 2,EY 2, DX 1, DY4,XY 0.5则 E(2X Y)2EX EY 2 ( 2

15、).4分D(2XY)D(2X)DY2cov(2X,Y).5分2DXDY4cov(X,Y).6分2DXDY4<DX<DYxy=12.8分十、（7分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0,20上的均匀分布，利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数（x）的值表示）.解：用Xi表示第i户居民的用电量，则XiU0,20_2020（200）100八EXi10DXi2分21231000则1000户居民的用电量为XXi,由独立同分布中心极限定理i1PX101001PX101003分O

16、 1 O1 X100O 1IV10100 1000 101000 100,310100 1000 10(.)10010003.6分J3)X的密度函数为卜一、（7分）设X1,X2,Xn是取自总体X的一组样本值,其中0未知，求的最大似然估计。解：最大似然函数为nL(X1, Xn, ) f (Xi)i 1(1)Xi1.2分=(1)n(x1,，xn )0Xi,Xn1.4分人dlnLn令ln(x1,xn)0.5分d1于是的最大似然估计：?1n。.7分lnln(xi,Xn)十二、(5分)某商店每天每百元投资的利润率XN(,1)服从正态分布，均值为,长期以来方差2稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均

17、值为X5,试求的置信水平为95%的置信区间。(t0.05(100)1.99,(1.96)0.975)X解：因为已知，且一尸N(0,1)1分.n故PXU12分、n2依题意0.05,U1.96,n100,1,X52则的置信水平为95%的置信区间为xU,XU2n2%n即为4.801,5.199概率论与数理统计课程期末考试试题(B)专业、班级：姓名：学号：题号一二三四五六七八九十一十二总成绩得分一、单项选择题(每题3分共15分)(1)(2)(3)x,0x1连续随机变量X的概率密度为f(x)2x,1x20,其它则随机变量X落在区间(0.4,1.2)内的概率为().(A)0.64;(B)0.6;(C)0.

18、5;(D)0.42.(4)(5)二、填空题(每空2分共12分)(1)(2)(3)(4)三、(7分)已知P(A)0.5,P(B)0.6,条件概率PqA)0.8,试求P(AB).四、(9分).设随机变量X的分布函数为F(x)ABarctanx,x,求：(1)常数A,B;(2)P(|X|1);(3)随机变量X的密度函数。五、（6分）某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15,第2车间的次品率为0.12.两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设1、2车间生产的成品比例为2:3,今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率.六、（8分）已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律及分布函数F（x）.七、（7分）设随机变量X的密度函数为求随机变量的函数Yex的密度函数fY（y）。八、（6分）现有一批钢材，其中80%的长度不小于3m,现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30的概率。（计算结果用标准正态分布函数值表示）九、（10分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为求：（1）P（0X1,0Y2）;（2）求X,Y的边缘密度；（3）判断X