三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练十二圆锥曲线理

1、三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练十二圆锥曲线理221.(2015广东高考改编)已知椭圆25+卷=1(m>0)的左焦点为Fi(-4,0),则m=解析：由左焦点为F1(4,0)知c=4.又a=5,故 m= 3.25-m2=16,解得m=3或3.又m>0,答案：3122. (2015福建高考改编)已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于AB两点.若|AF|+|BF=4,点M到直线距离不小于3则椭圆E的离心率的取值范围是5解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a =2(|AF

2、+|BF)=8,所以a=2.|3X0-4X b|又 d- r-2勺3 +-4<2,所以0ew乎.另>4,所以1<b<2,5所以cb2e=Z14答案：0, 33. (2015 浙江高考14台x2 y2b)椭圆a2 + b2=1(a>b>0 )的右焦点F(c, 0)关于直线y=4x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是解析：设椭圆的另一个焦点为 Fi( c, 0),如图，连接QF, QF-,b 、，一设QF与直线y = 不交于点M由题意知M为线段QF的中点,且0MLFQ又O为线段F1F的中点, F1Q/ OMFiQl QF| FiQ = 210M在 RtAMOF,

3、 tan/MO 巨!" = 2 | OF = c | OM c可解得 |OM=c, |MF = bc, aa,2bc2c2故|QF = 2|MF = T，|QF|=2|OM=. aa由椭圆的定义得|QF + |QF| =22bc 2cF一整理得 b=c, . a= b2+ c2 = a/2c,故答案：224. (2015 陕西高考)已知椭圆E：= 1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两,1点(c,0),(0,b)的直线的距离为2c.4If(1)求椭圆E的离心率;(2)如图，AB是圆Ml(x+2)2+(y1)2=|的一条直径，若椭圆E经过AB两点，求椭圆E的方程.解：

4、(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,bcbc则原点O到该直线的距离d=-,22='b+ca1一.70由d=2c,得a=2b=2ac,c：3解得离心率占=半(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意，圆心M2,1)是线段AB的中点，且|AB=50.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4kjx2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(X1,y1),B(X2,y2),nrt8k2k+142k+14b则X1+X2=-2一,X1X2=-2.1+4k1+4k,/口8k2k+1由Xi+X2=4,信

5、一1+4卜2=4,解得k=2.2从而xiX2=82b.于是|AB=/1+22|x1x2|二25二；x+x224x1x2=?0b2-2由|AB=/0,得寸10b22二炉,解得b2=3.故椭圆E的方程为2+1=1.123法二：由（1）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意，点A,B关于圆心M2,1）对称，且|AB=/.设NX1，V1,B（x2,y2）,则x1+4y1=4b2,x2+4y2=4b2,两式相减并结合xi+X2=-4,yi+y2=2,得4(xiX2)+8(yiy2)=0.易知AB与x轴不垂直，则xiwxz,所以AB的斜率kAB=汽=；1因此直线AB的方程为y=2（x+2）+1,代

6、入得x2+4x+8-2b2=0.2所以xi+x2=4,xix2=82b.+12|xi-x2|'52.22-x1+x24x1x2=50b2由|AB=#0,得#10b22=4,解得b2=3.22故椭圆E的方程为冷，15.（2015安徽高考）设椭圆22E的方程为x2+E=1（a>b>0）,点O为坐标原点，点Aab的坐标为（a,0）,点B的坐标为（0b），点四线段AB上，？茜足|BM=2|MA,直线OM勺斜率为哈.（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0,-b）N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为2求E的方程.解：(1)由题设条件知，点M的坐标为|a,；b,

7、33又kOk需，从而需,22,C25进而得a=5b,c=x/ab=2b,故e=-=.a5(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为十1=1,点N的坐标为5bb设点N关于直线AB的对称点S的坐标为xi,J,则线段NS的中点T的坐标为乎b+X1,-4b+7.又点T在直线AB上,且kNs-kAB=1,从而有解得b=3.所以a=3小,故椭圆E的方程为?+y=1.4596.(2015江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22；：x2+%=1(a>b>0)的离心率为平,且右焦点F到左准线l的距离为ab23.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点，

8、线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB求直线AB的方程.解：(1)由题意，得c=W且c+a=3,a2c解得a=LrAJ.、1X22所以椭圆的标准方程为2+y2=i.(2)当ABx轴时，AB=R又C鼻3,不合题意.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x1),A(xi,yi),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程，得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则 x1,2 =2k2±2 1+k21 + 2k2C的坐标为2k2-k1+2k2'1+2k2'且AB=7x2x12+y2y1=11+k2x2 x1-2 2 也 1 +

9、 k2=1+2k2若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.从而kw0,故直线PC的方程为_2k12ky+TT2k2=_kx-1+2k2,225k2则P点的坐标为一2,2,kI十2k，一 2从而PC=3k2+1,1+k22|k|1+2k因为PC=2AB,23k2+111+k2461+k2所以|k|1+2k2=1+2k2，解得k=±1.此时直线AB的方程为y=x1或y=x+1.7.(2015北京高考)已知椭圆C：，+衣=1(a>b>0)的离心率为当，点P(0,1)和点A：mn)(0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标

10、(用rmn表示).(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N问：y轴上是否存在点Q使彳导/OQM/ONQ若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.b=1,解：由题意得 ca 2a* 2=b2+c2,解得a2=2.3A、TX22故椭圆C的方程为- + y2=l.设 M(xm,0).因为mT0,所以一1<n<1,直线pa的方程为y-i=nx.所以m 口一.xm= ,即 M1 nm1 n'(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m, n).设 N(xn,0),则 XN=“存在点Q0, yQ)使得/ OQM /ONQ等价于“存在点 Q0 , vQ使彳*M=|O

11、Q"， | OQ | O甲即 yQ满足 yQ= | xm| xn|.m , m因为Xm=1 nmXn=1 + n22+n2= 1，所以 yQ= | Xm| Xn| =2m2= 2.1 n所以yQ=yJ2或yQ=-22.M点在双曲线上，2 一4a3ab22-=1, a= b故在y轴上存在点Q使彳导/OQMt/ONQ且点Q的坐标为(0,收)或(0,-5命题点二双曲线难度：中命题指数：c=®，e=a=&.答案：22. （2015四川高考改编）过双曲线x2-y-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲3线的两条渐近线于AB两点，则|AB=.解析：由题意知，双曲线x2-y7=

12、1的渐近线方程为y=±J3x,将x=c=2代入得y3=±2&即A,B两点的坐标分别为（2,2小）,（2,24,所以|AB=4小.答案：4313. （2015全国卷n）已知双曲线过点（4,/3）,且渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的标准方程为1解析：法一：.双曲线的渐近线方程为y=±-x, 可设双曲线的方程为x2-4y2=入（入W0）. 双曲线过点（4,也），入=164X（小）2=4,x22 双曲线的标准方程为-y2=1.1法二：渐近线y=2x过点（4,2）,而，3<2,11 点（4,小）在渐近线y=2x的下万，在y=2x的上万（如图）.

13、.双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为22xy尸'小"，"由已知条件可得16-2 a3 b2=1解得a2= 4,b2=1,x22.双曲线的标准方程为T-y2=1.42答案：x-y2=124.（2015北京高考）已知双曲线02y2=1（a>0）的一条渐近线为y3x+y=。，则a=2解析：双曲线、一y2=1的渐近线为y=±a已知一条渐近线为 J3x + y=0,即y=-J3x,因为a>0,所以；=艰，所以a=35. （2015 湖南高考）设F是双曲线C：y2= 1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为解

14、析：不妨设F( c, 0) , PF的中点为(0b）.由中点坐标公式可知Rc, 2b ).又点 P在双曲线上，22fc 4b则/一言=1,a b2故 |2=5,a答案：56. （2015 广东高考改编 ）已知双曲线C：5=1的离心率 e = 4,且其右焦点为F2（5,0）,则双曲线C的方程为解析：:c 5e=a = 4，F2(5,0),c= 5,，双曲线a=4, b2=c2a2=9,C的标准方程为x6 y9= 1.16 922答案*9=17. （2015 江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2 y2= 1右支上的一个动点，若点P到直线x- y+1 = 0的距离大于c恒成立，则实数c

15、的最大值为解析：所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x-y=0与直线x-y+1 = 0的距离,此距离d =答案：22X228. （2015全国卷I改编）已知M>0,y0）是双曲线C:-y2=1上的一点，Fl,F2是C的两个焦点.若MF1 MPF2 <0,则y0的取值范围是解析：由题意知a=y2, b= 1 Fi（-啊 0）, F2（& 0）, , , MF 1 = （ 一 3一xo, 一 y0）,MPF2 =（V3-X0, V。）. MF1 - PF2<0, .（木X0）（* X0） + y2<0,即 X0 3+ y0<0.点Mx。,y。）在双曲线上,2

16、，一y2=1,即 x2=2+2y2,2+ 2y0- 3+ y0<0, 堂<丫0< 33答案:.'3'33 ' 3229. （2015重庆高考改编）设双曲线一b2=1（a>0,b>0）的右焦点为F,右顶点为A过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC,AB的垂线，两垂线交于点D若D到直线BC的距离小于a+A/a+b,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是解析：由题意得A（a,0）,不妨取b2B c, 一 aC c,b2,由双曲线的对称性知D在x轴b20上，设 UX0,0）,由 BDLAC得C X0b2 aztC =-* 1， a

17、c解得b4cX0="a2c3，由题可知 c-X0= a+c,所以与<c2a2= b2? a,b2b202<1? 02<1?0<b<1.因为双曲线渐近线的斜率为土b,所以渐近线斜率的取值范围是（1,0）U（0,1）a答案：（一1,0）U（0,1）命题点三_抛物线_难度：中命题指数：2解析：抛物线y=8x的焦点为（2,0），椭圆中c=2,-c 1又a=5,a=4b2=a2-c2=12,从而椭圆的方程为x y2 16+12=1.2:抛物线y=8x的准线为x=-2,xa=xb=-2,将xa=2代入椭圆方程可得|yA|=3,由图象可知|AB=2|y=6.答案：62

18、. （2015 山东高考）平面直角坐标系xOy中，双曲线22C： x2-y2=1(a>0, b>0)的渐 a b近线与抛物线C2： x2= 2py（ p> 0）交于点A, B若OAB勺垂心为G的焦点，则Ci的离心率为解析：双曲线的两条渐近线方程为y=±bx,与抛物线方程联立得交点Aa22Pb 2pb2pbB -a2pb2黄，抛物线焦点为F 0,由三角形垂心的性质，得BFL OA 即 kBF k。* P2pb21 ,又 kBF=2-b,P,2Pb 4b aaa一a b bb2所以有4baa-1，即孑5c4,故Ci的曷心率e=- =答案:32.1+b3.（2015 陕西

19、高考）若抛物线y2=2px（p>0）的准线经过双曲线 x2-y2=1的一个焦点,则p=解析：抛物线的准线方程为x=-p, p>0,双曲线的焦点为 F1（42, 0）F2(V2, 0),所以一p=-2, p=2 2.答案：2 24. （2015 湖南高考）已知抛物线 C: x2=4y的焦点F也是椭圆C2：2/+奈=1(a> b>0）的一个焦点，。与G的公共弦的长为246.过点F的直线l与C相交于A, B两点，与C2相交于C, D两点，且AC与BD同向.求G的方程；(2)若| AC = | BD ,求直线l的斜率.解：(1)由G: x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因

20、为F也是椭圆G的一个焦点，所以a2b2=1.又Ci与G的公共弦的长为2V6,。与G都关于y轴对称，且C的方程为x2一3由此易知G与G的公共点的坐标为 ±，6, 2 ,4y,联立，得a2=9, b2= 8.22故C2的方程为9+,=1.(2)如图，设 A(xi, yi),B(X2, y2) , C(X3, y3), D(x4, y4).因AC与BD同向，且|AC=|BD,所以AC=BD,从而x3xi=x4x2,即xix2=x3x4,于是(xi+x2)24xix2=(x3+x4)24x3x4.设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+i.y=kx+i,2由24得x-4kx-4=0.而xi

21、,x2是这个方程的两根，所以xi+x2=4k,xix2=-4.y=kx+i,由jV得(9+8k2)x2+i6kx64=0.9+gf而x3,x4是这个方程的两根，16k64所以x3+x4=972,x3x4=97.一2,2_将代入，得16(k2+1)=9、2+2,即化#+1)：16；+8k2+12,所以(9+8k2答案：»1=1)2=16X9,解得k=±芈，即直线l的斜率为土坐命题点四圆锥曲线中的综合问题难度：高命题指数：x2y21. (2015 天津高考改编)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,，3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4

22、/x的准线上，则双曲线的方程为解析：由双曲线的渐近线y = a* 过点(2 , 43),20rb可得43=a*2.由双曲线的焦点(：a2+b2,0)在抛物线y2=”x的准线x=-卡上，可得a2+b2=由解得a=2,b=，3所以双曲线的方程为-/1.2.(2015天津高考)已知椭圆A*1(村>0)的左焦点为"c，o),离心率为当点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=b截得的线段的长为c,|FM=1.43(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于V2,求直线OPO为原点)的斜率的取值解：(1)由已知，有c2=1,a3又由a

23、2=b2+c2,可得a2=3c2b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).Ikc|2c由已知,有祈+2解得k=幸.3(2)由(i)得椭圆方程为3不+22=1,直线FM的方程为y =x+ c)两个方程联立，消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=5c或x=c.3因为点M在第一象限，所以点M的坐标为c,-3c.由IFM=">y(c+c)2+-c0：2=3,解得c=1,所以椭圆的方程为3+2=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,即t=-y-,则直线FP的方程为y=xIIt(x+1)(xw-1),y=tx+1与

24、椭圆方程联立x2y23"+3=1，消去v，整理得2x2+3t2(x+1)2=6./62xj又由已知，得t=3Jxx+12>V2,-3,解得2<x<1,或1<x<0.设直线op的斜率为得f?x即y=mXxw0),与椭圆方程联立，x2 3整理可得m2="222.3当xC2，1时，有y=t(x+1)<0,因此n>0,于是mi=：2 2 33 '3x27-l,得诈当xC(1,0)时，有y=t(x+1)>0,因此mr0,于是m=一综上，直线OP勺斜率的取值范围是竽U坐孚.3.(2015湖北高考)一种作图工具如图所示.O是滑槽AB

25、的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN!过N处钱链与ON1接，MNk的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程.(2)设动直线l与两定直线11：x2y=0和12：x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线1总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ勺面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.解：(1)设点D(t,0)(|11<2),N(xo,yo),Mx,y),依题意，MD=2DN，且|DN|=|ON|=1,xot2+y0=1,所以(tx,-y)=2(x。-t,y°)，且22tx=2x。一2t,即且t(t2xo)=0.y=-2yo,由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于o,一口一xy于是t=2xo,故xo=4，yo=2.22.,22一一xy代入xo+yo=1,可得+1,即所求的曲线c的方程为宗+匕=