自动控制原理(第2版)(余成波)_第5章习题解答-要点

1、第5章频率特性法教材习题同步解析#5.1 一放大器的传递函数为:KG(s)= TTH测得其频率响应，当.=1rad/s时，稳态输出与输入信号的幅值比为12.2，稳态输出与输入信号的相位差为-n /4求放大系数 K及时间常数T。解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为KJ T2 212二2，即kJ72=1 T2 稳态输出与输入信号的相位差=-arctanT= -45，即 T =1当 =1rad/s时，联立以上方程得T=1, K=12放大器的传递函数为：12G(s)= n5.2已知单位负反馈系统的开环传递函数为Gk (s)二根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。(1

2、) r (t) =sin (t+30°(2) r (t) =2cos (2t-45° ;(3) r (t) = sin (t+15° 2cos (2t 45° ;解：该系统的闭环传递函数为不5：(s)二s+ 6闭环系统的幅频特性为109闭环系统的相频特性为(1)输入信号的频率为-=1 ,因此有系统的稳态输出7 ) - - arcta n 6AC)#Gs(t)n(t 20.54 )37#(2)输入信号的频率为=2，因此有#A()二-10 ,( ) 一 18.434#系统的稳态输出#css(t) r-cosgt -63.43 )2#(3)由题(1)和题(2)

3、有#对于输入分量1 : sin( t+15°,系统的稳态输出如下c1ss(t5_37 s巾(t5.54 )对于输入分量2: 2cos (2t 45 ° ,系统的稳态输出为#c2ss(t)二cos(2t - 63.43 )2根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为5妬、10sin(t 5.537 ) cos(2t - 63.4363 )25.3绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。10(1) G(s)(2)G(s)=10(0.1s-1)0.1s±1(3) G(s)4s(s 2)1114(4)G(s)=(s 1)(s 2)(5)G(s)s 0.2s(s

4、 0.02)(6)G(s)二10(s 1)(s2s 1)(7)G(s) 口_0.2解:(1)G(s)=100.1s _1#4(b)对数频率特性L Im1010Re炉0/ /丿b 0J _(闹)G2(jC0)幅相频率特性10开环系统G1(s)一 是一个不稳定的惯性环节，频率特性为0.1s110-1j0.1，(a)幅相频率特性图5.1题5.3( 1)系统频率特性相频特性为) - -(180 - arctan0.1 ) = arctan0.1 -180相频特性从180连续变化至90。可以判断开环奈氏曲线起点为(一10, j0)点，随的增加，A1(.)逐渐减小至0，而讼.)逐渐增加至一90 °

5、;绘制出系统开环频率特性G1(j)的轨迹，如图5.1(a)虚线所示，是一个直径为10的半圆。10而开环系统G2(s)则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性G2(j)如图5.1(a)实线所示。0.1s +1对数频率特性113)(b)对数频率特性J1 G(j 血1!11炉0 :Im01.G2( jo)10010Re图 5.2 题 5.3 ( 2)系统频率特性10 10开环系统G,(s)与G2(s)的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图0.1s10.1s+15.1(b)所示。(2)G(s)=10(0.1s 1)幅相频率特性开环系统G1(s)=10(0.1s 1)的频率特性为G< j

6、J =10(j0.-1)，其相频特性为1( J =180 -arctan0.1相频特性从180连续变化至90。其开环频率特性 Gj.)的轨迹，如图5.2(a)虚线所示。(a)幅相频率特性#而开环系统 G2(s)=10(0.1s+1)则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性G2jJ如图5.2(a)实线所示。对数频率特性同题(1),二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.2(b)所示。(3)G(s)二4s(s 2)#系统开环传递函数的时间常数表达式为G(s) =2s(0.5s 1)#115幅相频率特性#1)系统为I型系统，A(O)=s, (0)= 90o,低频特性始于平行于负虚轴

7、的无穷远处。低频渐近线如下确定:将频率特性表达式分母有理化为-j2(1 - j05)G(j )2jco(j0.5 国+1) 叭1+j0.54(1j0.5)o(U0.22)1 22 一 j21 0.25(1 0.25 )则低频渐近线为-1烈+ReG (冋=烈 +R®)=烈1同时可知，频率特性实部与虚部均<0,故曲线只在第三象限。2)n m=2，则(：)=180，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。3)此系统无开环零点，因此在由0增大到：:过程中，特性的相位单调连续减小，从一90o连续变化到180。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。系统的幅

8、相频率特性G(j )见图5.3(a)。(b)对数频率特性)(a)幅相频率特性图5.3题5.3 ( 3)系统频率特性对数频率特性1)可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节, 低频段斜率为20dB/dec,低频段表达式为转折频率为1 t =2 rad s 。L(3)=20lg2 20lg co,并通过点 L(2)= 0dB。经过转折频率-#后斜率为40dB/dec。系统的相频特性为积分环节(90o)与惯性环节(0o90o)相频特性的叠加，为#(，)-90 -arctan 0.5，转折频率处相位为 驳2)= - 135°对数相频特性曲线对应于该点斜对称。绘制开环伯德图L()、.)，如图5.

9、3 (b)所示。(4)G(s)=4(s 1)(s 2)系统开环传递函数的时间常数表达式为G( s)=2(s 1)(0.5s 1)幅相频率特性1) 系统为0型系统，A(0)=2, (0)= 0o,开环奈氏曲线起点为(2, j0)点；n m=2，则(：)= 180。随的增加，A(逐渐单调连续减小至 0,而致灼)滞后逐渐增加至180°，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。2(1- j )(1一 j0.5 )2)将频率特性表达式分母有理化为G(j )22(1)(1 j0.5 )(1)(1 0.25 )2_2(10.5.3_ (1，2)(1 0.25 2) _ j (12)(1 0.25 2)频率特

10、性虚部均0，故曲线在第三、第四象限。2) 相位有 ')= 90，因此与虚轴的交点为22(1 0.5 们2)ReG(j )220(1+时 2)(1 +0.25叮2)-. 2rad /s, lm G( j J , 2 二 0.94此系统无开环零点，因此在由0增大到二过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，Gj.)见图5.4(a)。(a)幅相频率特性113(b)对数频率特性图5.4题5.3 (4)系统频率特性对数频率特性-1 -11) 可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节，转折频率分别为-i =1 rad s ' 2 =2 rad s 。系统为0型，低频段斜率为OdB/dec,低频段表达式为

11、L( ®)=20lg2=6dB。经过转折频率、2后斜率分别为20、一 40dB/dec。2) 系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加，为;：C ) - - arctan，- arctan0.5，两个转折频率处相位分别为叭1)= 72°, <P(2)= 109°绘制开环伯德图L(.)、.),如图5.4 (b)所示。(5)G(s)=s 0.2s(s 0.02)系统开环传递函数的时间常数表达式为G(s)二0.2(5s 1)0.02s(50s 1)10(5s 1)s(50s 1)幅相频率特性1)系统为I型系统，A(0)=m, (0)= 90o,低频特性始于平行于

12、负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定:G(j)10(j5 1)-j10(j5 1)(1-j50 )(j ) 一(j50 1) 一 (V j50 )(V j50 )450: j10(250 2 1)_ j21 2500 (1 2500 )(a)幅相频率特性)(b)对数频率特性图5.5题用3 (5)系统频率特性低频渐近线为450同时可知，频率特性实部、虚部均 <0,故曲线只在第三象限。2) n m=1，则(：)=90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。3) 此系统有开环零点，因此在 由0增大到：:过程中，特性曲线有凹凸，最后终于原点。系统的幅相频 率特性Gj .)见图5.5(a)。对数频率特性1

13、 11) 系统转折频率分别为 豹i =0.02 rad s o 2=0.2 rad s系统为I型，低频段斜率为 20dB/dec，低频段表达式为L)=20lg10 20lg 3,因此L(0.02)=54dB。过转折频率，2后斜率分别为40 dB/dec、 60dB/dec。2) 系统的相频特性为两个惯性环节相频特性的叠加，为() =arctan5-90 - arctan50，两个转折频率处相位分别为，(0.02)= (0.2)= 129°系统的对数频率特性LCJ、 X )见图5.5(b)。(6)10(s 1)(s2s 1)115幅相频率特性1)系统为0型系统，A(0)=10, (0)

14、= 00开环奈氏曲线起点为(10, j0)点；n m=3，则(：)= 270 幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。2)同上，频率特性表达式分母有理化为Gk(j)10 10(1-2豹2). gw2)(j ' 1)(1 一 2 j ) 一(1'2)(1 - 2)22 j (1 2)(1 0.25 2)3) 相位有 )= 90，因此与虚轴的交点为ReG(j )0® =0.71rad /s,ImG(j) .71 = -9.43相位有()= 180，因此与实轴的交点为lmG( j ) =0川/rad /s, ReG(j J. -3.3此系统无开环零点，因此在由0增大到二过程中，奈氏曲

15、线是平滑的曲线，Gj.)见图5.6(a)。对数频率特性-11)系统惯性环节、二阶振荡环节的转折频率均为- t =1 rad s °系统为0型，低频段斜率为OdB/dec，低频段表达式为 L( ®)=20lg10=20dB，经过转折频率 .t后斜率为60 dB/dec。渐近线上各点坐标可以通过坐标系直接读出，也可根据简单的计算求出。例如，点L(2)与L(1)=20dB位于同一条斜线，斜率为60dB/dec，则L(2)的纵坐标值满足L(1) -L(2)60Ig1 -ig 2求出 L(2)=2dB。2)系统的相频特性为惯性环节与二阶振荡环节相频特性的叠加，为) = - arcta

16、n：arctan 1-0图5.6 题5.3 ( 6)系统频率特性转折频率处相位为 熨1)= 136° ,并有半(2)= 209° 系统的对数频率特性L()、 )见图5.6(b)。-0.2e(7) G(s)二s +1幅相频率特性1) 延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性，但使相频特性的最大滞后为无穷大。系统频率特性 为-J0.2- G(j )1a®TG("K()二1803.14曲一arcta n= 11.4S： -arcta n ，(1) = -56.4 ,(10) = -1982) 随的增大，此系统幅频特性AC J单调减小，而相位滞后单调增加，相频

17、特性()从0。一直变化到负无穷大。故该系统的奈氏图是螺旋状曲线，绕原点顺时针旋转：:次，最后终止于原点，与实轴、虚轴有无 数个交点，如图5.7( a)所示。3) 与虚轴的第一个交点为ReG(j ) =0 =2.24rad/s,ImG(j )- -0.421(0=4) 与实轴的第一个交点为lmG(j J = 0-8.77rad /s, ReG(j J0.12对数频率特性系统的对数幅频特性与典型惯性环节的对数幅频特性完全一致，但相频特性滞后无限增加。系统的对数频率特性L(°()见图5.7(b)。5.4求图5.8所示的电网络的频率特性表达式，以及幅频特性与相频特性表达式，并绘制出对数频率特

18、 性曲线。117解:图5.8题5.4图(a)电网络的传递函数为G(s)二Ri 1R2普RisCRCs 1R?R2RRisC 1_ R2(R,Cs 1)R2RCs R- R2R2(b)题5.4伯德图图S1)1)5.9,-R2： 1,T = &cR1 R,频率特性为幅频特性相频特性(T)2 1'、T)2 1119(，)=arctan Tarctan：cT，呈现以下特点:伯德图见图5.9 （a）,此电网络是系统校正中常用的超前校正装置（见第六章）转折频率 L与丄之间渐近线斜率为20dB/dec，起微分作用;121#（）在整个频率范围内都>0，具有相位超前作用，故名超前校正装置;

19、#（）有超前最大值：m。(b)电网络的传递函数为R2G(s)sC1R1 R2 sCI：；. R 民'=R2R2Cs +1(R R2)Cs 11,T = R2C频率特性为G(j )jco(R +R2)C +1#幅频特性A(»楚旦J(Ptgo)2 +1相频特性()=arcta n T - arcta n “ T，呈现以下特点:伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章）1）转折频率与1之间渐近线斜率为20dB/dec，起积分作用; T 衍2）C ）在整个频率范围内都<0,具有相位滞后作用，故名滞后校正装置;5.5由实验测得某最小相位系统幅频特性

20、如下，试确定系统的传递函数表5.1最小相位系统的实验数据1(X/(rad s )0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.01解：20lgA，见表 5.2。1）根据表5.1，求出与每个频率对应的稳态输出与输入幅值比的分贝值表5.2最小相位系统的实验数据一 1oi(rad s )0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.0120lgA19.9819.8219.6819.081

21、8.8715.9914.4910.217.23-0.924.4320402）已知该系统为最小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数，根据表5.12绘出系统的对数幅频性曲线LCJ,如图5.10虚线所示。3） 根据求得的LC ），由0、±20、±40、±）dB/dec斜率的线段近似，求出其渐近线，如图5.10实线所示。4） 由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K低频渐近线的表达式为LC ）=20lgK=20dB，系统为0型，K=10。5）由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的 各典型环节。1在转折频率-3处

22、，斜率减小20dB/dec，则必有惯性环节 G（s）二3s +1在转折频率''2 =30处，斜率减去40dB/dec,则有振荡环节 G（s）T2s22 Ts 1，阻尼比Z可由谐振峰值的大小查表求取。由图5.10,二-30处LC ）的误差约为6dB，查教材表5.7 （振荡环节对数幅频特性最大误差修正表）可得，1Z-1。因此，G2(s)=()1严需190015#6）综上，系统的传递函数为G(s)二10(3s 1)(丄 s2 丄 s 1)900155.6各系统开环传递函数如下，用奈氏稳定判据判断下列反馈系统的稳定性(1) Gk(S)=5002s(s s 100)(2)Gk(s)100

23、(0.01s 1)s(s-1)解:(1)Gk(s)5002s(s s 100)#令s=j .，得开环系统频率特性Gk(P)5002j (j-10 )1）系统为I型系统，A（0）=g, （0）= 90o,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定:将频率特性表达式分母有理化为5002"-100-/)-j500(100-宀 闹)2 2(100八2. j .)(100_.2_ j)-500 j500(100- 2) _-500_ .500(100- 2)(100 - 2)2'2(100 - 2)2 2 j (100 - 2)22则低频渐近线为-500"ReG(

24、j 爪叫.U叫(100 一2)2.,2 厂 0.05同时可知，频率特性实部 <0故曲线只在第二与第三象限。2） n m=3U（：）= 270，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。3） 此系统无开环零点，因此在由0增大到：:过程中，特性的相位单调连续减小，从一90o连续变化到270。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。4）：（）有一180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定500(100- 2)(100 - 2)22解之得交点处频率 =10，代入实部1(.)，即可得曲线与负实轴交点的坐标为-500_ 5(100耳2)2 忑2 护二 _

25、该系统开环奈氏曲线见图5.11(1)。5) 曲线始于虚轴的无穷远处，与负实轴的交点为(一 5, j0)。故当国由0变到+閃 时，开环频率特性曲线顺时针包围(一1, j0)点的次数为1/2 , N'-=1/2。由于开环右极点数为P=0，故Z = 2N' + P=2闭环系统有两个右极点，闭环不稳定。题5.6系统幅相频率特性解：(2) GK(s)二100(0.01s 1)s(s -1)#令s=j ,得系统开环频率特性Gk(J )100(j0.011)j (j- -1)#该系统为非最小相位系统，P=1，开环系统的相频特性为()二 arctan0.01-90 -(180 -arctan

26、)=-270arctan0.01 arctan 1)系统为I型系统，确定：A(0)-a,(0)- 2700,低频特性始于平行于正虚轴的无穷远处。低频渐近线如下将频率特性表达式分母有理化为1OO(jO.O1 1)j100(1 jO.01 J(1 j )GK ( J )二j (j- -1).(1一 j .)(1 j .)j1OO(1 O.O1 /j1.O1 )2则低频渐近线为1O1(V 2)1OO(1-O.O1 2)2 (1亠八)(1亠心)125#=lim ReG( j ) = lim R( ) = lim1O1；.jo “；：1O 丁 (1 亠心)同时可知，频率特性实部 <0故曲线只在第二

27、与第三象限。2) (：)= 90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。3) 此系统有开环零点 0.01s 1，因此在 =100附近曲线有凹凸。4) ( )有一180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定lmG(j，)=1(，)=100(1-0.01 .2)尬(1+国2)=0#解之得交点处频率=10，代入实部1(.)，即可得曲线与负实轴交点的坐标为101 d = -1 (仆2)沖5) 该系统开环奈氏曲线见图5.11(2),与负实轴的交点为(一1, j0),说明闭环系统临界稳定，有位于虚轴上的共轭虚根。若直接采用劳斯判据，系统的闭环特征方程为2 2A(s) = s -s s100 = s

28、100 = 0闭环极点为s),2 = ±j10 = ±j 与奈氏判据的分析一致。5.7设系统的开环幅相频率特性如图5.12所示，判断闭环系统是否稳定。图中P为开环传递函数在右半s平面的极点数，v为系统的型别。解：1(a) v=0 , P =1, N ', z = 2N'P=0，故闭环系统稳定。2A(b) v=0 , P - 1, N = , N = 1, z- 2(N N ) P = 0，故闭环系统稳定。21(c) v =0 , P -1, N ', 2N 2，故闭环系统不稳定。2(d) 7 = 2 ,在 z 0附近，曲线以oc为半径，逆时针补画 日

29、=2 90°180°的圆弧与正实轴相交。P =0，N'=0, z=2N_P=0，故闭环系统稳定。(e) v=1,在0附近，曲线以：:为半径，逆时针补画 于90。的圆弧与正实轴相交。P=2 , N'=-1, z=2N_P=0，故闭环系统稳定。(f) v=2，在灼宀0附近，曲线以 处为半径，逆时针补画 9= 2 90°=180°的圆弧与正实轴相交。P =0 , N'=1 , z=2N'，P=2，故闭环系统不稳定。1(g) v=0 , P=1 , N ', z=2N'，P=0，故闭环系统稳定。2(h) v=0 ,

30、 P=2 , N'=0 , z=2N'：；'P=2，故闭环系统不稳定。(e) P=2v=U) Z v=2(h) P=2 Z图5.12 题5.7图5.8已知最小相位系统开环对数幅频特性如图5.13所示。(1) 写出其传递函数；绘出近似的对数相频特性。#127知402002040-图5.13 题5.8图解：(a)1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K由于低频段的斜率为OdB/dec，该系统为0型系统。由20lg K =60，求出K=1000。#2)确定串联的各典型环节第一个转折频率11=1rad ，且斜率减小第二个转折频率-2=10rad 1,且斜率减小第三个

31、转折频率120dB/dec，有一个惯性环节;S十11 ；;1 101。130020dB/dec，有一个惯性环节3=300 rads：1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节#3) 综上所述，该系统的开环传递函数为C/1000Gk (S)二11(s 1)( 1 s 1)( 1 s 1)103004) 绘出近似的对数相频特性对于最小相位系统，对数频率特性的低频渐近线斜率为-20vdB/dec,相频特性 响血0= - 90v °均与积分环节的个数 v有关；当 t二时，若n> m,高频渐近线斜率为20 (n m) dB/dec的斜线，-=90 (n m) °因此，本开环

32、系统相频特性有，做0)=0 °护()= 270°最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L(J的斜率减小(或增大)，则(.)的相位也相应地减小(或增大)；如果在某一频率范围内，对数幅频特性LC )的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。因此，系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化，并可直接 求取几个典型频率处(如转折频率)的相位，以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点，则在相关转折频 率处特性曲线出现凹凸。#图5.14题5.8系统开环对数相频特性转折频率处相位为：的)=51.7 ° ®(10)= 131

33、76; ®(300)= 223°本系统近似的对数相频特性见图5.14(a)。解：(b)1) 由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数 K低频段的斜率为20dB/dec，该系统为I型系统，v=1。将低频渐近线延长线上的点L(100)=0,代入低频渐近线的表达式 LC )=20lg K 20lg ,可以求出 K=100。2) 确定串联的各典型环节第一个转折频率1=1rad s二且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节第二个转折频率2=100rad s S且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节1003) 综上所述，该系统的开环传递函数为Gk(s)1001s(s 1)(

34、 s 1)1004) 绘出近似的对数相频特性与题(a)的分析相同，本开环系统相频特性满足，半(0)= 90° 8)= 270°转折频率处相位为：半(1)=135° ,卑10)= 180°, ®(100)= 225°。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。解：(c)1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数 K低频段的斜率为OdB/dec，该系统为0型系统。由20lg K =20，求出K=10。其时间常数为2)确定串联的各典型环节第一个转折频率 i=5rad s'

35、;,且斜率减小40dB/dec,有一个二阶振荡环节,1 1由i =0.2，此振荡环节为厂5s 2s “1252540dB/dec，所以有一个二阶微分环节，其时间常数为2s s亠 T。6400400第二个转折频率1=80rad1，且斜率增加1 11T2，由2 =0.1，此二阶微分为2 80103)综上所述，该系统的开环传递函数为10(Gk(s)二1252 1129#4) 绘出近似的对数相频特性同上，本开环系统相频特性满足，熨0)=0 ° m)= 0 °转折频率处相位为 申(5)=申(80)= 91°系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似

36、的对数相频特性见图5.15(c)。(c)(d)图5.15题5.8系统开环对数相频特性解：(d)1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K由于低频段的斜率为+20dB/dec，该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为L()=20lg K+20lg -,将点L(10)=0代入，可求出 K=0.1。1312)确定串联的各典型环节转折频率 =100rad s_1，且斜率减小 20dB/dec,有一个惯性环节1 。11003) 综上所述，该系统的开环传递函数为Gk(s)0.1s1 s 1100#4) 绘出近似的对数相频特性同上，本开环系统相频特性满足,(0)= 90°申(a )=0

37、 °系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为#5.15(d)。：(100)=45 o°本系统近似的对数相频特性见图105.9系统开环传递函数如下，求系统的相角裕量，并判断闭环稳定性。 Gk(s)_s(s2s 1)(0.25s2 0.4s 1)100 Gk- s(s 1)(10s 1)#解：(1)可知系统包含有放大、积分、两个二阶振荡环节，二阶振荡环节的参数为1 .2: T = 1,；：. n = T = 1,0.5s2 s 11 .2:T =0.5,冷二 r =2,=0.40.25s20.4s 1因此，转折频率分别为 co1=1rad '2=2 rad s 1

38、76;绘制开环伯德图如图 5.16所示。低频段斜率为20dB/dec，并通过点L(1)=20dB。经过转折频率 “后斜 率为60dB/dec，经过转折频率-，2后最终斜率为100dB/dec。并有开环传递函数中两个振荡环节的阻尼比分别为L(2)= L(1) 60lg2=2dBZ=0.5, Z=0.4。由教材表5.7可知，对数幅频特性的修正值分别为0dB和2dB，误差很小，可不必修正，对分析闭环系统的稳定性与相对稳定性几乎没有影响。系统的幅值穿越频率可以直接从半对数坐标系上读取，也可根据渐近线求取，方法如下:L( c)-L(2)100, L( 4 0 ig k -lg 2求得系统的幅值穿越频率c

39、=2.2 rad s代入系统的相频特性有Gk ( j ')=10j (1 - / j J(1 -0.25 2j0.4 )(J-90 一 arctan21-o-arcta n0.4 21-0.25 “=180 (c)=168 ：0直接求解三角函数：()=-180，可以求出系统的相角穿越频率-.g，但计算十分复杂。实际上-g也可_ 1以从半对数坐标系上读取，有g=0.8 rad s 。将，9代入低频渐近线表达式，可求得L( g)=20 20lg g =21.9dB ,系统的幅值裕量为Lh= L( g)= 21.9dB<0因此，闭环系统不稳定。解：(2)可知系统包含有放大、积分、两个惯

40、性环节，转折频率分别为=0.1 rad s 1 2=1 rad s。绘制开环伯德图如图 5.17所示。低频段斜率为 20dB/dec，并通过点L(0.1)=20lg K 20lg0.1=60dB。经过转折频率后斜率为40dB/dec，经过转折频率2后最终斜率为60dB/dec。133可以求得 L(1)= L(0.1) - 40lg1/0.1= 20dB，并有L(7 -L(1)lg c Ig1-60,系统的幅值穿越频率c=2.1 rad s'，代入系统的相频特性有135#:() - -90 - arctan，_ arctan10，=180 ( c) - -61.8 ：0相角穿越频率(og

41、=0.32 ( rad/s)。将cog代入中频渐近线表达式，可求得L(；.-,g)= L(0.1) 40lg ；.-.g /0.仁 40dB系统的幅值裕量为Lh= L( g)= 40dB<0因此，闭环系统不稳定。5.10已知系统的开环传递函数如下Ks s 1 0.1s 1(1) 当K=1时，求系统的相位裕量；(2) 当K=10时，求系统的相位裕量；(3) 分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。解：(1)当K=1时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图 5.18对数频率特性(a)所示。低频段斜率为 20dB/dec，并通过点 L(1)=20lgK 20lg1=0dB。经过转折频率 :1

42、=1rad 后斜率为40dB/dec，经过转折频率 2=10rad 后最终斜率为 60dB/dec。系统的幅值穿越频率c=1 rad s 1,代入系统的相频特性有( )- -90 -arctan - arctan0.T 心180( c) =39.30相角穿越频率g=3.16 rads1,可求得系统的幅值裕量为Lh= L( -g)=20dB>0因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。（2）当K=10时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图 5.18对数频率特性（b）所示。相对于对数频率特性（a），开环传递系数增加10倍，L（J曲线上升20dB，相频特性保持不变。系统的幅值穿越频率 c=3

43、.16 rad，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有'180 （二）=0系统的幅值裕量为Lh= L （:.-：g）= L （:.-：c）=0dB因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。LC ）曲线上升,由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于导致幅值穿越频率,右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。)1371395.11某延迟系统的开环传递函数为#Gk(S)二e孑s(s 1)试确定系统稳定时所允许的最大延迟时间解：max0绘制最小相位系统的对数幅频特性，如图s(s 1)5

44、.19所示，系统的幅值穿越频率皎刊rads。延迟环节es不影响系统的对数幅频特性，但使相频特性随 3增加而滞后无限增加，延迟环节导致的相位滞后对闭环系统的稳定性不利。考虑到延迟环节es的滞后作用，系统在c=1 rad s: 1处的相位裕量为180 °= 1800 c) =180 -90 - arctan45 - 5733.14当系统临界稳定时，有丄45 -57.3宀0因此，系统稳定时所允许的最大延迟时间max为 max 二 0.79S注：在MATLAB中，可建立滞后系统的数学模型sys,并直接利用 bode(sys)和nyquist(sys)绘制滞后系统的伯德图和奈氏图。指令如下：s

45、ys=tf( nu m,de n,'i nputdelay',a)其中，num定义为系统连续部分的分子多项式，den为系统连续部分的分母多项式，a定义为延迟环节eas 的滞后时间。也可建立系统的零极点模型：sys=zpk(z,p,k, 'n putdelay ',a)z、p、k分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。5.12某系统结构如图5.20所示，试按照开环频域指标丫和c之值估算闭环系统的时域指标和ts。S.s+I图5.20题5.12图141#系统开环传递函数为s(0.05s 1)(8s 1)#绘制开环伯德图如图 5.21所示。低频段斜率为20dB/d

46、ec,并通过点L(0.1)=52dB。经过转折频率.1=0.125 rad s1后斜率为40dB/dec，经过转折频率2=1rad s1后斜率为20dB/dec，经过转折频率 3=20rad s 1后 斜率为40dB/dec。八 L®/ (dB)605240201220400.01图5.21 题5.12控制系统的开环伯德图#L(1)= L(0.1) 40lg1/0.1=12dB并有ig c -Ig1可求得系统的幅值穿越频率-c=4 rad s S代入系统的相频特性有() =arctan 圮-90 -arctan8 圮-arctan0.05 = 180( c) =66.40高阶系统的开

47、环频域指标(YQ与时域指标(d%, ts)之间的对应关系比较复杂，通常采用经验公式 来近似。1) 高阶系统的超调量与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算：-(1%= |0.16 十 0.4 1丨卜100%=19.8%-isin f丿2) 高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算- (1、 (12+1.51伙1+2.5-1 1L(sin Y丿(sin y丿JI ts 二一-'cMATLAB仿真可得，此系统准以上估算公式是在比较严格的情况下推导的，实际值往往更理想。通过确的动态性能指标为：c % =12% , ts = 1.53s厶=5%。可见，利用开环频域指标丫和估算闭环

48、高阶 系统的时域指标 6%和ts,是完全满足工程实际的。5.13已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的闭环频率特性，计算系统的谐振频率及谐振峰值，并估算闭环系统的时域指标6%和tso(1) G(s)16s(s 2)(2) G(s)60(0.5s 1)s(5s 1)解：（1）G（s）=16s(s 2)方法一：可以先画出开环对数频率特性LC ）及C ），再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特性。方法二：由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。1）系统的闭环传递函数为16s(s 2)16：.：(s)二 s(s 2) (,16 s2 2s 16s2 1|1s 1s(s 2)168T =0.25, n = t = 4,=0.25根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，见图5.22（1）。对于振荡环节，以渐近线代替实际对数幅频特性时，要特别注意误差修正。如果在0.470.7范围内，误差不大；而当彳艮小时，要有一个尖峰纠正。对于z=0.25,查教材表5.6修正表，可得转折频率T=4rad 1处最大误差为6dB。在转折频率附近的修正曲线见图5.37虚线，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且Z越小，谐振峰值 Mr越大，谐振角频率cor越接近于转折频率T （无阻尼自然振荡频率-，n）o已知二阶系统谐振频率丫和谐振峰值Mr（）与系统特征量之间的关系为r =