上海立信会计学院本科《微积分(上)》期末试卷B答案

1、校训褶原守身傕同灯聿信H符人当於有成话5化上海立信会计学院20092010学年第一学期09级本科微积分（上）期终考试试卷（B）（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，禁止使用计算器）共8页班级学号姓名题号(10%)(10%)(60%)四(14%)五(6%)总分合成人签名审核人签名得分一、单项选择题（本大题分5小题，每小题2分，共10分）得分评卷人审核人（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号内。)1.函数y=f(x)在点x=x0处f(x0)=0且f(x0)<0,在处必有（A）（A）极大值（B）极小值（C）最大值（D）最小值b2.函数f（x）在a,b上连续是ffdt在a,b上

2、存在的（A）条件。a（A）充分非必要（B）必要不充分3.已知函数f（x）在x=0处可导，且导数为（A） 3（B） -311 -ex24. lim丁的极限为（B ）x 01 ex2（A） 1（B） -1P(C)充分必要f(3x)-f(0)2,则 lim一1-xTx(C) -6(C) 1 或一1(D)无关(D )(D) 6(D)不存在5.已知某商品的需求函数为Q=e5,当P=3时，下列解释正确的是（B）（A）价格上升1%,收益减少0.4%（B）价格上升1%,收益增加0.4%（D）价格上升1%,收益减少40%（C）价格上升1%,收益增加40%1.、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分5小题，每小

3、题2分，共10分）x2t2edtlim°2的值等于x口x210092解：原式三、计算题（必须有解题过程）（本大题分12小题，每小题5分，共60分）1.计算极限 lim (n2 n - . n2n1二二-n)=lim2nn n2n25aex -3cosx2.设函数 f(x) = sin2xx _ 0,问当取何值时,x 0f （x）在x = 0处连续。32.?1sinx,cdx=?11x22x13 .极限lim=x，二2x-14 .f(x)=xex,则f(100)(0)=25 .已知当xt0时,1cos3x与ax是等价无否小，则a=5分2分4分5分解：f(0-0)=lim(5aex-3c

4、osx)-5a-3x-0-0sin2x-f(00)=lim=2x：00x当f(0-0)=f(00)=f(0),即5a-3=2a=1时，“乂）在乂=0处连续冗3.求极限Jjmw(arctanx2)jiarctanx-一解原式=Jim.-2=lim1xx.二1x-1114nhm-2.2二+n-1n-2解：采用夹逼准则n一：二,n2-111+,n2-1,n2-2+n12一而lim广n=limln=1,562_1T'n2-n故原式二12、5.已知y=xv1+x)+arcsinx,求解：y=1_x2x(.1-x2)(arcsinx)2一x?=、:1-xx(2)-,1-x=2/1-x2dy=21-

5、x2dx6.已知隐函数方程y=xsiny+1确定了是的函数,5分dyodx解：dy=sinydxxsinydydy_sinydx1-xsiny7.求函数y=x4-2x2+3在1,2上的最大值与最小值。解：，y(1)=2,y(0)=3,y(1)=2,y(2)=11,8.求min=丫仁1)=2,ymax=y(2)=110dxx(1ln2x)1一厂dInx1ln2x=arctanlnxC.lnx.Inx、.9.若f(x)的原函数为，问f(x)与间有什么关系？并求xxxf(x)dx解：f(x)='InxJTnx<xx21 一 2 In xxf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-：f(x

6、)dx=110.如果Tdx,1x2解:原式一柒1dtt)dt1-t21a12(20.1.t2Jarcsint21/202、一21/20+124，1设 f(x)2f(x-1)dx1+x1x.-x、e+e解:2_.;f(x-1)dx1f(t)dt?0dx-x_xfee?2分=arctanex0+c：ln(1x)0JT=ln212.试讨论f(x)=+ln(1+x)sinxe4-0,AL，的可导性，并在可导处求出f'(x)。解：f(0-0)=limesinx=1x)0-f(00)lim_ln(1x)=0所以x=0处不连续故不可导。esinxcosx?x二0f（x）=?x01x四、应用题（本大题

7、共2题，每题7分，总计14分）,21.求y=1x在（1,0）和（1,0）两点处的切线和该曲线所围图形的面积，和求该图形绕轴旋转一周所形成立体的体积。解：设切点为（m,1m2）,在该点切线斜率为y'（m）=-2m,过（1,0）的切线为y=22x,5分由对称性-122S=20(1-2xx)dx=03V=2nJ；4(1-x)2-(1-x2)2dx=2.某工厂生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加知总收益是年产量的函数100元。已400Q-1Q2R(Q)2800000<Q<400Q400求：(1)求Q=200时的边际收益；(2)每年生产多少产品时，总利润最

8、大？此时总利润是多少?解：边际收益R'(Q)=400Q0<Q<400Q400R(200)=200成本函数C(Q)=20000100Q利润函数L(Q)=12300Q-1Q2-200000<Q<400260000-100QQ400L'(Q)=300-Q-1000<Q<400Q400令L'(Q)=0,得Q=300,L“(300)<0,所以Q=300时L最大,即每年产量为300个单位时有最大利润25000元五、证明题(本大题6分)设函数f(x)在1,1上可导，且f(0)=0,|f'(x)|<M,试证明：在1,1上|f(x)|<M,其中是大于零的常数。证明：对Vx