网络名师小班辅导教案-初中数学一次函数与反比例函数第3讲反比例函数及其性质教师版

1、第三讲反比例函数及其性质中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题能用反比例函数解决某些实际问题知识点睛反比例函数的定义：函数(为常数，)叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像：反比例函数(为常数，)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数与()的图像关于轴对称，也关于轴对称.反比例函数图像的性质：

2、反比例函数(为常数，)的图像是双曲线；当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大.注意：反比例函数()的取值范围是因此，图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小这是由于，即或的缘故 如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现

3、出图象和坐标轴无限贴近的趋势在画出的图象上要注明函数的解析式重、难点重点：本节的重点是反比例函数的概念和性质，特别是反比例函数的性质的描述，注意在描述时候不能直接表示成随的增大或减小而增大或减小，一定要强调象限！难点：掌握反比例函数的实际运用，以及反比例函数与一次函数的综合，与几何和代数的综合例题精讲板块一 反比例函数基本概念及图象1.反比例函数概念【例1】 下列关于的函数中：；中，一定是反比例函数的有( ) A1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】 显然、是反比例函数，虽然具备反比例函数的形式，但是不满足反比例函数的要求，也就是不能保证比例常数是一个“非零”常数. 具备反比例函数的形式，

4、同时也能保证比例常数，这是因为是实数，所以，因此、是反比例函数.【例2】 已知是关于的反比例函数，求的值及函数的解析式。【解析】 根据反比例函数也可以写成，可知： 由得：或;由得：且,，则【例3】 已知函数是关于的反比例函数，求的值.【解析】 本题重点考查反比例函数的概念，要求作为分母的是只含有字母的一次单式，在本题中，要求的指数等于1；要求比例常数不等于0. 因为函数是关于的反比例函数，所以. 又因为比例常数，即.故，当时，函数是关于的反比例函数.【例4】 若函数是反比例函数，则的值为( ).A. 为任意实数 B. C. D. 【解析】 错解 选A.分析 错解没有注意到反比例函数的定义中的限

5、制条件，这里的相当于定义中的，即.正解 选D.【例5】 已知与成反比例，当时，则是的（ ）A. 正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.以上都不是【解析】 错解 C.分析 要确定是的哪种函数，则需要根据已知就条件求出是之间的函数关系式.因为 与成反比例，所以设，把代入可求得，所以，根据反比例函数的定义可知，形如 ()时， 是的反比例函数，这里的分母中的指数是1次的，而分母中的的指数是2次的，所以满足的不是的反比例函数，也不是一次函数.正解 D.板块二 反比例函数图象性质【例6】 在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而减小，则的取值范围是 （）A B C D【解析】 由反比例函数y都

6、随x的增大而减小可以判断图象分布在第一、三象限，因此比例系数的符号是正数，解不等式即，故应选A【补充】反比例函数的图像所在的象限内，随增大而增大，则反比例函数的解析式是（ ）A. B. C.或 D.不能确定【解析】 反比例函数的图像所在的每个象限内，随的增大而增大， .【例7】 已知点(，)在反比例函数()的图像上，其中(为实数)，则这个函数的图像在第_象限.【解析】 点(，)在反比例函数的图像上，.又.反比例函数()的图像在第一、三象限.【例8】 （2007湖南岳阳中考）在下图中，反比例函数的图像大致是（ ）A B C D【解析】 ，反比例函数的图像在第一、三象限内，故选D.【例9】 (07

7、四川绵阳中考)若(，)，(，)是反比例函数图像上的两个点，且 ，则与的大小关系是()A B C D大小不确定【解析】 反比例函数的图像在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大.当或时，； 当时，与的大小关系不能确定.选择D.【补充】（2007山东临沂中考）已知反比例函数的图像在第二、第四象限内，函数图像上有两点，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 无法确定【解析】 由题意可得均在第四象限内，反比例函数的图像在第二、第四象限内，在每个象限内，随的增大而增大，又.故选A.【例10】 (06年南京市中考题)若点(，)、(，)、(，)都是反比例函数的图像上，试比较、的大小关系 .【解析

8、】 ，所以的函数在一、三象限内，易得.【补充】反比例函数的图像上有三点，(，)，(，)，(，) ，比较，大小.【解析】 ，在每个象限内，随的增大而增大.又点(，)，(，)在第二象限，.又点(，)在第四象限，. .【例11】 （2009丽水市）如图，点在反比例函数的图象上，且横坐标为2. 若将点先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点.则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是A B. C. D. P【解析】 根据题意易得，因为点平移时符合“上加下减，左减右加”则点平移后的坐标为，又，故选D.【例12】 (02年南京市中考题)反比例函数的图象的两个分支分别位于 . 反比例函数的

9、图像所在的象限内，随增大而增大，则反比例函数的解析式 是 . (06年南京市中考题)若点(，)、(，)、(，)都是反比例函数的 图像上，试比较、的大小关系 .【解析】 ，所以位于一、三象限. 根据题意可得： ， ，.故反比例函数的解析式为. ，所以的函数在一、三象限内，易得.板块三 反比例函数的综合应用【例13】 （2008年广东湛江市） 已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（）haOhaOhaOhaOA B C D 【解析】 根据题意可知：且的定值，又因为线段的长度非负且a0，此反比例函数的图像在第一象限。故选D.【例14】 （2007南充中考）已知反比例函数

10、的图像经过点和，则的值是 【解析】 设反比例函数关系式为，将点代入，求得.函数关系式为.再将点代入关系式，得，可求得.【例15】 （2007广东梅州中考）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 . 【解析】 设此反比例函数的解析式为，将点代入求得，故其关系式为.说明：2006年江西省中考考过此原题.【补充】（2006南京市中考）某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的关系式为 . 【解析】 由题意可知与成反比，故关系式为.【例16】 （2007安徽芜湖中考）在对物体做功一

11、定的情况下，力(牛)与此物体在力的方向上移动的距离(米)成反比例函数关系，其图像如图所示，在图像上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米.【解析】 设反比例函数关系式为，将点代入，求得.此函数关系式为.当时，米.说明：2006年仙桃市，潜江市，江汉油田考此题，只是数据有改动. 【补充】（2006郴州市中考）某闭合电路中，电源电压不变，电流与电阻成反比例，如下图表示的是该电路中电流与电阻之间函数关系的图像，则用电阻表示电流的函数解析式为（）【解析】 设反比例函数关系为，将点代入，求得.函数解析式为.【例17】 (吉林省中考题) 已知点 (，)在函数()的图像上，矩形的边在轴上，是

12、对角线的 中点，函数()的图像经过、两点，若，求点的坐标. 【解析】 点(，)在函数的图像上，.又也在函数的图像上，故设点的坐标为(，).过点作轴于，则.又是对角线的中点，.故点的纵坐标为，代入中，得点坐标为 (，).因此.由，得，.即有.解得.而，故.则点坐标为 (，).【例18】 (05年南通中考题)如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数() 的图像上，斜边、都在轴上，求点的坐标. 【解析】 分别过点、做轴的垂线，根据题意易得，得，所以(，).【点评】此题最后是关于一元二次方程的形式，学生们不会解析，但是可以通过因式分解中的配方法来解决，这样学生会更加容易接受【补充】（2009湖北黄石）如

13、图所示，在函数的图象上，都是等腰直角三角形，斜边都在轴上，则_【解析】 由已知易得，则，点横坐标为，那么可得，解得，同理点横坐标为，那么可得，解得，依此类推，的纵坐标为，家庭作业【习题1】 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）A第一、三象限B第二、三象限C第二、四象限D第三、四象限【解析】 设反比例函数的表达式为，把点代入得，；因为，所以函数图象在二、四象限。故选C.【习题2】 已知，且反比例函数的图像在每个象限内，随的增大而增大，如果点(，)在双曲线上，则.【解析】 ，.又反比例函数的图像在每个象限内，随的增大而增大，.可得.故.又点(，)在双曲线上，.【习题3】 函数()的图像可能是( )【解析】 ，所以选择C.月测备选【备选1】 已知反比例函数的图像上两点(，)，(，)，当时，有，则的取值范围是_.【解析】 根据题意， 反比例函数的图像分布在第一、三象限，即.【备选2】 （2007山东青岛中考）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P