《数独直观法概述》word版

1、直觀法概說前言· 數獨這個數字解謎遊戲，完全不必要用到算術！會用到的只是推理與邏輯。剛開始接觸數獨時，即使是只 須用到"基礎摒除法"及"唯一法"技巧的簡易級謎題，就已可讓我們焦頭爛額了，但是隨著我們深陷數獨的 迷人世界之後，這類簡易級的數獨謎題必定在短時間內難再使我們獲得征服的滿足。於是，當我們逐步深入 、進階到更難的遊戲後，我們將會需要發展出更多的解謎技巧。雖然最好的技巧便是我們自己發現的竅門， 這樣我們很容易就能記住它們，運用自如，不需要別人來耳提面命。但是如果完全不去觀摩學習他人發展 出來的技巧，而全靠自己摸索，那將是一個非常堅苦的挑戰，

2、也不是正確的學習之道！ 所以讓我們一齊來探討數獨的解謎方法吧！ · 數獨的解謎技巧，剛開始發展時，以直觀法為主，對於初入門的玩家來說，這也是一般人 較容易理解、接受的方法，對於一般報章雜誌及大眾化網站上的數獨謎題而言，如果能靈活直觀法的各項 法則，通常已游刃有餘。 直觀法詳說· 什麼是直觀法？想像一下：如果有人拿了中國時報、蘋果日報或自由時報所刊載的數獨謎題，還有一枝筆， 跑來請您示範該如何解題，這時您將如何開始呢？如果您會說： 1. 好，我們先把這個題目輸入電腦，利用電腦提供的各種功能，我才能很快速方便的解題。 2. 好，但這報紙上的格子太小了，不方便註記候選數，我們改用

3、這張格子較大的紙張，把題目抄過去解題。 3. 好，等我先把候選數表做好，再解給你看。 4. 好，我去準備一枝鉛筆及橡皮擦，以方便塗改。 5. 好，我去找一下.以協助解題。 那麼您所用的方法就不是直觀法解題。 · 什麼是直觀法？也許別人另有想法，不過尤怪給的定義是：如果您可以只要使用一枝筆，就可以馬上開始解報章雜誌上的數獨謎題。那麼您所使用的方法就算是直觀法了。 · 根據以上的定義，如果在解題的過程中，將一些線索註記下來，以方便後續的解題，那是允許且不矛盾的。 · 直觀法的特性： 1. 不需任何輔助工具就可應用。所以要玩報章雜誌上的數獨謎題時，只要有一枝筆就可以開始

4、了， 有人會說：可能需要橡皮擦吧？答案是：不用！只要你把握數獨遊戲的填製原則：絕不猜測。靈活運用 本站所介紹的直觀填製法，確實可以不必使用橡皮擦。 2. 從接到數獨謎題的那一刻起就可以立即開始解題。 3. 初學者或沒有電腦輔助時的首要解題方法。 4. 相對於候選數法，能解出的謎題較簡單。 · 直觀法的主要的技巧可分為餘數法及摒餘法兩大類。 1. 餘數法：是觀察特定的空格是否有解的方法，也是初學者剛接觸數獨時，最容易理解及應用的方法。 2. 摒餘法：是觀察特定的數字在某一單元是否有解的方法，也是入門後應用最廣的方法。 · 雖然入門後，大家在解題時必定優先使用摒餘法，但因為初學

5、者最先學會及理解的可能還是餘數法，所以以下還是先介紹餘數法， 然後才介紹摒餘法。 餘數法· 餘數法就是確認空格應填數字的方法。 · 餘數法如何確認空格中應填的數字呢？很簡單，只要看看空格的同一群組(同一行、同一列、同一九宮格)已出現的數字有多少就好了， 當出現的數字已有 8 個時，剩下的那一個數字就是這個空格的正解了。 · 這種尋找正解的方法，是一般人在未接受教學時，第一個最容易想到的解題技巧，所以我們第一個要探討的就是它。 以下就用 <圖 1> 的數獨題來示範： <圖 1>· 假設玩家由左上角起向右下用餘數法來找解，他的作法如下

6、： 1. 因為 (1, 1) 已填有數字 8 ，所以跳過。 2. 因為 (1, 2) 的同一群組中僅填有數字 1、2、5、6、7、8 ，所以可能填到 (1, 2) 中的數字還有 3、4、9 三個，如 <圖 2>： <圖 2>3. 倒底 (1, 2) 的正解是哪一個呢？目前無法判定，所以也跳過。 4. 接下來考慮 (1, 5)，因為 (1, 5) 的同一群組中僅填有數字 1、2、4、5、6、7、8 ，所以可能填到 (1, 5) 中的數字雖然僅有 3、9 二個，如 <圖 3>： <圖 3>5. 但倒底 (1, 5) 的正解是哪一個呢？目前一樣無法判定

7、，所以也要跳過。 6. 一般初學者最缺乏的就是耐心，連續幾次的失敗之後就開始失去耐心而使用猜測，然後填了大半數字之後發現出了問題， 卻不曉得該退到哪一格才好，只好全部擦掉重填。在歷經如此的失敗幾次之後，就再也激不起挑戰的興趣了。如果您是 只會使用餘數法的初學者，或者在使用摒餘法而找不到解之後轉而使用餘數法，請您務必以最大的耐心及細心慢慢搜尋， 千萬不可大而化之，或直接使用猜測，否則結果確實是大半是重填居多的。 7. 接下來考慮 (1, 7)，因為 (1, 7) 的同一群組中已填有數字 1、2、3、4、5、6、7、8 ，所以可能填到 (1, 7) 中的數字僅有 9 一個了，如 <圖 4&g

8、t;： <圖 4>8. 所以 (1, 7) 的正解當然就是 9 了。 9. 雖然這樣子一直尋找下去，也是一種系統解題的方法，但要花去多少時間與耐心？有多少玩家有這種耐心與毅力？ 所以就算要用餘數法，也要尋找更佳的使用策略。 · 餘數法在實際解題時可細分為以下各法，各法的應用時機及要點，請點選相關連結去了解： 1. 唯一法。 2. 二餘法。 3. 三、四餘法。 4. 數對唯餘法。 5. 數對摒除法。 6. 唯餘法。 7. 區塊數對唯餘法。 摒餘法· 摒餘法：就是幫未填的數字尋找應填位置的方法。 · 摒餘法就是利用一些方法，將未填數字在指定單元中不可能填入

9、的空格一一摒除，如果可以摒除 到只餘一個空格時，這個未填數字當然就是該空格的正解了。而進行摒除的方法如下： 1. 基礎摒除法。 2. 區塊摒除法。 3. 單元摒除法。 4. 矩形摒除法。 5. 數對摒除法。 6. 數偶摒除法。 · 利用各種摒除的方法將指定單元中不可能填入的空格一一摒除，所得到的解叫做摒餘解。 1. 如果以某數對某宮摒除之後，發現某數在該宮只餘一個空格可填，稱之為宮摒餘解。 2. 如果以某數對某行摒除之後，發現某數在該行只餘一個空格可填，稱之為行摒餘解。 3. 如果以某數對某列摒除之後，發現某數在該列只餘一個空格可填，稱之為列摒餘解。 直觀法的解題策略· 如

10、前所述，直觀法又可細分為很多解題技巧。那麼，實際解題時應該先用哪一個技巧呢？ · 這個問題當然是見仁見智，不可能大家所見皆同，所以尤怪就拋磚引玉，就教於大家吧，尤怪目前的解題策略為： 1. 先用宮摒餘法找宮摒餘解。這當中除了基礎摒除法中的行、列摒除法外，若能運用區塊摒除法及單元摒除法時，也會順便一併採用。除了使用數獨教授等電腦解題程式來解題時，因為電腦會顯示未填數字的剩餘量(例：還有多少個 1 沒填， 還有多少個 2 沒填.)，所以可由未填量最少的數字找起之外，通常是由數字 1 開始尋找，等到每個數字都找過一遍 之後，如果第二輪的找解仍十分順暢，則仍用宮摒餘法，否則到下一步。 2.

11、如果可用數對唯餘法、唯一法、二餘法找到數對唯餘解、唯一解、二餘解則用之。不過每填入一個正解， 建議用該正解數字找一遍宮摒餘解。 3. 如果可用數對摒除法、三餘法或四餘法找到數對摒除解、三餘解或四餘解則用之。同樣的，每填入一個正解， 建議用該正解數字找一遍宮摒餘解。 4. 最後只好採用唯餘法、行列摒餘法、矩形摒除法、數偶摒除法等困難不易觀察的方法。不過如果須用到這一步， 都已是五星級、困難級、Hard 級以上的題目了。在一般書報雜誌上的數獨題，通常並不必用到這些方法。當然電腦或網路上的 題目不在統計之列。 結語· 雖然網路上有許多的數獨謎題可玩，而且好像人人都有自虐的傾向，只要做得出較

12、簡易的題目之後， 就會嘗試向更困難的題目挑戰，所以網路上不乏需要 Colouring、Forcing Chains 等需為超人且有電腦輔助時 才能解題的數獨謎題。 · 尤怪在撰寫數獨大師時，寫到關鍵數刪減法(Colors, Colouring)後，本想將 Forcing Chains 也一併完成， 並向其他更為艱深的方法挑戰，但稍停後不禁自問：如果沒了電腦，真的有人會這樣解題嗎？ 像這樣的解題，真的還有樂趣嗎？ · 於是尤怪轉而撰寫數獨教授，把精力都放在直觀法解題。沒錯，候選數法解題是可以解出很多 直觀法解不出的數獨謎題，但那是少數精英的世界；直觀法解題雖然可解的題目受到了

13、部分限制， 但那才是一般數獨大眾最容易親近的世界，祝大家在數獨樂園玩得愉快。 唯一法前言· 直觀法可概分為由空格找正解數字的餘數法及由數字找正解空格的摒餘法兩大類。唯一法是餘數法中的一個特例， 其成立條件十分特殊明確，只要點算數字之後，就可以立即確認正解，是直觀法中最簡易的方法， 但在實際的解題過程中，有些人會故意忽略不用，不加理會；有時則會因粗心而忽略，造成後續解題的困擾。 什麼時候可忽略，什麼時候不能忽略，運用之妙，只有自己去體會了。 唯一法詳說· 當數獨謎題中的某一個宮格因為所處的單元(列、行或宮)已填入 8 個數字時，那麼這個宮格所能填入 的數字，就只剩下那個還沒出

14、現過的數字了。利用這個方式找到正解的方法就是唯一法。 · 當某列已填入數字的宮格達到 8 個時，所剩宮格唯一能填入的數字就叫做列唯一解；當某行已填入數字的宮格達到 8 個時，所剩宮格唯一能填入的數字就叫做行唯一解；當某宮已填入數字的宮格達到 8 個時，所剩宮格唯一能填入的數字就叫做宮唯一解。 <圖 1> (5, 9)出現列唯一解 6 了· <圖 1>是出現列唯一解的例子，請看第 5 列，由 (5,1) (5,8) 都已填入數字了，只剩(5,9)還是 空白，此時(5,9)中應填入的數字，當然就是第 5 列中還沒出現過的數字了！請一個個數字核對一下， 哦

15、！是數字 6 還沒出現過，所以(5,9) 中該填入的數字就是數字 6 了，這時我們說：(5, 9)有列唯一解 6 ； 也可記成 ： 列唯一解(5, 9)= 6 。 <圖 2> (7, 1)出現行唯一解 9 了· <圖 2>是出現行唯一解的例子，請看第 1 行，除了宮格 (7,1) 外都已填入數字了，此時(7,1)中應填入的數字， 當然就是第 1 行中還沒出現過的數字 9 了！這時我們說：(7, 1)有行唯一解 9 ；也可記成 ： 行唯一解(7, 1)= 9。 <圖 3> (7, 2)出現九宮格唯一解 3 了· <圖 3>是出現

16、宮唯一解的例子，請看左下宮，除了宮格 (7,2) 外都已填入數字了，此時(7,2) 中應填入的數字，當然就是左下宮中還沒出現過的數字 3 了！這時我們說：(7, 2)有宮唯一解 3 ； 也可記成 ： 宮唯一解(7, 2)= 3。 唯一法的最少提示格· 如果可以自己出題，對以下資料可能會有點興趣，如若不然，當成談興也還不錯。 · 4×4 數獨的最少提示格為4。但如果限制只能使用唯一法解題，則最少提示格為 8。以下為一例： <圖 4> 只能使用唯一法解題的最少提示格 4×4 數獨一例· 對稱 6×6 數獨的最少提示格為8。但如

17、果限制只能使用唯一法解題，則最少提示格為 24。以下為一例： <圖 5> 只能使用唯一法解題的最少提示格 6×6 數獨一例· 對稱 9×9 數獨的最少提示格為18。但如果限制只能使用唯一法解題，則最少提示格為 60。以下為一例： <圖 6> 只能使用唯一法解題的最少提示格 9×9 數獨一例·結語· 使用直觀法時，大部分的時間應該都在使用宮摒餘法，尤其是剛開始解題時，唯一法的使用機會不大， 但隨著填入的數字越來越多，唯一法派上用場的機會就越來越高了。雖然玩家也能完全以摒餘法系統性的尋找題解， 不過這麼特殊、容易辨

18、認的情況出現了，而不去理會，也未免太可惜啦！ · 為什麼會有人情願放棄採用這麼特別、得到正解的機率為100% 的方法呢？請自己多使用幾次自然就會明白了！例如： <圖 6 >是可以完全使用唯一法解題的數獨，就請您只使用唯一法來解題；然後再使用宮摒餘法來解解看， 看看使用哪一種方法時比較順暢！？相信只要是已入門的玩家都會回答：還是宮摒餘法順暢多了。因為唯一法 得到正解的比率雖可達到 100%，但每一次都必須點算 19 的數字，且一點都不能出錯；而宮摒餘法就直覺多了。 · 數獨的解題策略是一門藝術，運用之妙存乎一心；學得技巧之後，如何運用就看您自己判斷了！ 二餘法前言

19、· 在運用餘數法時，當然會先優先考慮是否可以應用唯一法，因為它的得解率是 100%。但如果沒有唯一法可應用的空間， 第二個最佳選擇就是二餘法了。 · 所謂二餘法就是某一個單元(行、列或九宮格)待填的數字已降到 2 個時，就以該單元所餘待填的兩個數字，在 所餘的兩個空格之所在群組的另兩個單元中尋找，如果可以找到任何一個，就可以確認空格之正解；且如果找到了某個空格的正解， 那麼另一個空格的正解就隨之確定，所以二餘法雖然不像唯一法得解率 100%，但保証一次可得到兩個正解，也是令人十分暢快的。 因為目標確定，須要觀察的項目不多，又保証一次可得到兩個正解，所以算是十分簡易有效、使用

20、的優先順序應排在前面的方法。 餘數法策略分析· 敘述的文字再多，不如實例及圖示，我們就以 < 圖 1 > 為例來說明二餘法的技巧，並分析餘數法的運用策略吧！ <圖 1>· 在 <圖 1> 中，我們找不到已填 8 個數字的單元(行、列、宮)，所以不能使用唯一法求解。在唯一法之後，如何使用餘數法才好呢？ 請試著比較以下二者的求解策略： · 求解策略一： 1. 找到一格看起來同一群組中已填數字似乎較多的空格，例如 <圖 2> 中的 (3, 7)。 <圖 2>2. 開始點算本群組已出現過的數字：找不到數字 1、(

21、2, 7)=2、(6, 7)=3、(9, 7)= 4、找不到數字5、(7, 7)=6、 (5, 7)= 7、(4, 6)= 8、(3, 3)= 9，所以數字 1、5 都還有可能填入本格，以目前資料還不能確認正解為何。 3. 再找一個空格，重複以上過程以求解。如果運氣好一點，例如找到了空格 (8, 7)，則因為(8, 9)=1、(2,7)=2、 (6, 7)=3、(9, 7)= 4、找不到數字5、(7, 7)=6、(5, 7)= 7、(1, 7)= 8、(9, 8)= 9，所以只剩下數字 5 還 沒有出現、是唯一有可能填入本格的數字了，此時 (8, 7) 的正解當然就是數字 5 無疑啦！ 4.

22、在 (8, 7) 填入數字 5 之後，發現第 7 行出現了唯一解，但其正解為何呢？為了求解，只好再點算一次： 找不到數字 1、(2, 7)=2、(6, 7)=3、(9, 7)= 4、(8, 7)= 5、(7, 7)=6、 (5, 7)= 7、(4, 6)= 8、(3, 3)= 9，哦！(3, 7) 的正解就是數字 1。 · 求解策略二： 1. 找到一個看起來已填數字似乎較多的單元，例如 <圖 3> 中的第 7 行。 <圖 3>2. 開始點算本單元已出現過的數字：找不到數字 1、(2, 7)=2、(6, 7)=3、(9, 7)= 4、找不到數字5、(7, 7)=

23、6 (5, 7)= 7、(4, 6)= 8、(4, 7)= 9，所以本單元僅剩數字 1、5 都還有可能填入。 3. 開始點算 (3, 7) 的其他群組數字，在此格之同一列及同一九宮格中找不到數字 1 或 5，所以本格的可能填數仍為兩個， 無法確認何者為正解。 4. 開始點算 (8, 7) 的其他群組數字，在此格之同一列中找到 (8, 9)= 1，所以本格的正解 (8, 7)= 5。 5. 因為數字 5 已被 (8, 7) 填入了，所以 (3, 7)= 1。 · 上述的策略一及策略二有何不同呢？ 1. 策略一的每一次點算，對其他格並沒有任何幫助。 2. 策略二的數字點算，則對單元內的其

24、他格有決定性的助益。 · 一般的初學者大概都會先採用上面的策略一，等到一段時間之後，或許是有人教導，或許是自行領悟，自然會改採策略二。 · 如果您也認同策略二可能優於策略一。那麼問題又來了：倒底要怎麼挑選策略二中的單元呢？ 1. 如果挑選只剩下一個空格的單元，哦！那是唯一法，得解率可是百分之百的。 2. 如果挑選只剩下兩個空格的單元，那就是本網頁所要探討的部分。 3. 如果挑選只剩下三個空格或四個空格的單元，那叫做三餘法及四餘法。 4. 如果運用以上方式仍找不到解，只好全面一一點算，那就是唯餘法了。 · 使用唯一法時，只要點算本單元的數字即可，不必管群組中另兩個單

25、元有什麼數字，所以得解率百分之百。 · 使用二餘法時，要先點算本單元尚缺哪兩個數字，然後在群組中的另兩個單元去找，如果可以找到任何一個，就可以 確認空格的正解。且一次可得到兩個空格的正解。 · 使用三餘法時，要先點算本單元尚缺哪三個數字，然後在群組中的另兩個單元去找，如果可以找到任何兩個，就可以 確認空格的正解。通常會再繼續使用二餘法的技巧嘗試找解，因為可省去點算的過程了。 · 使用四餘法時，要先點算本單元尚缺哪四個數字，然後在群組中的另兩個單元去找，如果可以找到任何三個，就可以 確認空格的正解。通常會再繼續使用三餘法的技巧嘗試找解，因為可省去點算的過程。

26、83; 使用唯餘法時，要先點算本單元尚缺哪些數字，然後在群組中的另兩個單元去找，如果只有一個數字找不到，就可以 確認空格的正解。 · 點算本單元的數字之後，記住哪些數字沒有出現，然後到群組中的另兩個單元去找，這樣的過程中，當然是需要記住的數字越少越好了， 所以餘數法之運用通常是唯一法優先，接著是二餘法，三餘法、四餘法再次之，唯餘法僅在不得已時用之。 · 不過在實際的解題中，尤怪通常會先採取摒餘法，如果十分順暢，就根本不用餘數法，如果感到有一點阻滯，就會適時使用唯一法， 當不得已而需使用餘數法時，會直接跳用四餘法，即單元內未填數字在 4 (包含 4) 以下的都會進行點算，而不

27、拘泥於 2、3 、4 的順序。 至於何法較佳，可能也是各有所愛吧！ 二餘法詳解· 像 <圖 3>那般，先選定的單元是行，然後得出的正解 (8, 7)= 5，我們為了稱呼方便， 通常就叫做行二餘解 (8, 7)= 5。 · 如果先選定的單元是宮，然後得出的正解，通常就叫做宮二餘解。 例如在 <圖 4> 中，我們就可得到宮二餘解 (3, 4)= 6。 <圖 4>· 如果先選定的單元是列，然後得出的正解，通常就叫做列二餘解。 例如在 <圖 5> 中，我們就可得到列二餘解 (3, 1)= 3。 <圖 5>

28、3; 要注意的是：在點算行、列二餘法的數字時，同群組的宮常會被遺漏，如果這樣的話，那就十分可惜了，例如 <圖 6> 就一定要點算 到 (6, 2) 的數字 3，才能確認列二餘解 (4, 3)= 6。 <圖 6>·二餘法的註記· 使用二餘法求解時，如果可得到二餘解，當然要把正解填入空格，但是如果無法確認任一空格的正解時，難道就只能放棄，把辛苦點算的結果 白白浪費、拋棄了嗎？例如：<圖7> 中的第 8 行符合二餘法的應用條件，但是若使用二餘法卻無法得到二餘解： <圖 7>· 有些人認為沒有任何註記才叫做直觀法，但尤怪認為

29、：只使用一枝筆，由接到題目起，立刻就可以進行紙本數獨解題。的方法，就叫做直觀法了。 何況類似上述情況，我們並不是刻意要去找候選數，只是因為二餘法需點算數字，因此得到的資訊，卻只能白白浪費、拋棄， 真的有此必要做這樣的堅持嗎？ · 所以尤怪的直觀法解題，在解題過程中是允許註記的，但是這些註記絕非刻意取得，只是在應用各種解題法無法得解時， 將所獲得的一些有用訊息記錄下來，以節省再次蒐集所須花費的時間及精力。當然尤怪也不贊成如候選數法一般，把蒐集得來的所有候選數 全部註記在空格中，因為太多的資訊並不一定有用，尤怪建議僅做雙候選數的註記。例如 <圖 7> 的第 8 行經使用二餘法

30、之後，雖無法得到 二餘解，但可知 (5, 8)、(9, 8) 均有雙候選數 4、6，故可註記如 <圖 8>： <圖 8>· 至於註記下來的雙候選數可供做哪些應用，請參考數對唯餘法、數對摒除法、區塊數對唯餘法等技巧的說明。 結語· 餘數法的缺點就是要點算數字，所以已入門的玩家通常會在使用摒餘法求解不太順利時才使用。而摒餘法中又以宮摒餘比較好辨認。 所以宮二餘解通常在宮摒餘時就已被篩選出來。 · 雖然在進行餘數測試時可任意挑選行、列或九宮格等單元來進行，但是初期最好挑選行、列來做， 找到有解的機率較大，因為這樣找到的就是先前所忽略的行摒除解、列

31、摒除解， 至於測試後期就無妨了。 三、四餘法前言· 所謂三餘法就是某一個單元(行、列或宮)待填的數字已降到 3 個時，就以該單元所餘待填的三個數字，在 群組中的另兩個單元去尋找，如果可以找到任何兩個，就可以確認空格之正解；· 四餘法就是某一個單元(行、列或宮)待填的數字已降到 4 個時，就以該單元所餘待填的四個數字，在 群組中的另兩個單元去尋找，如果可以找到任何三個，就可以確認空格之正解。 餘數法策略分析· 敘述的文字再多，不如實例及圖示，我們就以下面二例來說明餘數法的使用技巧，並分析餘數法的運用策略吧！ <圖 1>· 三餘法的系統搜尋：以下

32、用圖 1 的例題示範三餘法的系統搜尋方法 1. 請自己訂一個搜尋的順序，例如以下將用列、行、宮的順序進行，當然您也可以用宮行列或行宮列，個人習慣即可。 2. 先看第 1 列：只填了 4 個數字，有 5 個空格，所以跳過。 3. 再看第 2 列：填了 6 個數字，只有 3 個空格，所以可用三餘法了，未填的數字是5、8、9。 § 在(2,3)的另兩個單元-第 3 行及左上宮找找看：第 3 行有數字 5，左上宮並無589中的任一數，所以共只找到一個 5， (2,3)仍有兩個可能的數字 8 及 9 無法認定，只能註記後跳過。 § 在(2,4)的另兩個單元-第 4 行及中上宮找找看：

33、第 4 行及中上宮都找不到589中的任一數，所以 (2,4)仍有三個可能的數字，不註記便跳過。 § 在(2,5)的另兩個單元-第 5 行及中上宮找找看：第 5 行有數字 8 ，中上宮都找不到589中的任一數，所以 (2,5)仍有兩個可能的數字 5 及 9 無法認定，只能註記後跳過。 4. 再看第 3 列.第 4 列. 5. 如果找到了最好，如果 9 個列都找完了卻仍沒找到，只好開始找行，然後找宮。本題的解出現在左中宮，此時盤勢如<圖 2>： <圖 2>§ 左中宮的未填數字為 1、2、8。 § 在(5,2)的另兩個單元-第 5 列及第 2 行

34、找找看：在第 2 行就找到數字 1、2，所以(5,2)的正解即尚未出現的數字 8， 記為左中宮三餘解(5,2)=8。 § 打鐵要趁熱，此時應一鼓作氣，繼續在(5,3)、(6,3)找二餘解。在本例中應找不到，但可分別做上雙候選數註記。 § 尤怪還有一個習慣，此時會以剛找到數字解 8 進行宮摒餘的尋找，在本例中可先找到左上宮摒餘解 (2,3)=8、 然後是中上宮摒餘解 (3,4)=8。 · 四餘法的系統搜尋：同三餘法的系統搜尋，由自訂的列、行、宮等順序一一搜尋，當發現某一單元的未填空格為 4 時， 例如圖 3 的第 3 行，就可用下列的方法來操作： <圖 3&g

35、t;1. 開始點算本單元(第 3 行)已出現過的數字，未填的數字是 1、5、7、8。 2. 在(1,3)的另兩個單元-第 1 列及左上宮找找看：第 1 列有數字 7，左上宮並無1578中的任一數，所以共只找到一個 7， (1,3)仍有 3 個可能的數字 158 無法認定，只能跳過。 3. 在(3,3)的另兩個單元-第 3 列及左上宮找找看：第 3 列有數字 5，左上宮並無1578中的任一數，所以共只找到一個 5， (3,3)仍有 3 個可能的數字 178 無法認定，只能跳過。 4. 在(8,3)的另兩個單元-第 8 列及左下宮找找看：第 8 列有數字 1、5，左下宮有數字 8，所以共找到了 1

36、、5、8 三數， (8,3) 只餘數字 7 一個可能，所以出現了第 3 行四餘解 (8,3)=7。 · 在 <圖 1>及<圖 3> 中，我們用摒餘法已無法找到正解，只能開始使用餘數法了。 1. 先用唯一法嗎？好，沒問題，但請大家找找看，當然是找不到唯一解的。 2. 再接著用二餘法嗎？好，也請大家找找看，應該也一樣找不到二餘解。 3. 再試著去找三餘，然後才四餘嗎？經過以上兩個循環之後，可能您已經的心裡已經有一點鬆動，不再堅持需依序去找了吧！ 4. 如前所述，<圖 1> 確實是有一個三餘解的，但如果和 <圖 3> 一樣並沒有三餘解呢？三餘

37、法和四餘法的難度差別， 會大到讓我們認為再浪費一個循環去點算空格的時間是值得的嗎？如果兩者的難度區別夠大，這個時間當然值得花， 但如果兩者的難度區別不大，何必多花這一個循環的時間呢？ · 所以尤怪對餘數法的使用策略是： 1. 先使用摒餘法，如果十分順暢，完全不考慮改用餘數法。 2. 如果在使用摒餘法時有一點阻滯，則會注意是否有唯一法或二餘法使用時機的出現，當出現了，就改採唯一法或二餘法。 3. 不論使用的唯一法或二餘法是否有解，均再回復摒餘法繼續搜尋。 4. 當使用摒餘法己找不到解時，改採四餘法，即：對所有空格數為 4 以下的單元進行餘數法的點算。 這時可能會出現一些待填數字僅 1、

38、2 格的單元，因為人的注意力有限，在之前進行摒餘法時要完全兼顧，確有困難， 沒關係，現在可以一併點算之。 5. 當使用餘數法時，有解最好，無法確認正解但候選數只餘兩個時，做下雙數註記。 6. 如果找到了餘數解，尤怪會用該解的數字找一下摒餘解，至於之後是繼續用餘數法或就此改用摒餘法呢？ 尤怪大概都會在進行一個循環的餘數法之後，才改用摒餘法。但這種做法只是個人習慣，沒有什麼理論根據或速度保証。 因為有些題目只需用到一次餘數法，有些則需用到兩次以上，沒有解完題，沒人可以預知結果，所以找到餘數解後是 否就此改用摒餘法，也很難給出一個定論。 結語· 在運用餘數法時，就是點算本單元的數字之後，記

39、住哪些數字沒有出現，然後到群組中的另兩個單元去找。在這樣的過程中， 當然是需要記住的數字越少越好了，所以通常是唯一法優先，接著是二餘法，再次呢？還需要依著三餘、四餘、五餘.的 順序，一個一個依序尋找嗎？ · 也許不同的人有不同的意見，不過尤怪認為，一次記住 4 個數字進行篩選已十分不易，且一般書報雜誌已將 需用四餘法的題目歸類為困難級，只有極少數的題目真的需用到 五餘、六餘(唯餘)法，所以在摒餘法之後， 直接跳用四餘法可能是個不錯的選擇。 數對唯餘法前言· 在餘數法(二餘法、三餘法、四餘法.)的解題過程中，如果經過點算後能得到正解，當然十分的幸運， 但在得不到正解的一般情況

40、下，這些點算的工夫是不是就白花了呢？ · 尤怪的建議是：遇到雙候選數時，加上註記；至於還有 3 個以上候選數的空格就跳過不處理了，因為一般的數獨題目， 在註記雙候選數之後，對解題已是綽綽有餘了。 · 這些註記下來的雙候選數對解題到底有什麼助益，該如何利用呢？下面就來介紹一下最簡單的用法：數對唯餘法。 數對唯餘法示例· 下面就以實例來說明數對唯餘法的使用： <圖 1>· 圖 1 這個數獨已找不到摒餘解了，所以只好使用餘數法，假設我們以列、行、宮的順序，直接跳用四餘法，則將是以下過程： 1. 先搜尋列，一直到第 9 列才出現空格數為 4 以下的情

41、形，但找不到三餘解，只能在 ( 9,2 ) 及 ( 9,8 )註記雙候選數。 2. 再搜尋行，在第 2 行可使用四餘法，一樣找不到餘數解，只能在 ( 1,2 ) 註記雙候選數。 3. 在第 6 行可使用二餘法，一樣找不到餘數解，只能在 ( 3,6 ) 及 ( 6,6 )註記雙候選數。 4. 在第 8 行可使用四餘法，找到餘數解( 1,8 )=8，另在( 9,8 )可註記雙候選數，如下圖。 <圖 2>5. 當我們把找到的四餘解 ( 1,8 )=8 填入後，因為第一列已有數字 8 了，( 1,2 ) 的雙候選數 8,9 之數字 8 應被刪去， 如下圖： <圖 3>6. 在之

42、前的餘數法點算中，( 1,2 ) 的候選數只餘 8,9，現在再刪去一個，這表示 ( 1,2 )只剩下數字 9 可填了， 所以 ( 1,2 )= 9，因為是在註記了雙候選數(數對)後再刪除其中一個而得到的解，故稱為數對唯餘解。 結語· 如果在之前的餘數法中不加註註記，例如上例的 ( 1,2 )= 9，還要再經過一次餘數法的點算才能得到，但在加了註記之後， 只要在得到正解之後，稍微注意一下同一群組的各個單元的註記是否有該正解數；如果沒有就只能跳過，如果發現了， 將該數字自註記中刪除，剩餘的數字就是該宮格的正解了。 · 小小的一個動作，可以讓解題的速度更快，更容易，何樂而不為呢？

43、 基礎摒除法前言· 利用數獨：將數字 19 填入空格，使每一個行、列、宮的數字都不能重複。的規則進行摒除， 亦即：某一個單元已出現了某一個數字時，可以立知該單元的其他空格就不能再出現該數字了，這就是基礎摒除。 基礎摒除法示例· 下面就以實例來說明基礎摒除法： <圖 1>· 在圖 1 中：因為( 3,5 ) 己出現了數字 1，所以第 3 列的其他空格 ( 3,1 )、( 3,2 )、( 3,3 )、( 3,4 ) 及 ( 3,6 )、( 3,7 )、( 3,8 )、( 3,9 ) 都不能再出現數字 1 了。 · 因為是將同列的其他空格出現相同數

44、字的可能性摒除掉，故名之曰：列摒除。 · 同理，因為( 3,5 ) 己出現了數字 1，所以第 3 行的其他空格 ( 1,5 )、( 2,5 )、( 4,5 )、( 5,5 ) 及 ( 6,5 )、( 7,5 )、( 8,5 )、( 9,5 ) 都不能再出現數字 1 了。 <圖 2>· 因為是將同行的其他空格出現相同數字的可能性摒除掉，故名之曰：行摒除。 · 同樣的，因為( 3,5 ) 己出現了數字 1，所以中上宮的其它空格都不能再出現數字 1 了。 <圖 3>· 因為是將同宮的其他空格出現相同數字的可能性摒除掉，故名之曰：宮摒除。

45、 解題示例· 如果以某數對某單元摒除之後，發現某數在該單元只餘一個空格可填，稱之為摒餘解。 · 所以摒餘解又可分為宮摒餘解、行摒餘解及 列摒餘解三種，其中直觀法尤其重視宮摒餘解，如果夠熟練了，只要觀察宮摒餘解即可， 因為行摒餘解列摒餘解都能被宮摒餘解取代。 · 在 <圖 4> 中，利用數字 1 對右中宮做基礎摒除，可得到右中宮摒餘解 ( 6,8 )=1 ： <圖 4>·結語· 基礎摒除法十分的簡單，卻也十分的重要，再困難的題目 80% 左右的正解都要靠本法得解，其餘的部分才使用其他的進階解法， 所以初學者務必熟練本法，才

46、能使自己的解題速度更加的精進。 區塊摒除法前言· 區塊摒除法雖屬於進階的技巧，但已入門的玩家在解題時可以很容易的配合著基礎摒除法使用，增加不少 找到解的機會，將感覺順手多了。所以即使是最簡易級的題目，已入門的玩家一樣可在解題時應用此法， 並非在基礎摒除法已找不到解時才讓此法上陣。本網頁中的很多例子，如果堅持使用基礎摒除法，其實 仍可找到其他數字解，但因機緣湊巧，恰可用上區塊摒除法找到解，所以仍拿來當做例子啦！ · 什麼是區塊呢？ 1. 對列而言，就是分屬三個不同九宮格的部分。在下圖中，我們分別用不同的顏色來標示列的三個區塊： 2. 對行而言，也是分屬三個不同九宮格的部分。在

47、下圖中，我們分別用不同的顏色來標示行的三個區塊： 3. 對宮而言，就是分屬三個不同列或三個不同行的部分。在下圖中， 我們分別用不同的顏色來標示九宮格的三個區塊： · 為了說明及學習的方便，尤怪將區塊摒除法分為 4 個不同的型式，但在實際應用時，即使玩家不知此分類， 也可以很容易的順著區塊的所在及方向而做出正確的摒除。 1. 宮對行的區塊摒除：某數字在九宮格中的可填位置僅存在其中一個區塊時，因為某數一定會在本區塊， 所以包含該區塊的行，可將數字填入另兩個區塊的可能性將被摒除。 2. 宮對列的區塊摒除。某數字在九宮格中的可填位置僅存在其中一個區塊時，因為某數一定會在本區塊， 所以包含該區

48、塊的列，可將數字填入另兩個區塊的可能性將被摒除。 3. 行對宮的區塊摒除。某數字在行中的可填位置僅存在其中一個區塊時，因為某數一定會在本區塊， 所以包含該區塊的九宮格，可將數字填入另兩個區塊的可能性將被摒除。 4. 列對宮的區塊摒除。某數字在列中的可填位置僅存在其中一個區塊時，因為某數一定會在本區塊， 所以包含該區塊的九宮格，可將數字填入另兩個區塊的可能性將被摒除。 · 區塊摒除法雖屬於進階的技巧，但已入門的玩家在解題時可以很容易的配合著基礎摒除法使用，增加不少 找到解的機會，將感覺順手多了。所以即使是最簡易級的題目，已入門的玩家一樣可在解題時應用此法， 並非在基礎摒除法已找不到解時

49、才讓此法上陣。本網頁中的很多例子，如果堅持使用基礎摒除法，其實 仍可找到其他數字解，但因機緣湊巧，恰可用上區塊摒除法找到解，所以仍拿來當做例子啦！ 宮對列、行的區塊摒除· 宮摒餘解的系統尋找是由數字 1 開始一直到數字 9 ，週而復始， 直到解完全題或無解時為止；每個數字又需從上左九宮格起，直到下右九宮格，週而復始， 同樣要不斷重複到解完全題或無解時為止。 · 使用區塊摒除法，只要在宮摒餘解的系統尋找時，注意是否有區塊摒除的成立條件即可，當區塊摒除 的條件具備了，就等於多了一個摒除線，找到解的機會自然多了一點，將感覺順手多了。例如在<圖 1>中， 如果不使用或不

50、會使用區塊摒除法，是找不到 1 的宮摒餘解的，但如果用上了區塊摒除法，將可找到 四個數字 1 的填入位置哦： <圖 1>· 在< 圖 1 >中：先從數字 1 開始尋找宮摒餘解，當找到中左九宮格時，由於(3, 2)、(4, 5)的摒除， 將使得數字 1 可填入的位置只剩下 (5, 1) 及 (5, 3)，因為每一個九宮格都必須填入數字 1，既然中左 九宮格的數字 1 一定會填在 (5, 1) (5, 3) 這個區塊，那表示包含這個區塊的第 5 列，其另兩個 區塊就不能填入數字 1 了，因為同一列中只能有一個數字 1，所以可將第 5 列另兩個區塊填入數字 1 的

51、可能性摒除。 <圖 2>· 第 5 列的區塊摒除，配合 (4, 5) 及 (9, 7)的基礎摒除，使得 (6, 8) 出現了中右宮摒餘解了。 <圖 3>· 只找到一個還不過癮，當搜尋到下左九宮格時，由於(3, 2)、(9, 7)的摒除，將使得數字 1 可填入的位置 只剩下 (7, 1) 及 (7, 3)，同理，因為每一個九宮格都必須填入數字 1，既然下左九宮格的數字 1 一定會 填在 (7, 1) (7, 3) 這個區塊，那表示包含這個區塊的第 7 列，其另兩個區塊就不能填入數字 1 了， 因為同一列中只能有一個數字 1，所以可將第 7 列另兩個區塊

52、填入數字 1 的可能性摒除。 <圖 4>· 第 7 列的區塊摒除，配合 (4, 5) 及 (9, 7)的基礎摒除，使得 (8, 6) 出現了中下宮摒餘解了。 <圖 5>· 找到了 (6, 8) 及 (8, 6) 兩個摒餘解之後，因謎面的數字已有改變，所以循例應回頭再找一遍，相信大家一定 可以很容易的找到另兩個宮摒餘解：(1, 4)、(2, 9)。 · 宮對行的區塊摒除和宮對列的區塊摒除同理，只不過宮對列的區塊摒除是數字僅出現在九宮格 的橫向區塊，所以受到影響的就是列；而宮對行的區塊摒除是數字僅出現在九宮格的縱向區塊，所以受 到影響的就變成是

53、行而已。 · < 圖 6> 是一個宮對行的區塊摒除之例子。你可以看出下左九宮格的數字 9 應該填在什麼位置嗎？ <圖 6>· 在< 圖 6 >中：由於(5, 8)的摒除，使得數字 9 在中左九宮格可填入的位置只剩下 (4, 3) 及 (6, 3)， 因為每一個九宮格都必須有數字 9，既然中左九宮格的數字 9 一定會填在 (4, 3) (6, 3) 這個區塊， 那表示包含這個區塊的第 3 行，其另兩個區塊就不能填入數字 9 了，因為同一行中也只能有一個數字 9， 所以可將第 3 行另兩個區塊填入數字 9 的可能性摒除。 <圖 7>

54、;· 第 3 行的區塊摒除，配合 (2, 2)、(7, 6) 及 (9, 9)的基礎摒除，使得 (8, 1) 出現了下左宮摒餘解 9 了。 <圖 8>· 看過了以上的例子後，首先要提醒大家，前面已提過區塊摒除需機緣湊巧，並非隨手可得哦！大部分的時候， 雖然發現了區塊摒除的條件，但卻是空包彈，一樣找不到摒餘解！例如：在 < 圖 1 > 的上右九宮格中， 由於 (3, 2)、(9, 7) 的摒除，使得上右九宮格的數字 1 只出現在 (1, 9) 及 (2, 9)，符合區塊摒除的條件， 但配合現有的數字 1 做摒除後，並無法找到任何摒餘解。所以當找到區塊摒

55、除的條件時，並不必太高興！ <圖 9>·行、列對宮的區塊摒除· 一般而言，宮對行、列的區塊摒除是容易被發現和運用的，因為一般人常把注意力放在宮摒餘解的 尋找上，所以找到的自然是宮對行、列的區塊摒除條件；而行、列對宮的區塊摒除成立條件需配合 行、列摒餘解的尋找，所以常被疏忽了。不過尤怪認為：解題本以增加生活樂趣為上，如果可用簡單的方法解題， 何必強要使用困難的方法呢？ · 配合一般人不到不得已不去尋找行、列摒餘解的心態，下面這個例子和前面的例子就不同了， 如果不使用或不會使用行、列對宮的區塊摒除，是找不到 8 的行摒餘解的，請先解解看， 然後再看後面的說

56、明： <圖 10>· 在本例中：由於(5, 5)、(7, 7)的摒除，使得數字 8 在第 2 列可填入的位置只剩下 (2, 2) 及 (2, 3)， 因為每一列都必須有數字 8，既然第 2 列的數字 8 一定會填在 (2, 1) (2, 3) 這個區塊， 那表示包含這個區塊的上左九宮格，其另兩個區塊就不能填入數字 8 了，因為同一個九宮格中也只能有一個數字 8， 所以可將上左九宮格另兩個區塊填入數字 8 的可能性摒除。 <圖 11>· 於是上左九宮格的區塊摒除，配合 (5, 5)、(7, 7)的基礎摒除，使得 (6, 1) 出現了第 1 行摒餘解 8

57、 了。 <圖 12>· 下面這個例子更困難一點，必須先找到宮對行、列的區塊摒除，然後再利用行、列對宮的區塊摒除， 來找到 8 的行摒餘解，請先解解看，給自己一點挑戰，然後再看後面的說明： <圖 13>· 在本例中：由於(3, 6)、(7, 1)的摒除，使得數字 8 在上左九宮格中可填入的位置只剩下 (1, 2) 及 (2, 2)， 符合了宮對行的區塊摒除之條件，所以可把第 2 行其它區塊填入數字 8 的可能性摒除掉。 <圖 14>· 接下來：利用上左宮對第 2 行的區塊摒除，並配合(7, 1)、(9, 5)的基礎行摒除， 使得數

58、字 8 在第 5 列中可填入的位置只剩下 (5, 8) 及 (5, 9)， 符合了列對宮的區塊摒除之條件，所以可把中右九宮格其它區塊填入數字 8 的可能性摒除掉。 <圖 15>· 最後，利用第 5 列對中右上左九宮格的區塊摒除，並配合(7, 1)、(9, 5)的基礎列摒除， 使得數字 8 在第 7 行中可填入的位置只剩下一個，意即找到第 7 行的行摒餘解 8 了。 <圖 16>·多重區塊摒除· 多重區塊摒除是必需同時使用 2 個以上的區塊摒除才能找到解的情況。下面這個例子就必需同時運用一個 宮對列的區塊摒除及列對宮的區塊摒除，才能找到 5

59、的行摒餘解。請先解解看，給自己一點挑戰， 然後再看後面的說明： <圖 17>· 在本例中：由於(2, 5)、(4, 7)的摒除，使得數字 5 在中央九宮格中可填入的位置只剩下 (5, 4) 及 (5, 6)， 符合了宮對列的區塊摒除之條件，所以可把第 5 列其它區塊填入數字 5 的可能性摒除掉。 <圖 18>· 同時：由於(2, 5)、(4, 7)及(3, 9)的行摒除，使得數字 5 在第 9 列中可填入的位置只剩下 (9, 1) 及 (9, 3)， 符合了列對宮的區塊摒除之條件，所以可把下左九宮格其它區塊填入數字 5 的可能性摒除掉。 <圖

60、19>· 於是，利用第 5 列及下左九宮格的區塊摒除，並配合(2, 5)、(4, 7)及(3, 9)的基礎列摒除， 使得數字 5 在第 2 行中可填入的位置只剩下一個，意即找到第 2 行的行摒餘解 5 了。 <圖 20>· 下面這個例子就更有趣了，請看< 圖 21 >，目前謎面上一個數字 4 都沒有，但尤怪要說： 在下左九宮格有一個宮摒餘解 4，你是否能找出來呢？ <圖 21>· 首先，因為下中九宮格的數字 4 只能填在 (8, 4)或(8, 6) 這個區塊，所以可以用宮對列的區塊摒除， 將第 8 列其它空格填入數字 4

61、的可能性摒除掉。 <圖 22>· 當第 8 列的 (8, 7)(8, 8) 填入數字 4 的可能性被摒除之後，因為下右九宮格的數字 4 就只能填在 (7, 8)(9, 8) 這個區塊，所以也可以用宮對行的區塊摒除，將第 8 行其它區塊填入數字 4 的 可能性摒除掉。 <圖 23>· 同理，可以得到中右九宮格區塊摒除第 5 列、中左九宮格區塊摒除第 2 行。於是，下左九宮格可以填入數字 4 的位置就只剩下一個 ( 7, 1 ) 了，意即找到下左九宮格的宮摒餘解 ( 7, 1 ) = 4 了。 <圖 24>·結語· 直觀法的基石就是基礎摒除法，而區塊摒除法是其最佳搭檔，如果想要運用直觀法解題，一定要好好熟悉本法。 單元摒除法前言· 單元摒除法和區塊摒除法一樣，雖屬於進階的技巧，但已入門的玩家在解題時，可以很容易的配合著