第一讲线性空间与算子

1、2022-2-221矩阵论及其应用矩阵论及其应用 计算机科学与技术系 赵金熙赵金熙89686058(O） 主要参考书主要参考书2022-2-2221.戴华，戴华， 矩阵论，科学出版社，矩阵论，科学出版社，20012.方保熔等，矩阵论，清华大学出版方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，社，20042022-2-223第一讲第一讲 线性空间与线性算子线性空间与线性算子2022-2-224线性空间与线性算子是矩阵论中的基本概念和基本理论.这些概念是通常几何空间概念的推广和抽象.在近代数学发展中，这些概念和理论也已经渗透到数学的各个分支.这些基本内容也是我们学习现代数学的基础.1. 线性空间线性空间202

2、2-2-2251.1.,Z.00.1.1ZZZ 义 数环与数域 每一个数学概念都有其适用范围，线性空间的概念与在什么范围内取值有直接的关系，首先引入数环的概念设 为非空数集且其中任何两个数的和、差与积仍属于则称 是一个数环只含一个 的数集显然是个数环定0),.()1 2),.FabbFFRC义如果 是至少含有两个互异数的数环，并且其中任意两个数 与 之商（仍属于则说 是一个数域 常用的数域有实数域复数域（定2022-2-226333333,.Ra babRRRRaRaR 我们知道，几何空间中的任意两个向量可以相加，其和仍然是中的向量，即对于加法运算是封闭的;同样对于数量与向量的乘法也是封闭的，

3、即有也就是说这种加法具有 交换律、结合律，数乘具有结合律与分配率等性质再看一个例子：1.2线性空间的定义线性空间的定义2022-2-22711 1122121 1222211 11221000nnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x右端项为零的齐次线性方程组2022-2-22812“”,0;Tnxx xx这种方程组总有 平凡解 ，12121122 , ,TTnnTnncc ccdd ddcdcd cdcd都是该方程组的解，则也是该方程组的解；12, ,.Tncccc对如何实数 ，也是该方程组的解.加法具有交换律、结合律，数乘具有结合律与分配率等将齐次线性方程组的解可其

4、推广到一般集合上就以相加，也可以乘上一个线性空间得到的概念数2022-2-229().,12()()F RCVx yVxyVxyyxxyzxyz数域或上的集合 中定义了下列两种数学运算第一种运算是加法，记作且对定义且满足：（）交换律 （ ）结合律 300(4)-(- )-0 xxxxx x（ ）存在唯一的零元素，记作 加法的逆运算，记作 2022-2-2210,5;6()() ;7();()811kF xVkxkxVkxkxk xykxkyab xaxbyFxx 第二种是数乘运算，对定义满足（ ）（ ）结合律（ ）分配律（ ） 中存在单位元（记成 ），满足3.1.VF定义了加法和数乘两种运算，

5、并满足以上性质的集合 称为数域 上的线定性空间义2022-2-2211,1,1.,ka bRkRababkaaabRkaR 及定义加法为数乘为显然例且(1);(2)()()()()();(3)1,11,1;111(4)1(;ababbabaabcabcab cabcabcRaaaRaaaaaa 存在中的元素 使得故 是的零元素因为零元素），故 有负元素2022-2-2212(5)()()()(6)()()()()();k lklklkkkkkklaaa aaakalakabkababa babkakb1(7)()();(8)1.llkklklakaaaklaaaaR因此，对于上述定义的加法和数

6、乘运算是一个线性空间2022-2-22南京大学计算机科学与技术系1312,).1.2ninnRR 线性空间的例子还有很多：所有具有 个分量的行向量（所构成的集合，加法和数乘都依分量定义，这个空间常记成例1.31.4( )RnRf x全体系数取自 上的次数 的多项式所构成的集合.全体定义在实数轴 上的所有实值函数所构成的集合.例 例 2022-2-2214121 1221212.,(1,2, ).,()(,1.4.ninnnnVFx xxVF inVxxxxx xxlinear combinationxx xx线性空间中的元素往往称为向量设 是数域 上的线性空间是 的向量，称 的元定义线性组素是

7、向量系的 ，也称向量 元素） 可由线性表示出来合1.3线性空间中向量的关系线性空间中向量的关系31231231 12 23 3(,)(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1).TTTTRxa a aeeexa ea ea e例如中任一向量都可表示成向量系的线性组合2022-2-2215121212121212,.5.1rsrssrVFV 设 是数域 上的线性空间和是 中的两组向量系，如果中的每个向量都可由向量系线性表示；而中的每个向量也可以由向量系线性表示，则称这两组向量系是等价的显然向量系的这种等价性具有自反性、对称性义和传递性定12121122,1)0,0,.6 1rrrrVFrV

8、k kkFkkk 设 是数域 上的线性空间（是 中的一组向量，如果存在一组不全为 的数使得 系义则称向量定2022-2-2216121212121111,();().,0,0.rrrrrrlinearly dependentlinearly independentVkkkkkk 是的 反之就是的 这就是说，中一组向量系线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合；如果向量系线性无关线性相关线性无关仅，这就意味着，时 才有当有成立2 21121122210000100,001000501.1.RREEEE实数域 上的线性空间的一组向量（矩阵）容易看出这一组向量是线性无关的例2022

9、-2-2217121212121,.1,1,.,1rsrssijijjVrsrsair 设，是线性空间 中的一组线性无关的向量系 并且可由向量系，线性表示，则必有采用反证法 假设因为向量系，线性无关，并由，线性表证示，即作明线性组合定理2022-2-22181122111111 1122121 122221 122()000rsrrijijijsrjiijjirrrrsssrrkkkkkkkkkkkkkk （）考虑齐次线性方程组2022-2-2219121212112212,.,0,.rrrrrrk kkrsk kkk kkkkkrs 因为上述齐次线性方程组的未知数，的个数 大于方程的个数 因

10、此该齐次线性方程组一定有非零解，也就是我们可以找到不全为零的数，使得，因此向量系，是线性相关的，这与假设矛盾，于是 一定有两个等价的线性无关的向量系必定含有相同个论数的向量推2022-2-222012121212,.,1.2,rrrrV 设线性空间 中向量系，线性无关 而向量系，线性相关，则 可由，线性表示，并且表示是唯一的因为，线性相以证关，所存在定理明121112211120,+=0,0,.rrrrrrrk kk kkkkkk 不全为 的数，使得且，否则向量系线性相关，这与条件矛盾2022-2-2221121211112=-,.rrrrrnkkkkkk 从而即 可由线性表示12112211

11、2211122212.,- )(- )(- )=0,-0,(1: ),.rrrrrrrrriikkklllk lk lk liklir 下面证明表示的唯一性 假设 可由表示为则有（由于向量系线性无关，从而对所有 只能有唯一性得证2022-2-22221212121212121212,(1, =1: ),=1.7rrrsiiijsiiiiiisssVris jrr 设，是线性空间 中的一组向量，如果这一组向量系中存在 个线性无关的向量，并且，中任一向量都可以由向量系，唯一地线性表示出来，则称向量组，是，的，称 为向量系，的秩，记为rank，义极大线性无关组定. r一般说来，向量系的极大线性无关组

12、不唯一，但其所含向量的个数是唯一的。2022-2-22231.4 基底、维数与坐标基底、维数与坐标0.1.线性空间是满足一定条件的集合,线性空间的向量都有无穷多个（零空间除外） 于是就提出两个问题：在无穷多个向量中能否找到有限个具有代表性的向量,使得该线性空间中的任何一个向量都可以用这有限个向量来表示？122.,),na aa线性空间中的向量是抽象的,是否可以把这抽象的向量和具体的数组向量（相对应 把抽象的线性空间的线性运算转化为数组向量的线性运算？*2022-2-22242-1(dim).,1dim( );.( ),1, ,1.8,.nensionVnnVVnVVFP xnnx xx线性空间

13、的维数是线性空间的一个重要的属性线性空间 中若存在有 个线性无关的向量 而任何个向量都是线性相关的，则称 是记为如果在 中可以找到任意多个线性无关的向量，则称 是无限维的例如数域 上的一元多项式的全体组成的线性空间是无限维的因为对于任意的正整数 ，都是线性义维的无关的定1111,dim( ).1.3nnVnVVn 如果线性空间 中有 个线性无关的向量，并且 中任一向量都可由，线性表示，则定理2022-2-2225.为了研究向量的性质，引入坐标是一个重要的步骤在有限维线性空间中，坐标同样是一个有力的工具121212,().1.9nnnVFnVVVbasisVnnV 设 是数域 上的 维线性空间

14、则 中一定存在一组线性无关的向量系，使得 中任一向量都可以唯一地表示成的线性组合则称为 的一组也就是说，如果 是由 个向量的所有线性组合所构成,且这 个向量线性无关，则称它们为 的一义基底种基底定2022-2-222612112212121212,nnnnnTnnVVxxxx xxx xxx xx 若是 的一组基底，则可以唯一地表示成其中称为 在基下的，记为（）或者（标）坐.12112212=+=(,).nnnnxxxxxx 这时 可以表示为2022-2-22271212112,.,.,dim( ),dim( )1.4.rnrnVVrnVrnVVrVn 在 维线性空间 中 任意一个线性无关的向

15、量系都可以扩充成 的一组基如果则是 的一组基下面设此时 中至少有一个向量不能由线性表示；否证则这与矛明盾因此定理121121212112121212,.1,1,.rrrrrprnVrnVrpn 线性无关如果则，是 的一组基，否则则 中至少有一向量不能有，线性表示，从而有，线性无关.依次下去,可得一组线性无关的向量组，其中2022-2-222812111 122121212100010001( ,)=+=( ,),),.1.6)nnnTnnTnnnnTnnFFxx xxFx xxxx xxx xxx 在 维线性空间中， ，是的一组基，对任一向量都有（所以（就是向量 在这组基下的坐标例2022-2

16、-22292-1012-101-101-1-101-101-1( )=1,= ,=,=,( ),dim( ),( ).( ),1.7)nnnnnnnnnnTnpxxxxpxnFnpxnpxf xaa xa xa aa 在线性空间中，是中 个线性无关的向量，并且数域 上的任一次数小于 的多项式都可有线性表示，因此并且是的一组基在这组基下，的坐标为（例1.5线性空间的子空间线性空间的子空间2022-2-2230,+,1.10).SVVS kFSkSSVsubspace 定义子空间设是线性空间 的一个子集，如果对都有则称 是 的一个（子空间的例子：221(0,0),2nninSRRSRS （）则 是

17、的一个子空间; （ ） 是所有实系数偶次多项式构成的全体，则其是实系数多项式空间的子空间.2022-2-2231121 1221212121 122.,|,(), ,|.nnninnnnnix xxVWk xk xk xkFWx xxspanned subspacex xxWspan x xxk xk xk xkF生成的线下面我们讨论子空间的生成问题设是线性空间 中的元素，令则性子空间称集合是由向量系也称线性包.向量系的记为1.5.1向量系的生成子空间向量系的生成子空间(线性包）线性包）2022-2-22321234143397,254143.aaaR 试求向量系所生成的的子空间的基例 .8

18、和维数11 12233123123123123043039702540430k ak ak akkkkkkkkkkkk设解 即2022-2-223321311231231223131231223132 ,3230,2dim ,2,.kkkkaaaa a aaaaaaaSpan a a aaaaaaa 解此线性方程组得于是有故线性相关，又显见 与 （或 与或与 ）线性无关，因此所论子空间维数是 ，即基底由 与 （或 与或 与 ）所组成2022-2-22341212121212121212,(intersection) |.,.()|W WVWWWWxWWxWxWxW WsumWWWW 假设是 的

19、子空间，令：且所谓元素就是且，即是的公共元素：间，交空间和空121212121., ,WWWWVx yWWFx yW x yWxyW 可以证明与是 的子空间事实上，设则故，1.5.2 线性空间的交空间、和空间线性空间的交空间、和空间2022-2-2235212121231211212.-0.xyWxyWWWWVWWVRVxyVVVVVV，所以是 的子空间.同样可以证明是 的子空间例在三维几何空间中，用 表示过坐标原点的平面，表示一个通过坐标原点并且垂直的直线，那么，是整个三维几何空间2022-2-223612121212 |.WWWWx xWxWWWV如果我们将集合，的并集定义为或则就不是 的

20、子空间1112221212212 |( ,0), |(0,),.Wx xxxR Wx xxxRx yWWxyWWWWR比如设则对就有可能对于通常定义的加法不具有封闭性所以不是的子空间2022-2-22371111221121211=(2 , +1)|,.=(2 , +1), =(2,+1),+ =(2+),1().2,9+ ).Vk kkRk kVk kVkkkkVV 设不经过坐标原点的直线为试验证它不是二维几何空间的子空间 事实上，设则（所以 不是二维几何空间的子空间例().trivialsubspace容易看出,每个线性空间至少有两个子空间,一个是它自身,另一个是仅有零元素组成的子空间称为

21、为零子空间，这两个子空间称为平凡子空间.,0( ).( ) |0,.m nnnnAFAxxFFN AN Ax AxxFA下面介绍两个重要的子空间设则满足的所有构成了上的的零子空间，称为，记为即 空间1.5.3 A的零空间和像空间的零空间和像空间12121212,( ), ()=0( ).nFN Ak kF A kkk Ak AkkN A 显然这是上的子空间，因为若则对2022-2-2239,( )|,( ).m nmnAFR AyFyAxxFR AA 另一方面，因的为定义，为像空间1212.( ,( ) ,.nnAAAAa aaR ASpan a aa由定义可以看出, 的像空间就是由 的列向量

22、的所有线性组合组成空间设 表示成)，则1212112212112211221 1221122.,( ),()( )( ).mnFy yR Ax xFyAx yAxk kFk yk yk Axk AxA k xk xR Ak yk yR A这是的一个子空间因为设则存在使得故对有2022-2-22411212121122,V VVVVVV设是线性空间 的子空间，若中的任一元素 有分解式，1.5.4 直接和空间直接和空间12312.(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0).VSpanVSpanVVR但是一般地说，这种分解是不唯一例如取显然 和都是的子空间2022-2-224231212(1,2

23、,0),(1,2,0)(1,2,0)(0,0,0),1,2,0), (0,0,0);zRzVVVV则对于向量可以分别分解成（121212(1,2,0)(0,1,0)(1,1,0)(0,1,0), (1,1,0).zzVVVVVV也可以由另一种分解，所以中的同一个向量分解是不唯一的.2022-2-224312121212.,.VVVVVVVV针对这种现象，我们要找一种特殊的和子空间，要将该和子空间中的任一元素能唯一地表示成两个子空间中元素的和如果中的任一向量只能唯一地表示为子空间 的一个向量与子空间的一个向量的和，则称为直和（或）定义1.11和记为直接12121212,0.VVVVVVVV为直接

24、和的充要条件是: 与之交为定零空间 即理1.52022-2-224412121212112212121122121212121211221212.,-0(-0(-,-,0.VVzVVVVx xV y yVxxyyzxyzxyxxyywxxyyxxVyyVwVVVV充分性用反证法设为零子空间，若不能唯一地表示成 与 的向量的和，则必有且，使得及两式相减得（）（），则取向量） （），而）（）故从而，明与假设矛盾证.必要性仍可用反证法证明2022-2-2245121212121211221212121.11.2dim()dimdim,.rkrkVVVVVVVVx xxVy yyVx xxy yyVV

25、这样可得下列推论和定理：为直接和的充要条件为设为直接和，若是的一组基，是的一组基，推论则，是的推一组基论12121.6,.VnVVVVVV设 是 维线性空间 的一个子空间，则一定存在 的一个子空间使得定理2022-2-2246121212121221122.,-,(),().12,3XYx xXxxYx xcongruentmodulo Yxxmod YYxxxxxXxxxYxx下面给出一个概念，就是，这是矩阵论研究的一个非常有用的工具设 为一线性空间， 为其子空间，是 中的两个向量，如果则称 记作模 同余关系是一种等价关系，也就是满足：（）对称性：若，则；（ ）自反性：对任意有；（ ）传递性

26、模子空间同余定义模 同若，且余：313.xxx，则；模子空间同余、商空间2022-2-2247., . XYxxxxzxzk xkxxzxz依照同余关系，我们可以将 中的元素划分为模 的（或称） 向量 所在的同余类由全体与 同余的向量构成 记成证明两个同余类或者相等，或者不交全体同余类构成的集合可以作成线性空间，其加法和数乘运算分别定义为：也就是， 所在的同余类与 所在的同余类之和为所在的同余类，数乘运算的同余类陪集练习结果也类似.2022-2-2248123),(mod),/.,)0,0,).nnXYquotient spaceXYX YXna aaYaaY同余类按照上述定义所成的线性空间称为 模 的（ 记作或者下面的例子很具启发性：设 为含 个分量的全体行向量（所构成的线性空间， 为前两个分量为零的全体向量（所构成的子空间则两向量模同余当且仅当它们前两个分量对应相等因此，每个等价类都可以用一个仅含两个分量的向量来表示，这两个分量恰商空间好就是该.等价类中全体向量的前两个公共分量2022-2-2249这个例子表明，构造商空间的过程中丢弃了与Y密切相关的那些分量所包含的信息.所以,当我们无需关注这些信息时，构造商空间就成了简化问题的一个好方法.2022-2-2250