函数的单调性知识点和题型归纳

1、 高考明方向高考明方向 1.1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2.2.会会运用基本初等函数的图象分析函数的性质运用基本初等函数的图象分析函数的性质. . 备考知考情备考知考情 1.1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值， 利用函数单调性比较数的大小， 以及解不等式等 客取值， 利用函数单调性比较数的大小， 以及解不等式等 客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用观题

2、主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用 2.2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇 命题，则以解答题的形式出现命题，则以解答题的形式出现. . 一、知识梳理一、知识梳理名师一号名师一号P1P15 5 注意：注意： 研究函数单调性必须研究函数单调性必须先求函数的定义域，先求函数的定义域， 函数的函数的单调区间单调区间是是定义域的子集定义域的子集 单调区间单调区间不能并不能并！ 知识点一知识点一 函数的函数的单调性单调性 1.1.单调函数的定义单调函数的定义 2.2.单调性、单调区间的定义单调性、单调区间的定义 若函数若函数f f( (

3、x x) )在区间在区间D D上是上是增函数或减函数增函数或减函数，则称函数，则称函数f f( (x x) )在这一区间上具有在这一区间上具有( (严格的严格的) )单调性，单调性，区间区间D D叫做叫做f f( (x x) )的单的单调区间调区间. . 注意：注意： 1 1、 名师一号名师一号P16 P16 问题探究问题探究 问题问题 1 1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)(1)定义中定义中x x1 1，x x2 2具有任意性具有任意性，不能是规定的特定值，不能是规定的特定值 (2)(2)函数的函数的单调区间必须是定义域的子集单调区间必须是定

4、义域的子集； (3)(3)定义的两种变式定义的两种变式： 设任意设任意x x1 1，x x2 2 a a，b b 且且x x1 1 0)0f f( (x x) )在在 a a，b b 上是增函数；上是增函数； ( (x x1 1x x2 2) )f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2)0)0f f( (x x) )在在 a a，b b 上是减函数上是减函数 2 2、 名师一号名师一号P16 P16 问题探究问题探究 问题问题 2 2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；，不能用集合或不等

5、式表示； 如如有多个单调区间应分别写，不能用并集符有多个单调区间应分别写，不能用并集符号号“”联结联结，也不能用也不能用“或或”联结联结 知识点二知识点二 单调性的单调性的证明证明方法：方法：定义法及导数法定义法及导数法 名师一号名师一号P16 P16 高频考点高频考点 例例 1 1 规律方法规律方法 (1)(1) 定义法定义法: : 利用利用定义定义证明函数单调性的一般步骤是：证明函数单调性的一般步骤是： 任取任取x x1 1、x x2 2D D，且，且x x1 1 0)0，则，则f f( (x x) )在区间在区间D D内为增函数；如果内为增函数；如果f f ( (x x)0)0， 则则

6、1fx为减为减( (增增) )函数，函数， fx为增为增( (减减) )函数函数 3 3互为反函数的两个函数有相同的单调性互为反函数的两个函数有相同的单调性 4 4y yf f g g( (x x) )是定义在是定义在MM上的函数，上的函数， 若若f f( (x x) )与与g g( (x x) )的单调性相同，的单调性相同， 则其复合函数则其复合函数f f g g( (x x) )为增函数；为增函数； 若若f f( (x x) )、g g( (x x) )的单调性相反，的单调性相反， 则其复合函数则其复合函数f f g g( (x x) )为减函数为减函数 简称简称”同增异减同增异减” 5

7、5. . 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反 函数单调性的应用函数单调性的应用 名师一号名师一号P17 P17 特色专题特色专题 (1)(1)求某些函数的值域或最值求某些函数的值域或最值 ( (2 2) )比较函数值或自变量值的大小比较函数值或自变量值的大小 (3)(3)解解、证不等式证不等式 (4)(4)求参数的取值范围或值求参数的取值范围或值 ( (5 5) )作函数图象作函数图象 二、二、例题分析：例题分析： （一（一) ) 函函数单调性的判

8、断与证明数单调性的判断与证明 例例 1.1.（1 1） 名师一号） 名师一号P16 P16 对点自测对点自测 1 1 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确 (1)(1)函数函数f f( (x x) )2 2x x1 1 在在( (，) )上是增函数上是增函数( ( ) ) (2)(2)函数函数f f( (x x) )1 1x x在其定义域上是减函数在其定义域上是减函数( ( ) ) (3)(3)已知已知f f( (x x) )x x，g g( (x x) )2 2x x， 则， 则y yf f( (x x) )g g( (x x) )在定义域在定义域上是增函数上是增函数( ( ) ) 答案

9、答案： 例例 1 1. .（2 2） 名师一号名师一号P1P16 6 高频考点高频考点 例例 1 1（1 1） (2014(2014 北京卷北京卷) )下列函数中， 在区间下列函数中， 在区间(0(0， ， ) )上为增函数的上为增函数的是是( ( ) ) A Ay yx x1 1 B By y( (x x1)1)2 2 C Cy y2 2x x D Dy yloglog0.50.5( (x x1)1) 答案：答案：A.A. 例例 2.2.（1 1） 名师一号名师一号P16 P16 高频考点高频考点 例例 1 1（2 2） 判断函数判断函数f f( (x x) )axaxx x1 1在在( (

10、1 1，) )上的单调性，并证明上的单调性，并证明 法一：定义法法一：定义法 设设11x x1 1 x x2 2， 则则f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2) )axax1 1x x1 11 1axax2 2x x2 21 1 axax1 1x x2 21 1axax2 2x x1 11 1x x1 11 1x x2 21 1 a ax x1 1x x2 2x x1 11 1x x2 21 1 11x x1 1 x x2 2， x x1 1x x2 20010，x x2 210.10. 当当a a00 时，时，f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2)0)0，

11、即即f f( (x x1 1)f f( (x x2 2) )， 函数函数y yf f( (x x) )在在( (1 1，) )上单调递增上单调递增 同理当同理当a a00)0， 即即f f( (x x1 1)f f( (x x2 2) )， 函数函数y yf f( (x x) )在在( (1 1，) )上单调递减上单调递减 法二：导数法法二：导数法 注意：注意： 名师一号名师一号P1P17 7 高频考点高频考点 例例 1 1 规律方法规律方法 1.1.判断函数的单调性应先求定义域；判断函数的单调性应先求定义域； 2 2. .用定义法判断用定义法判断( (或证明或证明) )函数单调性的一般步骤为

12、：函数单调性的一般步骤为： 取值取值作差作差变形变形判号判号定论，定论， 其中变形为关键， 而变形的方法有因式分解、 配方法等；其中变形为关键， 而变形的方法有因式分解、 配方法等； 3.3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视 （二）求复合函数、分段函数的单调性区间（二）求复合函数、分段函数的单调性区间 例例 1.1.名师一号名师一号P16 P16 高频考点高频考点 例例 2 2（1 1） 求函数求函数y yx x|1|1x x| |的单调增区间；的单调增区间； y yx x|1|1x x| | 1 1，x x1 1，2 2x x1

13、 1，x x1.0.30.则则x x13.3. 函数函数y yloglog1 13 3 ( (x x2 24 4x x3)3)的定义域为的定义域为 ( (，1)1)(3(3，) ) 又又u ux x2 24 4x x3 3 的图象的对称轴为的图象的对称轴为x x2 2，且开口向上，且开口向上， u ux x2 24 4x x3 3 在在( (，1)1)上是减函数，上是减函数， 在在(3(3，) )上是增函数上是增函数 而函数而函数y yloglog1 13 3 u u在在(0(0，) )上是减函数，上是减函数， y yloglog1 13 3 ( (x x2 24 4x x3)3)的单调递减区

14、间为的单调递减区间为(3(3，) )， 单调递增区间为单调递增区间为( (，1)1) 注意：注意： 名师一号名师一号P17 P17 高频考点高频考点 例例 2 2 规律方法规律方法 求函数的单调区间的常用方法求函数的单调区间的常用方法 (1)(1)利利用已知函数的单调性，用已知函数的单调性， 即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 (2)(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义定义法：先求定义域，再利用单调性定义 (3)(3)图象法：如果图象法：如果f f( (x x) )是以图象形式给出的，或者是以图象形式给出的，或者f f( (x x

15、) )的的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 (4)(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间 例例 2 2. .（2 2）( (补充补充) )21122log4logyxx 答案：增区间：答案：增区间：1,4；减区间：；减区间：10,4 练习练习: :222loglogyxx 答案：增区间：答案：增区间：2,；减区间：；减区间：0, 2 （三）利用单调性解（证）不等式及比较大小（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小 例例 1 1. .（1 1） 名师一号） 名师一号P1P17 7 特色专题特

16、色专题 典例典例(1)(1) 已知函数已知函数f f( (x x) )loglog2 2x x1 11 1x x， 若， 若x x1 1(1,2)(1,2)，x x2 2(2(2， ， ) )，则则( ( ) ) A Af f( (x x1 1)0)0，f f( (x x2 2)0)0 B Bf f( (x x1 1)0)0)0 C Cf f( (x x1 1)0)0，f f( (x x2 2)0)0)0，f f( (x x2 2)0)0 【规范解答】【规范解答】 函数函数f f( (x x) )loglog2 2x x1 11 1x x在在(1(1，) )上为上为增函数，且增函数，且f f(

17、2)(2)0 0， 当当x x1 1(1,2)(1,2)时，时，f f( (x x1 1)f f(2)(2)0 0， 即即f f( (x x1 1)0)0.)0. 例例 1 1. .（2 2） 名师一号） 名师一号P1P17 7 特色专题特色专题 典例典例(2)(2) 已知函数已知函数f f( (x x) ) x x2 24 4x x3 3，x x0 0，x x2 22 2x x3 3，x x00，则不等式则不等式 f f( (a a2 24)4)f f(3(3a a) )的解集为的解集为( ( ) ) A A(2,6) B(2,6) B( (1,4)1,4) C C(1,4) D(1,4)

18、D( (3,5)3,5) 【规范解答】【规范解答】作出函数作出函数f f( (x x) )的图象，的图象， 如图所示，则函数如图所示，则函数f f( (x x) )在在 R R 上是上是 单调递减的由单调递减的由f f( (a a2 24)4)f f(3(3a a) )， 可得可得a a2 24343a a，整理得，整理得a a2 23 3a a4040， 即即( (a a1)(1)(a a4)04)0，解得，解得11a a44， 所以不等式的解集为所以不等式的解集为( (1,4)1,4) 注意注意: :本例本例分段函数的单调区间可以并分段函数的单调区间可以并! ! （四）已知单调性求参数的值

19、或取值范围（四）已知单调性求参数的值或取值范围 例例 1 1. .(1)(1)名师一号名师一号P1P17 7 特色专题特色专题 典例典例(3)(3) 已知函数已知函数 2,211,22xax xf xx满足对任意的实数满足对任意的实数 x x1 1x x2 2，都有，都有1212( )()0f xf xxx成立，则实数成立，则实数a a的取值范的取值范围为围为( ( ) ) A A( (，2) B.2) B. ，13138 8 C C( (，2 D.2 D. 13138 8，2 2 【规范解答】【规范解答】函数函数f f( (x x) )是是 R R 上的减函数，上的减函数， 于是有于是有 a

20、 a2020，a a2 22 2 1 12 22 21 1，由此解得由此解得a a13138 8， 即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是 ，13138 8. . 例例 2 2.( .(1 1) ) （补充）（补充）如果函数如果函数f f( (x x) )axax2 22 2x x3 3 在区间在区间 ( (，4)4)上单调递增，则实数上单调递增，则实数a a的取值范围是的取值范围是_ 答案答案 1 14 4，00 解析解析 (1)(1)当当a a0 0 时，时，f f( (x x) )2 2x x3 3，在定义域，在定义域 R R 上单调上单调递增，故在递增，故在( (，4)4)上单调递

21、增；上单调递增； (2)(2)当当a a0 0 时，二次函数时，二次函数f f( (x x) )的对称轴为直线的对称轴为直线x x1 1a a， 因为因为f f( (x x) )在在( (，4)4)上单调递增，所以上单调递增，所以a a00，且，且1 1a a4 4，解，解得得1 14 4a a0.00， 则由， 则由f f ( (x x) )0 0得得x x 2 2a a， 当， 当x x 2 2a a时，时，f f ( (x x)0)0，f f( (x x) )单调增，当单调增，当2 2a a x x 2 2a a时，时，f f( (x x) )单调单调减，减， f f( (x x) )的

22、单调减区间为的单调减区间为( (2 2a a， 2 2a a) )， 从而， 从而2 2a a2 2， a a2.2. 变式：变式：若若f f( (x x) )x x3 36 6axax在在区间区间( (2,2)2,2)单调递减，单调递减， 则则a a的取值范围是的取值范围是？ 点评点评 f f( (x x) )的单调递减区间是的单调递减区间是( (2,2)2,2) 和和f f( (x x) )在在( (2 2，2)2)上单调递减是不同的，应加以区分上单调递减是不同的，应加以区分 本例亦可用本例亦可用x x 2 2 是方程是方程f f ( (x x) )3 3x x2 26 6a a0 0 的

23、两根的两根 解得解得a a2.2. 例例 2.2.( (3 3) ) （补充）（补充） 若函数若函数)2, 3()(log)(321在axxxf上单调递减，上单调递减， 则实数则实数a的取值范围是的取值范围是 （ ） A A99，1212 B B44，12 12 C C44，2727 D D99，2727 答案：答案：A A 温故知新温故知新 P23 P23 第第 9 9 题题 若函数若函数 212log3f xxaxa在区间在区间 2,上单调递减，则实数上单调递减，则实数a的取值范围是的取值范围是 计时双基练计时双基练P217 P217 基础基础 7 7 计时双基练计时双基练P217 P21

24、7 基础基础 8 8、1010 8 8、设函数设函数 12axf xxa在区间在区间2,上是增函数上是增函数, , 那么那么a的取值范围是的取值范围是 答案答案: : 1, 1010、设函数、设函数 xf xxaxa （2 2）若）若0a且且 f x在区间在区间1,内单调递减内单调递减, , 求求a的取值范围的取值范围. . 答案答案: : 1, （五）（五）抽象函数的单调性抽象函数的单调性 例例 1.1.（补充）（补充）已知已知f f( (x x) )为为 R R 上的减函数，那么满足上的减函数，那么满足 f f(| (|1x|)|)f f(1)(1)的实数的实数x x的取值范围是的取值范围

25、是( )( ) A A( (1,1) 1,1) B B(0,1)(0,1) C C( (1,0)1,0) (0,1) (0,1) D D( ( ，1)1) (1(1， ) ) 答案：答案：C C 解析：解析： 因为因为f f( (x x) )为减函数，为减函数，f f(| (|1x|)|)1|1， 则， 则| |x x|1|1且且x x0 0，即，即x x( (1,0)1,0)(0(0,1),1) 练习：练习：( )yf x是定义在是定义在1,1上的增函数，上的增函数， 解不等式解不等式2(1)(1)fxfx 答案：答案：0,1 温故知新温故知新 P12 P12 第第 8 8 题题 注意：注意

26、： 解抽象函数的不等式通常立足单调性定义解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解或借助图像求解 例例 2 2. . 计时双基练计时双基练P216 P216 培优培优 4 4 函数函数( )f x的定义域为的定义域为0,，且对一切，且对一切0,0 xy 都有都有 ( )( )xff xfyy，当，当1x时，有时，有( )0f x。 （1 1） 求求(1)f的值；的值； （2 2） 判断判断( )f x的单调性并加以证明；的单调性并加以证明； （3 3） 若若(4)2f，求，求( )f x在在1,16上的值域上的值域. . 答案答案: :单调增单调增; ; 0,4 注意：注意：有关抽象

27、函数单调性的证明通常立足定义有关抽象函数单调性的证明通常立足定义 练习练习: : 计时双基练计时双基练P218 P218 培优培优 4 4 函数函数( )f x的定义域为的定义域为0,，且对一切，且对一切, x yR 都有都有 ( )()f xfyf xy，当，当0 x时，有时，有 2( )0,13 f xf. . (1)(1)求证求证: : ( )f x在在R上是减函数；上是减函数； (2)(2)求求( )f x在在3,3上的最大值与最小值上的最大值与最小值. . 答案答案: : 2; 2 课后作业课后作业 一、一、 计时双基练计时双基练 P21P217 7 基础基础 1 1- -1 10

28、0 课本课本 P16P16- -1717 变式思考变式思考 1 1、2 2； 二、二、 计时双基练计时双基练 P217 P217 基础基础 1111、培优培优 1 1- -4 4 课本课本 P1P18 8 对应训练对应训练 1 1、2 2、3 3 预习预习 第二章第二章 第第四四节节 函数的函数的奇偶性奇偶性与与周期性周期性 补充：补充： 练习练习 1 1： 函数函数f f( (x x) ) x x3 3a a， x x000 且且a a1)1) 是是 R R 上的减函数，则上的减函数，则a a的取值范围是的取值范围是( ( ) ) A A(0,1) (0,1) B B 1 13 3，1)1)

29、 C C(0(0，1 13 3 D D(0(0，2 23 3 分析：分析：f f( (x x) )在在 R R 上为减函数，故上为减函数，故f f( (x x) )a ax x( (x x0)0)为减函数，为减函数，可知可知 00a a11，又由，又由f f( (x x) )在在 R R 上为减函数可知，上为减函数可知，f f( (x x) )在在x x00时的值恒大于时的值恒大于f f( (x x) )在在x x0 0 时的值，从而时的值，从而 3 3a a1.1. 解析：解析： f f( (x x) )在在 R R 上单调递减，上单调递减， 00a a11，3 3a a1.1. 1 13

30、3a a1.1. 答案：答案：B B 练习练习 2 2： 已知已知f f( (x x) ) 3 3a a x x4 4a a x x111 ，又由，又由f f( (x x) )在在( (，1)1)上单增，上单增， 3 3a a00， a a33 ，又由于，又由于f f( (x x) )在在R R上是增函数， 为了满足单调区间的定义，上是增函数， 为了满足单调区间的定义，f f( (x x) )在在( (，11上的最大值上的最大值 3 35 5a a要小于等于要小于等于f f( (x x) )在在11，) )上的最小上的最小 值值0 0， 才能保， 才能保证单调区间的要求，证单调区间的要求， 3

31、 35 5a a0 0， 即， 即a a3 35 5 ，由由可得可得 11a a3.3. 解法解法 2 2：令：令a a分别等于分别等于3 35 5、0 0、1 1，即可排除，即可排除 A A、B B、C C，故选故选 D.D. 点评点评 f f( (x x) )在在R R上是增函数，上是增函数，a a的取值不仅要保证的取值不仅要保证f f( (x x) )在在( (，1)1)上和上和11，) )上都是增函数，还要保证上都是增函数，还要保证x x1 111，x x2 21 1 时，有时，有f f( (x x1 1)f f( (x x2 2) ) 练习练习 3 3： 若函数若函数f f( (x x) )2 2x x2 2ln lnx x在其