标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数

1、标准曲线的最小二乘法拟合与相关系数 尹情胜标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室 尹情胜）1 目的用最小二乘法拟合一组变量（xi，yi，i1-n）之间的线性方程（yax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）一组数据（xi，yi，i1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊）2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（yi）与实测值（yi）差值的平方和（Q）最小。Qi1n（yiyi)2i1n（yiaxi-b)2 式（1）3 拟合方程的计算公式与推导当Q最小时，Qa0，Qb0；得

2、到式（2）、式（3）：Qa=2(ai=1nxi2+bi=1nxi-i=1nxiyi)=0 式（2）Qb=2(ai=1nxi+nb-i=1nyi)=0 式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：i=1nxiyiai=1nxi2+bi=1nxi 式（4）i=1nyiai=1nxi+nb 式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以i=1nxi，两式相减并整理得斜率a：斜率 ani=1nxiyi-i=1nxii=1nyini=1nxi2-(i=1nxi)2 （kxyxx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即：截距 b1n（i=1nyi-ai=1nxi） b（y-x）n，差平

3、均差）式（7）4 相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。相关系数rxy取值在-1到1之间。rxy = 0时，称x,y不相关； | rxy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系； | rxy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，rxy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大， |rxy | > 0.8时称为高度相关，当0.5<

4、| rxy|<0.8时称为显著相关，当 0.3<| rxy |<0.5时，成为低度相关，当 | rxy | < 0.3时，称为无相关。rxy=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2 (xy/x2y2)，Lxy/LxxLyy) 式（7） 5 临界相关系数的意义5.1 临界相关系数中显著性水平（）与置信度（P）的关系显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。在正常的分布条件下，一般要求实际值位于置信区间的概率应该在95%以上，这个置信区间为Y±2S，从而置信区间的上下限分别为：Y1=a+bX+2S，Y2=a+bX

5、-2S。5.2 临界值表中自由度（f）自由度(degree of freedom, f)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常f=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。f=np1其中：n为样本数(点的个数)，p为因子数（p元回归，一元线性回归，p1）。5.3 相关系数临界值表附表7. 相关系数临界值表（自由度fn-2）  n20.100.050.020.010.001&#

6、183; n21234567891011121314151617181920253035404550607080901000.987 690.900 000.805 40.729 30.669 40.621 50.582 20.549 40.521 40.497 30.476 20.457 50.440 90.425 90.412 40.400 00.388 70.378 30.368 70.359 80.323 30.296 00.274 60.257 30.242 80.230 60.210 80.195 40.182 90.172 60.163 80.099 6920.950 000.8

7、78 30.811 40.754 50.706 70.666 40.631 90.602 10.576 00.552 90.532 40.513 90.497 30.482 10.468 30.455 50.443 80.432 90.422 70.380 90.349 40.324 60.304 40.287 50.273 20.250 00.231 90.217 20.205 00.194 60.999 5070.980 000.934 330.882 20.832 90.788 70.749 80.715 50.685 10.658 10.633 90.612 00.592 30.574

8、 20.557 70.542 50.528 50.515 50.503 40.492 10.445 10.409 30.381 00.357 80.338 40.321 80.294 80.273 70.256 50.242 20.230 10.999 8770.990 000.958 730.917 200.874 50.834 30.797 70.764 60.734 80.707 90.683 50.661 40.641 10.622 60.605 50.589 70.575 10.561 40.548 70.536 80.486 90.448 70.418 20.393 20.372 10.354 10.324 80.301 70.283 00.267 30.254 00.999 998 80.999 000.991 160.974 060.950 740.924 930.898 20.872 10.847 10.823 30.801 00.780 00.760 30.742 00.724 60.708 40.693 20.678 70.665 20.652 40.597 40.554 10.