函数值域定义域方法总结

1、射尿菁蓝教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手：(1) 分母不为零(2) 偶次根式的被开方数非负。(3) 对数中的真数部分大于0。(4) 指数、对数的底数大于0，且不等于1(5) y=tanx 中 xm k n + n 12 ; y=cotx 中 x工 k n 等等。(6 ) x0 中 x = 0、值域是函数y=f(x)中y的取值范围常用的求值域的方法：(1)直接法(4)配方法(2)图象法(数形结合)(5)换元法 (包括三角换元)(3)函数单调性法(6 )反函数法

2、(逆求法)(7)分离常数法(8 )判别式法(9)复合函数法(10 )不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终三、典例解析1、定义域问题例1求下列函数的定义域： f(x)二： f(x) =、3x 2 : f(x).x 1x_22_x解：t x-2=0，即x=2时，分式无意义,x -2有意义,x - 2这个函数的定义域是|x = 2二Page 1 of 12让每一个学生超越老师!射尿菁蓝教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!射尿菁蓝教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一 t 3x+

3、2<0，即 x<-时，根式,3x - 2无意义，32 |而3x 2 0，即x _ -时，根式 3x 2才有意义,32这个函数的定义域是 x | x色一一3t当x 1 _ 0且2X = 0，即x / ： T且x = 2时，根式 x 1和分式 同时有意义,2 x这个函数的定义域是 x | x：1且x = 2Page # of 12让每一个学生超越老师!射尿菁蓝教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!射尿菁蓝教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一另解：要使函数有意义，必须:例2求下列函数的定义域：

4、 f(x)二 '八4 -x2 -1上+1兰0x> -1=>丿2 -x"*2lx2 3x -4 T(X)|x +彳 _2Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一WO QINGLAN EDU CATIONPage # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一 f(X)二 f(x)e、X X y=Jx-2 十3 +13 3x 7解：要使函数有意义，必须:4 X2 _1 即：- .3 _ x _ 3函数f(x) = £丁4 -x2 -1的定义域为：_薦,73要使函数有意义

5、，必须:- 2x 一 3x - 4 K 0x十1 2式0=x-3或- 3 x - -1 或 x _ 4定义域为： x| x "3或一3 ： x _ T或x_4要使函数有意义，必须:11 0 = x11 011xx = 0* xh 11X 2函数的定义域为：x|x R 且 x =0,-1,12要使函数有意义，必须:x+1 式 0jx -x 式011x cOPage 3 of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一定义域为:X | x-1 或一 1 ： x ： 0 ?刚7、7即x<或x> -33要使函数有意义，

6、必须:二定义域为:；x-2 +30X | X -3x 7=0I21例3 若函数y二.，ax -ax，的定义域是 R，求实数a的取值范围+a2 1 一、解：t定义域是R,ax - ax0恒成立,a等价于2 1二 a2 _4a0aPage # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一痢0青篮教CQINGLAN EDU CATIONPage # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一11例4若函数y二f (x)的定义域为_1，1，求函数y二f (x ) f(x)的定义域+44解：要使函数有意义，必须：5-43-43-45

7、-41-1 乞 x141 _ x 1 _1411二函数y = f(x ) f (x)的定义域为：44例5已知f(x)的定义域为1 , 1，求f(2x 1)的定义域。分析：法则f要求自变量在1 , 1内取值，则法则作用在2x 1上必也要求2x 1在1 , 1内取值，即一 K 2x 1 < 1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上 思考f(2x 1)中2x 1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，二一1 <2x K 1,解出 x的取值范围就是复合函数的定义域。(注意：f(x)中的x与f(2x 1)中的x不是同一个X，即它们意义不同。)解：f(x)的定义域为1，1， 1

8、< 2x 1 < 1，解之 0< x< 1， f(2x 1)的定义域为0，1。例6已知已知f(x)的定义域为1，1，求f(x2)的定义域。答案：1 < x2< 1二 x2< 1= K x< 1练习：设f(x)的定义域是，'.2，求函数f(、x-2)的定义域+解：要使函数有意义，必须：-3_.、x-2_.2 得：-1_iX_2：. 2、X >00 岂.x 岂2.20 乞 x 6 4、2 函数f C、x -2)的定域义为：、|0 - x - 64 2 ;例7已知f(2x 1)的定义域为0，1，求f(x)的定义域因为2x 1是R上的单调递

9、增函数，因此由2x 1， x 0,1求得的值域1，1是f(x)的 定义域。已知f(3x 1)的定义域为1，2 )，求f(2x+1)的定义域。【-5,2 )2(提示：定义域是自变量x的取值范围)练习：已知f(x 2)的定义域为1，1，求f(x)的定义域若y二f x的定义域是 0,2 1，则函数f x 1 f 21的定义域是()Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一A'1,1】八c. 1,1 D，0,1_2 一 2Page 5 of 12让每一个学生超越老师!射尿菁篮教肓WO QINGLAN EDU匚AT

10、IOM思致超越知行合一*1 x已知函数f x的定义域为A,函数 y = f f x 的定义域为E,则 （）1 xa. AUB=B b. b A c. A"B=B d. A = B2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b（a严0）的定义域为R,值域为R;k反比例函数y （k = 0）的定义域为x|x =0，值域为y|y = 0;x二次函数f（x） =ax2亠bx亠c（a =0）的定义域为R,当 a>0 时，值域为 y|y _(4ac-b2)；当 a<0 时，值域为y|y J4ac_b2).4a4a例1求下列函数的值域2 y=3x+2(-1 乞x 冬

11、1) f(x)二 2 (1X 乞3)3x1y = x(记住图像)x解：T -1乞x乞1,二-3乞3x乞3, -1 _3x+2 _5,即即-1 _y _5，二值域是-1 , 5 略1 1 2 当 x>0，二 y =x = (、一 X)22 _ 2 ,xlx当x<0时,1 ;y = _(-x )= - ( . _x-x1-x)2值域是（-二，-22 , + ：）.（此法也称为配方法）1函数y =x 的图像为：x:/4xffx)=:x+2£_y=xfx-1o1/X1>-3-2Page # of 12让每一个学生超越老师!射尿菁篮教肓WO QINGLAN EDU匚ATIOM

12、思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!射尿菁篮教肓WO QINGLAN EDU匚ATIOM思致超越知行合一二次函数在区间上的值域（最值）:例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: y = x2 -4x 1;；y =X2 -4x 1, x 3,4Page 7 of 12让每一个学生超越老师!层影菁篮教肓QINGLAN EDU匚ATIOM思致超越知行合一2 2 y =x -4x 1,x 二0,1; y=x -4x 1,x 二0,5;解：T y=x2 -4x J =(x_2)2 _3，二顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. T抛物线的开口向上，函数的定义域R,x=2时，ymi

13、n=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y _-3 .3121 t顶点横坐标 2 - 3,4，当 x=3 时，y= -2 ; x=4 时，y=1 ;二在3,4 上,y min=-2 ,ymax=1;值域为-2 ,1.T顶点横坐标2 0,1,当x=0时，y=1 ; x=1时,y=-2,二在0,1 上,y min=-2 ,y max =1;值域为-2 ,1.T顶点横坐标20,5,当x=0时，y=1 ; x=2时,y=-3, x=5 时，y=6,二在0,1 上,ymiin =-3 ,ymax =：6 ;值域为-3 ,6.-2 -1 o -1 2-1-2-3Page # of 12让每一个学生超越老师!

14、层影菁篮教肓QINGLAN EDU匚ATIOM思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!层影菁篮教肓QINGLAN EDU匚ATIOM思致超越知行合一注：对于二次函数f(x)=ax2，bx弋=0),若定义域为R时,当a>0时，则当时，其最小值2ay min2= (4ac-b )；4a当a<0时，则当b时，其最大值2ay max(4ac -b2)4aPage # of 12让每一个学生超越老师!层影菁篮教肓QINGLAN EDU匚ATIOM思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!层影菁篮教肓QINGLAN EDU匚ATIOM思致超越知行合一x

15、0是否属于区间a,b.若定义域为X三a,b,则应首先判定其顶点横坐标 若x a,b,则f(X0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0 )时，再比较f(a), f (b)的大小决定函数的最大(小)值 . 若x0 a,b,则a,b是在f(x)的单调区间内，只需比较f (a), f (b)的大小即可决定函数的最大(小)注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论练习：1、求函数y = 3+ V(2 3x)的值域解：由算术平方根的性质，知"(2 3x) > 0，故 3+ V (2 3x)

16、 > 3。函数的值域为3, :.Page 9 of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一菁蓝教肓QINGLAN EDU CATIONPage # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一2、求函数 y = x2 - 2x 5 , x 0,51 的值域解：；对称轴x =1 0,5丨X = 1 时，ymin = 4X = 5时,ymax 20 .值域为4,201例3 求函数y=4x V 1-3x(x < 1/3)的值域。解：法一：(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= V 1-3x ,(x < 1/3)

17、,易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x V 1-3x在定义域为x< 1/3上也为增函数，而且 yw f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为 y|y < 4/3 o小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求岀函数隐含的区间，结合函数的增减性，求岀其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+ V4-x的值域。(答案：y|y > 3)法二：换元法(下题讲)例4 求函数y = X 2 .1 - X的值域解：(换元法)设. 1 - X =t，则 y 二-12 2t 1 (t _ 0)幕对称轴t -v 0

18、：，且开口向下当 t = 1 时,ymax - 2.值域为：；：-心,2】点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求岀二次函数的最值，从而确定岀原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y= Vx-1- x的值域。(答案：y|y w 3/4 例5(选)求函数 y = . x '3X 的值域解：(平方法)函数定义域为：x 3,5】y2 =(x -3)(5 -x) 2 -x2 8x -15由 x 3,5】，得- x2 8x-15 01 .y22,41.原函数值域为k 2 ,2 1例6(选不要求)求函数 丫二乂亠：”-乂2的值域Page #

19、 of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一解：(三角换元法)；-1x1设 x= cos v - 0, : 1Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一*2sinC ：)1-1, .2 1y =cos 日 +sin 日=cos 日 +s in 日原函数的值域为'-1, -21Page # of 12让每一个学生超越老师!射尿菁篮教肓QINGLAN EDU匚ATIOM思致超越知行合一射尿菁篮教肓QINGLAN EDU匚ATIOM思致超越知行

20、合一小结：（1）若题目中含有a <1，则可设jtqra =sin（或设 a 二 cos J ,0 二 :）22（2） 若题目中含有a2 b2 =1 _则可设a = cost ,b =sinv ，其中0 “： v : 2（3）若题目中含有 j _x2，则可设x =cosr，其中0<二（4）若题目中含有.1 x2，则可设x = tan v，其中- -2 2（5） 若题目中含有 x y = r （x 0, y 0, r . 0），则可设 x = . r cos2 , y = r sin2 二r n其中日e 0 , I'< 2丿例7 求y = x -3 - x 1 的值域4解

21、法一：（图象法）可化为 y =2 - 2xX :： -1一1乞x乞3x 3如图,观察得值域y4MyM4解法二：（零点法）画数轴 利用a-b表示实数a,b在数轴上的距离 可得。-1X0解法三：（选）（不等式法）寫 x 3 x +1 兰|（x 3） （x+1）| =4同样可得值域4 _ x +1 = _4x -3 - x +1 = (x +1) -4 - x+1 K x +1 -练习：y = x|+|x+1的值域呢？（ 1, + °° ）（三种方法均可）例8 求函数y =9x -3x 2 （x 0,11）的值域解：（换元法）设3x =t ，_则1 -1 - 3原函数可化为y =

22、t2 -t 2 / 对称轴 t' 1,312思致超越知行合一射籲菁篮教fpQINGLAN EDU匚ATIOM2例9求函数的值域C b羊X-I£ .丿Page 13 of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一解：（换元法）令t - -X2 2x - -(x-1)2 1，则(匕1)由指数函数的单调性知，原函数的值域为1,：_3Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一例10求函数y =2X （x _ 0）的值域解：（图象法）如图，值

23、域为 0,1 1X 1例11 求函数y的值域x+2Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一Page # of 12让每一个学生超越老师!思致超越知行合一解法一：（逆求法） 解出X , X =1 2y1 y观察得 原函数值域为yy1解法二：（分离常数法）由 y=2L=1 一上=1，可得值域'y y = 1匚x 2小结：已知分式函数y ax b cx d(c = 0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为y二卫Cb卫（ad = bc），用复合cx dPage # of 12让每一个学生

24、超越老师!思致超越知行合一则 y-313X +1+T j函数法来求值域。3X例12 求函数y二二 的值域3X +1解法一：（逆求法）；3X = y 0. 0：:y：:1.原函数的值域为0,11 - y小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法解法二：（换元法）设3X 1 =t ，1t 1010 ： y ： 1t原函数的值域为01Page # of 12让每一个学生超越老师!f菁篮教肓fpQINGLAN EDUCATIONtt'-1,122)115t51t0 11)02 x2 二-Tt 兀思致超越知行合一Page 9 of 12练习：y= 2_1! ； (y (-1 ,

25、 1).2x +1解法二：（换元法）设X2亠1=t ，则一1 岂 y : 1-原函数的值域为y | T乞y : 15例14 求函数y =2的值域2x2 4x +31）y =0时，不成立(4y) _8y(3y _5) _0= 0 _ y _5让每一个学生超越老师!x2 例13 函数y-一x +1的值域解法一：（逆求法）.-1 _ y ： 1原函数的值域为原函数值域即得解法三:（判别式法）原函数可化为（y _1）x20 x y 0y = 1时不成立y=1 时，：_0二 0 4(y1)(y1) _0 1 乞 y 辽 1综合1 )、2)值域 y | 1 兰 y <1解法四：（三角换元法）幕xR

26、.设x=tan：【三ji ji )22，则J tan2cos2二1+tan2 日解法一：（判别式法）化为2yx2 -4yx （3y -5） =02）y =0 时，二0 得21y1 -yt _1 . 0_2t.一1 岂 y : 1)二 cos2日 e (T ,射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一青蓝教QINGLAN EDU匚ATIOM让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一

27、综合1）、2）值域y |0 c y乞5解法二：（复合函数法）令2x2 _4x 3二t,则y - t =2(x -1)21 _1.0 ： y乞5所以，值域y| 0 ： y乞51例15 函数y = x1的值域X2解法一：（判别式法）原式可化为 x （1 _ y）x 1 = 0寫也 30 二（1y）24 30m 或 yw1.原函数值域为：，1丨3,-:1解法二：（不等式法）1）当x . 0时，x2 . y _3x1 12） xc0时，x十一 = |（x） + < -2 二 y 兰 一1x（-x） 一综合1）2）知，原函数值域为-:,-1 1 3,-:例16 （选）求函数2x 2x 1（X 2

28、-1）的值域让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一解法一：（判别式法）原式可化为 x2 （2'y）x 2y =0丁 也兰0 二（2 y）2 -4（2 - y） K0 n y H2 或y 兰 一2X -1 . y < -2 舍去.原函数值域为2，二（x+1）2+11解法二：（不等式法）原函数可化为 yX * 1亠2 （； x -1）X +1X +1当且仅当X二0时取等号，故值域为 2 , :

29、x2 +2x +2例17 (选) 求函数y(-2 _ X _ 2)的值域令X 1 =t ，则原函数可化为(-1 _ t _3)。x+1解：（换元法）让每一个学生超越老Page 17 of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一小吉：已知分式函数八密罕dx +ex+ f域，用判别式法求岀的值域要注意取舍,或者可以化为（选）y = 一次式 一次式（或"次式）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数a ,y = X （X = 0）的单调性去解。x（a2 d2 =0），如果在其自然定义

30、域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一练习：丄 9(x0)；x9 十一1)211，二 y _11.x另外，此题利用基本不等式解更简捷:y =x2 丄 9 _2 9=11（或利用对勾函数图像法）x5y =x2 -4x 3让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一Ovy-5.让每一个学生超越老P

31、age # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一求函数的值域 y=x 2-x ；=2 - 4x - x2让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一让每一个学生超越老Page # of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一-u2解：令 u = . 2 - X -0,则 x = 2原式可化为y =2 _U2 U _ -(U

32、 _丄)2924u _0,. y< 9，二函数的值域是（-，9 .442解：令t=4x -X工0得0 Wx兰4在此区间内(4x_x ) max =4，(4x-X ) min =°函数y = 2-（4x-x的值域是 y| 0兰y24、求函数y=|x+1|+|x-2| 的值域.工 2X 1（X ： -1）解法1：将函数化为分段函数形式：y = 3（-1乞x ： 2），画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是 y|y _3.2x -1（x - 2） QINGLA 忖 EDU CATIONy的最小值是3，二函数的值域是3,解法2 : t函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1 , 2的距离之和，易见+ :-.如图让每一个学生超越老Page 19 of 12师！射园菁篮教肓WO QINGLAN EDU CATION思致超越知行合一让每一个学生超越老Page # of 12师！射园