三角函数的最值问题

1、 三角函数的最值问题一、知识要点求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理.基本类型（1）（或）型，利用（或），即可求解，此时必须注意字母的符号对最值的影响.（2）型，引入辅助角，化为，利用函数即可求解.（3）（或）型，可令（或），化归为闭区间上二次函数的最值问题.（4）（或）型，解出（或）利用（或）去解；或用分离常数的方法去解决.（5）（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当时，还可以利用数形结合的方法去处理.（6）对于含有的函数的最值问题，常用的方法是令将转化为的关系式，

2、从而化归为二次函数的最值问题.（7）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论.二、例题精析例1、已知，若且，求的取值范围.练习1、函数有最大值2，最小值-1，则实数= ，= .练习2、已知函数.（1）若，求函数的值； （2）求函数的值域.例2、求函数的最大值.练习3、求函数的值域.例3、求函数（为常数）的最大值；并求出当时，的最小值.练习4、求函数的最大值与最小值.例4、求函数的最大值练习5、函数的最大值为最小值为例5、若，且和满足条件.（1） 用表示；（2）求的最大值.练习6、已知是关于的方程的两个实根，求的最小值.例6、实数满足，设，则的值为 .例7、设实数满足，求的最值.练习7、

3、实数满足方程，则的最大值与最小值的和等于 .练习8、求函数的最大、最小值.例8、设 ，使不等式成立，求的取值范围.练习9、定义在上的减函数使得对一切成立，求实数的范围.三、巩固练习：1、当时，函数的最小值为 （ ） （A）2 （B） （C）4（D）2、已知k4，则函数ycos2xk(cosx1)的最小值是 ( )(A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k13、设，对于函数，下列结论正确的是 （ ） A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值 C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值4、已知函数,则的值域是 （ ）(A) (B) (C) (D) 5、函数y=sin2+4sinx,x

4、的值域是 （ ）(A)-, (B)-, (C) (D)6、设函数为常数）的最大值为1，最小值为-7，那么的最大值是 .7、设实数x,y,m,n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是常数，且ab)，那么mx+ny的最大值是 .8、已知函数，.求:(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(II) 函数的单调增区间.9、求函数2的值域和最小正周期第五讲 三角函数的最值参考答案二例题精析例1、解：因为，所以所以又因为，所以于是 解得练习1、解：（其中）当时，有，即，当时，有，即，解得。练习2、解：（1）， . （2）， ， 函数的值域为.例2、解法一：将原函数变形得得（其中由决定），应用

5、，解得。又，则，故欲求函数的最大值为。 解法二：设则原函数变成，得 利用判别式即又 解得，故的最大值为。 此时，即 解法三：由解法二，设则 即 易知函数在区间为减函数，在上为增函数，故的最小值为。 的最大值为，此时，即。 解法四：的值可看作是过点和两点的直线的斜率，点A在半圆上运动，作图可知的范围是所以的最大值为。练习3、解答：例3、解：，故当最小时，最大。（1）若，则当时，最小，所以；（2）若，则当时，最小，此时；（3）若，则当时，最小，此时。练习4、解： 当，即时， 当，即时，。例4、解：令，则，的最大值为练习5、解：最大值为，最小值为0。例5、解：（1）（2）令，则，即且，解得。故的最大

6、值是。练习6、解法一：由及可得 另外，由题意还可知 解得 再由可得结合，可知，当时，有最小值例6、解：填。理由：易知设 ，代入， 得于是得，从而故。例7、解：设，得，即，则，于是从而（1）当时，即或，因此，当时，；当时，（2）当时，即时，因此，当时，；当时，。综上可知，练习7、解：填24。理由：题设方程配方为，于是可设，即，则，故练习8、解：因，可令，则原函数式变为，其中由确定，从而例8、解：由题意得恒成立，所以所以的取值范围为练习9、解：只要恒成立，由得，由，只要不小于的最大值0和不大于的最小值，解，得三、巩固练习：1、D 2、A 3、B4、解析：即等价于，故选择答案C。5、解：，故选择C。6、5 7