泛函分析读书笔记副本

1、泛函分析读书笔记Reading Notes about Functional Analysis崔继峰所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前，需要有扎实的实变函数知识。大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的泛函分析，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段， 泛函分析作为计算数学研究生的基础理论课程， 是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的泛函分析（第二版），该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材

2、， 是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了泛函分析这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是 48 学时（粗略估计）。由于以下两方面的原因： 1）对于泛函分析认识很粗浅； 2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习泛函分析的感受和认识。我本着这样态度写该笔记： 1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略） 2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。 3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）

3、。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是 20 世纪 30 年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的， 它运用几何学、 代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。一、泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里德第五公设的研究， 引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论； 对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达

4、玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了 “希尔伯特空间 ” 的研究。到了二十年代， 在数学界已经逐渐形成了一般分析学， 也就是泛函分析的基本概念。由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。 比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。 这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。 泛函分析的产生正是和这种情况有关， 有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。 因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知， n 维

5、空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。 这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方， 同时存在着把分析几何化的一种可能性。 这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。 现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论， 就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。 在二十世纪三十年代， 泛函分析就已

6、经成为数学中一门独立的学科了。二、泛函分析的特点和内容泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。 比如，不同类型的函数可以看作是 “函数空间 ”的点或矢量，这样最后得到了 “抽象空间 ”这个一般的概念。 它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n 维空间可以用来描述具有 n 个自由度的力学系统的运动， 实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。 比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。 一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学， 就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度

7、系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。正如研究有穷自由度系统要求n 维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法， 也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最 “年轻 ”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、 算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。半个多世纪来，泛函分析一方面以

8、其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段， 并形成了自己的许多重要分支， 例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。 它在微分方程、 概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具， 也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中， 已成为近代分析的基础之一。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。 近十几年来，泛函分

9、析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。三、泛函分析空间知识认识泛函中存在诸多空间，这里对于几个重要的空间予以认识。1. 度量空间我们在作物理、化学、生物等实验时，通过观察会得到很多值，但总是近似的，这时自然要考虑近似值与准确值的接近程度， 反映在数学上这是一个极限问题。数学分析中定义 R 中点列 xn 的极限是 x 时，我们是用 | xn x | 来表示 xn 和 x 的接近程度，事实上， | xn x |可表示为数轴上 xn 和 x 这两点间的距离，那么实数集 R中点列xn 收敛于 x 也就是指xn 和 x 之间的距离随着 n而趋于，即0li

10、m d (xn , x) 0 。n于是人们就想，在一般的点集X 中如果也有 “距离 ”，那么在点集 X 中也可借这一距离来定义极限，而究竟什么是距离呢？1.1 度量空间的定义Definition1.1设 X 为一非空集 合。 若存 在二元 函 数 d : X XR，使得x, y, zX ，均满足以下三个条件：（ 1） d (x, y)0, 且 d ( x, y) 0x y （非负性）（ 2） d ( x, y)d ( y, x) （对称性）（ 3） d ( x, z)d( x, y) d( y, z) （三角不等式），则称 d 为 X 上的一个距离函数，（ X , d ）为度量空间或距离空间，

11、 d ( x, y) 为 x, y 两点间的距离。Notes： 若（ X , d ）为度量空间， Y 是 X 的一个非空子集，则（ Y, d ）也是一个度量空间，称为（ X , d ）的子空间。我们可以验证： 欧式空间 Rn ，离散度量空间，连续函数空间 C a, b ，有界数列空间 l ， p 次幂可和的数列空间 l p ， p 次幂可积函数空间 Lp a, b ( p 1) ，均满足距离空间的性质。Appendix ： p 次幂可积函数空间 L p a,b ( p1) 介绍Lp a,b f (t) | |f (t ) |p 在a, b上 L 可积 ，在 Lp a, b 中，我们把几乎处处相

12、等的函数视为同一函数。 Lp a,b 有下列重要性质：（1）对线性运算是封闭的。即若f , gLp a, b ，则f L p a,b,f g L p a, b ，其中是常数。（2） L p a,bLa, b( p1)。设 f L p a, b ，令 A E(|f |1)，BE(|f|1), E a,b ，则b| f |dm| f |dm| f |dmBaA| f |p dm(b a)Abpdm(ba)| f |a故 f L(a,b) 。（3） f , gLp a, b ，定义p1d p ( f , g )bpf (t )g(t) |dm|（ 2.6）a则 d p 是一个距离函数。称( Lp a

13、, b, d p ) 为 p 次幂可积函数空间，简记为Lp a, b 。1.2 度量空间有重要的定理Theory 1对度量空间 ( X , d) 有（ 1）任意个开集的并集是开集 ; 有限个开集的交集是开集 ;（ 2）任意个闭集的交集是闭集 ; 有限个闭集的并集是闭集 ;（ 3） X 与 既是开集又是闭集 .Theory2 设 (X , d) 是度量空间, x0X , EX ,则x0 是 E 的聚点的充要条件是存在 E 中点列xn( xnx0 ) ,使d (xn, x0 )0(n) .Theory 3设 ( X , d) 是度量空间, EX , xE ,则下面的三个陈述是等价的:(1) x E

14、 ;(2) x 的任一邻域中都有 E 的点 ;（ 3）有点列 xn E ,使 d ( xn , x0 )0(n) .Theory 4 设 ( X , d ) 是度量空间 ,E 是 X 的非空子集 ,则 E 为闭集的充要条件是E E .要比较透彻的研究度量空间，不得不提到一下内容：2. 映射的连续与一致连续性Definition 2.1设 X ，Y 是距离空间， f 是 X 到 Y 的一个映射。x0X 如果对任何0，存在0 当( x, x0 )时，有( fx, fx0 )则称f 在 x0 连续。又若f在X中每一点都有连续，则称f 是X上的连续映射。若对任何0 ，存在( )0 ，只要x1, x2X

15、 ，且d ( x1, x2 )，就有( f ( x1 ), f ( x2 )成立，则称 f 在X 上一致连续。Example 1(x, x0 ) 是距离空间X 上的连续函数，其中x0 是X的一固定点。proof:任取xX 。因为对xX ,( x, x0 )(x , x0 )( x , x0 )( x, x0 )(x, x )( x , x)( x , x0 )( x, x0 )(x , x0 ) =( x, x0 ) =( x, x )( x , x)所以( x, x0 )(x , x0 )( x , x) .于是任给0 ，只要取,当( x, x )时，就有(x, x0 )( x , x0 )

16、,因此 ,( x, x0 ) 是 X 上的连续函数。Theory 2.1 设 ( X , d) ， (Y, ) 是距离空间， f : X Y , x0 X ,则下列各命题等价。(1) f 在 x0 连续；（2）对于 fx0的任一邻域 B ( Tx0,)，都存在 x0 的一个邻域 B( x0 ,) 使得f B(x0 ,)B(Tx0 , ) ；（3）对于 X中 的 任 意 点 列 x n ， 若 xnx0 (n) ， 则f ( xn )f ( x0 )(n) 。proof: （ 1）(2): 由 f 在 x0连续的定义知，任给0 ,存在0 ，当( x, x0 )时有( fx, fx 0 ).注意(

17、 x, x0 )即 xB( x0 ,) , 而 ( fx, fx0 )即 Tx B(Tx0 , ) 。所以 f (B( x0 , )B(Tx0 , ) 。（2）（ 3）:由假设 xnx0 ，即对0 ,存在 N,当 n>N 时， xnB( x0 , ) .由（ 2）有(xn)(f(x0), )，即( f ( x n , fx 0 )因此f ( xn )f ( x0 )，fB,（3）（1）：反证法。假设 f 在 x0不连续，则必存在某个正数0 ，使得对于每一个 1(n1,2,) 有 xn满 足( xn , x0 )1, 但( f (xn ), f ( x0 )0 这 与nnf ( xn )f

18、 ( x0 ) 矛盾。Theory2.2 设 ( X , d ) ， (Y,) 是距离空间， f : XY 。则 f是连续映射的充分必要条件是，对 Y中的任一开集 G ，其原象 f1 (G)x xX ,f ( x)G 是开集。proof:必要性，不妨设 f 1 (G ) 非空。任取 x0f 1 (G) ，即 f ( x0 )G 。因 G 是开集，故存在0 ，使 B( f (x0 ), ) G 。由于 f连续，所以对0 ，有0 ,使得 f ( B( x0 ,) B( f ( x0 ),) G 。即 f ( x0 , )f1 (G ) 。说明 x0 是 f1(G) 的内点，故 f1(G) 是开集。

19、充分性：任取 x0X ，对任意的0 ，取开集 GB( f (x0 ),) ，则 x0f1(G),由假设 f1 ()是开集，因而存在(x0, )f1( ),故G0，使 BGf ( B( x0 ,)G B( f ( x0 ),) ，即 f在 x0 连续。Definition2.2设 (X , d) ， ( Z, )是 两 个 度 量 空 间 ， f: XXZ， 点( x0 , y0 ) XX ，若对任意0 ，都存在 ( x0 , y0 ,)0 ，使得当 ( x, y)XX ，且 d ( x, x0 )， d( y, y0 )时，恒有 ( f ( x, y), f ( x0 , y0 )成立，则称二

20、元映射f 在 ( x0 , y0 ) 点是连续的。 若 f 在 XX 上每点都连续，则称 f 是 XX 上点连续二元映射。若上述与点 (x0 , y0 ) 无关，则称 f 在 XX 上一致连续。Theory 2.3 度量空间 ( X , d ) 中的距离函数 d ( x, y) 是 XX 上的连续二元函数。3 完备性实数空间 R 具有完备性，即 R 中任何基本列必收敛于某实数。现在我们将这些概念引到一般距离空间中来。3.1 完备性概念Definition 3.1设 x n 是距离空间 X 中的一个点列， 若对任何0 ，存在 N，当m,n>N 时，有( xm , xn )则称 x n 是

21、X 中的一个基本列（或Cauchy 列）。如果 X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称 X 是完备的距离空间。Theory 3.1 设 ( X , d) 是度量空间，则（ 1）收敛点列是基本列；（ 2）基本列是有界的；（ 3）若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，其极限即该子列之极限。proof: （ 1 ）设 xn 、 xX ，且 xnx 。则0 ， N N ，当 nN 时，d( xn , xm )，从而 n ， m N 时，2d (xn , xm )d ( xn , x) d( x, xm )2。2（ 2）设 xn 为一基本列，则对1，存在 N ，当 nN 时，有 ( xN 1 , xn

22、 )1，记 Mmax(x1, xN 1 ),(x2 , xN 1 ),( xN , xN 1 ),1， 则 对 任 何 m, n ， 均 有( xn , xm )(xn , xN 1 )(xm , xN 1 )MM2M 成立，即 xn 有界。设 xn 为一 基本 列， 且 xni 是 xn 的收 敛子 列 ， xnix(i).于是，0,N 1N ，当 m,nN1 时 ， d ( xn , xm )；N2N，当 iN2 时，2d ( xni , x)。取 Nmax N 1, N 2 ，则当 n N ， iN 时， niiN ，从而有2d ( x n , x) d (x n , x n i)d (

23、x n i, x)22，故 xnx(n) 。Example 2Ca,b是完备的距离空间。proof:设x n 是 Ca,b中的基本列，即任给0,存在 N，当 m,n>N 时，( xm , xn )即max xm (t )xn (t )t a, b故对所有的 ta,b, xm (t)xn (t)由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数 x(t) ，使x(t)在a,b上一致收敛于x(t)，即且Ca,b.( xm , x) 0( n) , xn因此 Ca,b 完备。Example 3空间 L p a,b( p1) 是完备的距离空间。proof: 取x n 是 Lp a,b 中的基本列，即

24、任给0，存在 N，当 m,n>N 时，( xm , xn ) (xm (t)pxn (t) dt )1 / pE于是对 1/2k 有 nk 且k+1k 使,n>n1( xnk 1bp1 / p, xn ) ( xnk 1 (t ) xnk (t ) dt )2ka由 Holder 不等式，得bbxnk 1 (t ) xnk (t) )dt( xnk 1 (t )aa1(ba)1/ q( 12kppbxnk (t) dt )1/ p (dt )1/ qa11)q故有bxnk (t ) dt(b a)1 / qxnk 1 (t )ak 1由前面定理知xnk 1 (t)xnk (t )(

25、n 乎处处成立） ,k 1即xnk (t)xnk 1 (t) 收敛，从而部分和k 1xn1 (t)xn2 (t ) xn 2 (t) xn 3 (t)xnk 1 (t )xnk (t ) = xn1 (t )xnk (t )几乎处处收敛 (k )。因此存在一个函数 x(t) ，使 lim xnk(t)x(t )k以下证明在 L p a,b 中, xn (t )x(t )(n) ,且 x(t ) L p a, b 。由假设，任给 >0,存在 N，当 m,n>N 时，bxm (t)pdtpaxn (t )当0 时故有任意固定一个 n，使 n>N,取 k0k>kk Nb>

26、;N,pm=n >n >N,pxn (t)xnk (t)dta应用法杜定理blim xn (t)a kpbppxn k(t ) dt limxn (t )xn k (t ) dtka又因blim xn (t )a k所以有( xn , x)0( n最后，由而 xn (t)x(t ) 与 xn (t)pbpxnk (t )dtxn (t)xnk (t)dt( xn , x)a) 。x(t ) x(t ) xn (t)xn (t)L p a,b 。故得 x(t)L p a, b 。我们知道，有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间

27、不可比拟的好的性质与广泛的应用。对于一般的距离空间也是一样， 完备性在许多方面起着重要作用。 那么是否对于任一不完备的距离空间都可以添加一些点使之成为完备的距离空间呢？答案是肯定的。下面给出空间完备化的定义与结论。设 X ，Y 是距离空间， T:XY,如果对任何的 x1,x2X, 都有 (Tx1 ,Tx2 )(x1 , x2 ) 则称 T 是 X 到 Y 上的等距映射，并称 X 与 Y 等距。可以证明，对于每一个距离空间X ，必存在一个完备化的距离空间X 0，使得 X 等距于 X 0 中的一个稠密子空间 X，如果除去等距不计， X 0 还是唯一确定的。 4 可分性在实数空间 R 中，有理数处处

28、稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间 R 的可分性。同时，实数空间 R 还具有完备性，即 R 中任何基本列必收敛于某实数。现在我们将这些概念引到一般距离空间中来。Definition4.1 设 X 是距离空间， AB X ，如果对任何 x B ，总存在n使xnx(n)，则称 A 在 B 中稠密（或 A 是 B 的稠密子集）。又x A,若 B=X ，通常称 A 在 X 中处处稠密。Theory 4.1设 ( X , d) 是度量空间， A 在 B 中稠密与下列各命题互相等价，（1） BA（其中 AA A 的聚点 称为 A 的闭包）。（2）对任何 xB 及0, N (x) （x 的邻

29、域）内都含有 A 的点。（3）任取一个0, S( x, ) x AB 。即由以 A 中每一点为中心为半径的开球组成的集覆盖B。另外，稠密集还有如下性质：若 A 在 B 中稠密， B 在 C 中稠密，则 A 在 C中稠密。Definition4.2距离空间 X 叫做可分的，是指在 X 中存在一个稠密的可列子集。A X 叫做可分的， 是指存在 X 中的可列子集 B，使 B 在 A 中稠密，即 BA 。欧氏空间 Rn 是可分的，因为坐标为有理数的点组成的集构成Rn 的一个可列稠密子集。空间 Ca,b是可分的，可以证明：具有有理系数的多项式的全体P0 在 Ca,b中稠密，而0Lp a,b, lp等都是

30、可分的。P 是可列集还可以证明空间存在着不可分的距离空间。考虑 l中的子集A x (x1 , x2 , , xn , ) xn0或1则当 x,yA,xy 时，有( x, y)1。因0,1 中每一个实数可用二进制表示， 所以 A 与 0,1 一一对应，故 A 不可列。假设 l可分，即存在一个可列稠密子集A 0，以 A 0 中每一点为心，以 1为半3径作开球，所有这样的开球覆盖 l，也覆盖 A 。因 A 0 可列，而 A 不可列，则必有某开球内含有 A 的不同的点，设 x 与 y 是这样的点，此开球中心为X0，于是1(x, y)(x, x0 )112( x0 , y)333矛盾，因此 l 不可分。

31、5 赋范线性空间与 Banach 空间Definition 5.1设 X 是实（或复）线性空间，如果对于 X 中每个元素 x 按照一定的法则对应于一个实数x ，满足：（1）x 0,x0的充分必要条件是 x;(2)xx();（3）xyxy , 则称 x 是 x的范数，称（ X, . ）为赋范线性空间，或简称X 为赋范线性空间。设 X 是赋范线性空间，对于x,yX及K 令( x, y)xy ,那么从范数的定义可以验证 (x,y)满足距离的所有条件，我们称这样得到的距离为由范数 | | 诱导出的距离，这时 X 构成一个距离空间。已知赋范线性空间是特殊的距离空间，如果 (x,y)是范数所诱导出来的距离

32、，那么这种距离和线性运算之间存在着以下关系。对任何x,yX 及K 有(1)(xy,)( x, y);(2)(x)( x).反之，设 X 是线性空间，又其上有距离 ( x, y) ，满足上述条件（ 1）和（ 2），我们定义 x ( x, ) 可以验证它满足范数条件，并且由这个范数诱导出来的距离即原来的距离 ( x, y) 。这就是说，对于具有线性运算的距离空间，如果它的距离与线性运算之间满足条件（1），（ 2），即可成为赋范线性空间。既然任何一个赋范线性空间都可以看成是距离空间，那么距离空间中的邻域、开集、闭集、可分性与完备性、列紧性与紧性等概念都可以相应定义。下面给出赋范线性空间中的收敛概念。

33、Definition 5.2 ： 设 X 是赋范线性空间，x，xnX （ n=1,2,3, ），若 xnx0(n), 则称点列 x n 依范数收敛于 x，记作 lim xnx ，有时简记为 xnx(n) 。nDefinition 5.3：完备的赋范线性空间称为Banach空间。对于课本上的内容就做这些笔记吧，因为其他重要内容书本很透彻的讲解了，况且如果照顾很多细节内容的话， 哪个也写不清楚， 只能把握重要的和熟悉的内容，方法。我接下对泛函分析应用举例来说明学习泛函到底有什么用？ （这是很多初学者困惑的地方， 我个人认为）我把这本部分内容作为笔记的附录内容。Appendix ：（本附录非常适合于

34、对滤波器的基本概念和术语不是十分熟练的读者，但是该例子可以适当说明泛函的广泛最用）A.1l 2 ( Z ) 理论及定义首先，我们介绍 l 2 ( Z ) 上的线性算子的一个一般结论。TheoryA.1 设 F : l 2 (Z ) l2 ( Z ) 为一平移可交换的连续线性算子，则存在序列( hk ) k Zl 2 (Z ) ，使得对任何 x (xk )k Zl 2 (Z) ，均有下式成立：Fx khk n xn(A.1)n Z而且，函数 H ()k Z hk eikL (0,2) ， FH 。反之，若 ( hk ) k Z l 2 (Z )且 HL (0,2) ，则 (A.1)式定义了一个平

35、移可交换的连续线性算子，且FH。proof:设22为一平移可交换的连续线性算子，k为 2 ()F : l ( Z )l ( Z )k Zl Ze的标准基，且 ek0,nk, ，则 Fe0l 2 ( Z ) 。令 h(hk ) ，因为 F 具有平移可1,nk.交换性，所以对任何 kZFekhk n en(A.2)nZ成立。我们转到光谱领域并定义算子2(0, 2)L2(0, 2) 为：F： L)Y ()yk eik， X ()ik2(0, 2) ，其中 ( yk ) F ( xk ) 。FX (kZ xk eLkZ由于傅里叶变换为等距变换，从而F 。在 (A.2) 中两F 为有界线性算子且F边同时

36、用傅里叶变换可得：FekhninH ()eikikH (ik，由线性性可知，k e。由 F的定义知， Fe)enZ对任何有限的三角和 XN 均有FXN H( )XN 成立。我们断言对所有XL2 (0, 2) ，此式成立。事实上，设 X N 有限的三角和且 X NXL2 (0,2) ，的连续性知，L22 )。又H22 )，HX12) ，由 FFX NFX(0,L (0,L (0,而H(XNX ) 1H2XNX 2 ，当 N时，上式的右边趋于0，于是HX NHX1) 。再加上 HX NL2(0, 2 ) ，从而函数 FXL(0,2FX NFX和 HX 几乎处处相等。即，对 a.e.)()H ()

37、X () 。(0, 2 ) ，(FX这里，纯粹是应用测度、积分及泛函分析知识来证明HL (0,2 )且H。F一般的结论是：设( X ,) 为可测空间， gL2 ( X ,) 且对所有 gL2 ( X ,) 均有gfL2 (X,) 成立。则（i） G : L2 ( X ,)L2(X,) 为有界线性变换，其中G 定义为：fL2( X ,) ， Gfgf ；(ii)gL(X ,) 且 Gg。然而由于它有丰富的整数群结构及对偶群T ，所以有一种更好的方法来处理。为了证明 HL (0, 2 ) ，我们考虑这种特殊的单位向量X N ()11 ei ()ei ( N 1)() 。N因为 XNHX N ，所以1及 FXNFX N2F 。通过计算得22122FXN( )2K N () H ( ) d，20其中2K N ()X N()21sin N2Nsin2为 Fej e r 核。因而 K NH2()2 22(0,2 ) 关FXN()F,于是 KN HL