定积分计算中周期和奇偶函数处理（完整版）

1、定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法、基本方法(-).奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算屮*根据泄积分的性质和被积函数的奇偶性及其周期性，我 们有如下结论K若/&)是奇函数(即/(x) = -/(-x),那么对于任意 的常数m在闭区间-“皿上，匸/(龙眩=0 o2、若门0是偶函数(即/(x)=A-x),那么对于任意的常数a,在闭区间-砂上(上眩=2jo f (戈肚氣若/工)为奇西数时，/(工)在-斗“的全体原函数均为偶西数；当#匕)为偶西 数时，no只育唯一原函数为奇函数即p(/.爭实上 设“厶=/(加*6 Jt屮c为任意常数。当“兀)为奇函数时，/(?为偶函数，任意常数C：也是偶函数n

2、fh)的全体 原函数+ C为偶函数；当川兀)为偶函数时，/(讥为奇函数，任意常数Co时为偶函数= 八)鮎C既为罪奇函数又为非偶函数，=/(歸的原函数只有唯啲一个原函 数即(f)尬是奇函数。4. 若加是以F为周期的函数(即/(r+x)=/(I)且在闭区间T上连续可T积 t 那么 f /(x)ci =/(x)cv = J r f(x)dx Q25. 若弘)足以卩为周期的函数(即/広i) = /人 那么旳成以f为周期的充要条件是【:灿M 爭实上 7侧訂;畑亠= 旳虫亠f /（/ ,由此可得7)力=o 八讪 （二八定积分中奇偶函数的处理方法h肓.接法：若果被积函数瓦接是奇函数或者偶函数，z间按照奇偎函

3、数的 性质进行计算即可，但要注意积分区间。2. 拆项法乂观察被积函数，在对称区间如來被积函数复杂但可以拆成奇偶 函数和的形式，则分开积分会简化计算.3. 拼凑法：被积函数在对称区间宜接积分比较困带，并11不能拆项，可以 按照如下方法处理；设戸（玄）=x） f g（jc）= /（a）-/（-x）,则几）川）皿,从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。2（三八 定积分中周期函数的逊理方法对于周期函数的定积分，垠主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函 数与复合的三角函数的周期人并熟悉周期函数的积分性质，基木上就能解决周 期函数定积分的问题。二.典型例题Mi设f（x） /在卜偽可上连续可积,

4、证明:若_/为奇函数则J /（x）d = 0若/为偶函数，则f f （兀嵌二巧f（工応证明:内为/(兀2-f(-工)，而J /(工冷=J f(xtx + /(jcjdv=一/（兀仏 + J；/&册=j对前项中令有- a/(x)tf(- x) =f (- tdt - f(xdx f 所以 f(x)dx = 2/(x)dEr .=w 则/（-X）* = = - f（x）dx 所以f f （兀區=f（X）必4-于（豐城=0 因为殆rtti =百 /(工肚 + /= -_/（工胚+/&肚二7（讣/（-工）+（/（刃妇对前项屮令7相似的例2设f在(-00,00)上连续，且以T为周期，证T /(xM -

5、f 仗肚=Q/(Ar 广川眩=(/(工减订弘炒+ /(训.在上式右端最垢-个积分屮，令X = r+rWJ有“沁=f(r +也=九购二-f，即有J； b(x肚= f(x)dx +/(工冷- f (兀协=f f(H沁*成立再证 f(x)clx - f(x)dx，因为f(x)dx - 2 f(x)dx +0/(玄)心对于 f(x)dx72则 1 /(x) = Jr /(f +1 因为 /(x+ 7)= /(X)所以有C/(f+ 厂竝=* /(JT)cfc =/(#& +Jr=jf(x)dx o2I27例 3 求泄积分 f = J( (x4 + x2 + cos x)otr e解=被积函数为偶函数，/

6、二J： (/十/ +皿鼻肚=就十+ /+S从扛例4求定积分八|sin xdx j其屮斡为H然数口解：注意到|血耳|是偶函数11以疋为周期，因此利用性质可以简化计算=2丄宀丄宀心1=2L53 0Ll5JJ21sin xdx = 2nf2 sin xdx = In */ = | 卜in J sin 彳t/r J2 ”in xdx 2n例5国计算：f气in ”丸。严址(自然数算或应为奇数九解i由周期函数积分性质得Inw=f sinHJMJt COSxdx = sin rcos; xdx当刀为奇数时，由于被积函数为奇函数，故= 0当期为奇数时(设m = 2Jt+ l(t = 0X2-0时J sin x

7、(l - min 2 sin j: = /?(sin k： = 0JT其屮尺S）为誌的某个多项式（不含常数项）因此m例6求左积分斗 F 十 x-h sin xax例7求定积分匸3 A： JC CO XdX a24 4-解:I= fJ clx =2 + Q7x cos Xx cos x,（血，因为“：亠是奇函数,而七+肃十2 +V4-x2X2 + 1轍 因为被积函数是为奇函数，11在对称区间故j44 v-+x + smx 因为X o,所以r Erv+ t cos t2丿5诜皿cos tt cos tcos t-j 1 + sin t1 一 I 1 + 泗厂7T二I2i/sin t 二兀 arct

8、an Gin f Nh 1 +sin z2例10求定枳分t x + Jl + z + x _ 1U773蠢分析：若此题采用常规求法F会发现过桿相当俎杂.伸是利用奇偶函数的性 质就能很容易求必原函数可以看做个奇函数f卫嘤尹和个偶函数心討冰解:1=i 1n(+ Vl + x2 ) + 1_ I ln( x + a/1 + x2 ),v3 1-齐仮=L 宀3* + 产2 (冷例 11 求沱积分 1=(VI - 4a 2 2 + cos In )dx 2分析：如杲此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到 fix) = cos In 为令函数在対称区间匕积分为零，内此就可以简化积分，Ifi

9、j上积分恰好是以原点为圆心，半径为訥上半圆周面机例 12 K /(x)在(应 A 0)上连续，证明 J /(加=/(x)+/(-工)血,工1C3并由此计算話必1 十！;in h解：若记(“)=/&) +f(7),塑匕)工)I显而易见pCO为偶函数, 能)为奇函数，而且丁(工)二止上回所以有2儿城 J匸 P(x)ix + 张)& = p(x)dx = | /(x) + /(- x)pfc利用上述公式可得J： 办|-： + -= f= 2f sec = 2Lan x； =241+smiznx l-smx Ju cos xD例13求定积分I=jln(+ X沁。分析：此题的积分区间-2,2关于原点对称

10、，从这一点性质中我们可以联想 到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数，我们可以将 其屢戚奇偶函数口按照上一题的结果我们可以知道心卜+訊工卜只-刘为奇函 数，而w(x) =丄f(H)*(0为偶函数2fi?; u(x)= *了 (h)亠 /(-工)=+ h1r(1+ 以)+ xln( + 色)二 X ln(l + &“)一/ = J jr In1 + 7辰=J 疋仙（1+丄）一丄工工站(】+ 一丄/ chc2 ”4- C xdx = 0 十 2丄存=-2 2Jo 23例14求定积分I, = x sin其屮 e 2V 分析：被积函数不是周期函数，无法氏接用周期函数的疋积分性质计算

11、，釆 用分部积分比较繁琐，可以考虑还原令n;r-H = f )!(Jdx dtJ 彳 sin t dt + nsin 打力=J |sm 彳tiv十,t - zjJ | sin x dx移向得：21 n = firj|sin x tlx = nsin xdx = 2n 2jt 所以 In - n2tv例15求建积分= J (兀十x)|sin&J x sin +-t| |sin x dx解：= J (-r + 2x)|siii xdr = 2=2| jsin xdx + J sin xdx - 2xcos x sin x + 2,t = 2+ 2,t 4-例16求定积分f =_ dx” u sin

12、 jc -h b cus Jt解：注意到被积函数是以況为周期的偶函数，丙此可用定积分屮相应性质简 化计算dx2Jxin x 4- b cosdxX*2dx工去 (tan x) 乂sin2 x+b2 coji2 x _ 2 h1yi/(tan x =2arc 伽 ah(aJtan x例 17 求定积分 J； (x? + sin 2 ar)cos xdx 2解：注意到是对称区间*函数可以应用定积分的奇偶性米计算=2 sin 2 xcix - 2 f2 s;in 4 xclx = 一 昴b&mTT例18证/(x)M以T为周期的周期函数，则/( = 4 川环证明：因为一心憑=1心肚 故只需证明fSw於

13、二(他也*-0由题设可知/(x)=/(X + W)现令X = r+fcr ,当工二灯吋，f = 0 :当 x = (Jc + i)r 吋，t = r Rib = dt f眩= /(* 灯対=(f所以有f (M 二肚二町地jt=O例19设是以兀为周期的周期函数，证明x+qJ (sin x+ x)/(xlZr = ；(2分析：(sin x+ x)(2x+ )/(xWr 价于 J (stn x - Jt|/(r)rfr +| (sin x+ xj/(x)(iv = (2x +/r )/(x)dr所以 J (sin x + x)/(A：)dtr( win x)/ 即 J (sin u +(i + /r

14、 sin x)f(x)bc 由题设f(x + M)= /(J)可令 U X + 7T证明：(tn x + X)y (r)tfrJu J (sin x 卜 xifGMc F j (sin x + jrJ/ljtJdtr =J (sm x 1 x)f(x)矗 J (si (sin u + m”)血(sin (x + ;r)+ x + )f(x +)dx j +- sin 疋)f (工眩x + x)y (x)& = J (sin x + x ) f(x)血 + J (jr + ；r sin x)f(x)dx=(2x +亦)/(说例20设函数店(jc)= J |cds t dt 当 n 为正整数， x

15、 (z? + 1)-时，证明 2n 2(zj + l)；求血血zs X证明：(1)凶为cos攵A 0，且甘打瓷丈兰(打+ 1”*所以xdx |曲x f心g xdx ,又因为具有周期，在长度的积分区间上积分值相等:f |COS x|tfY = j |COS x dx=?| |cos x dx T“cos jcdx - |ff cos xdx同理可得到厂cos xdx - 2(w + 1)(n + 1)t由有兰血兰如土当“T8去极限，由夹逼定理得,ffl21设函数/（X）在（-叱）上连续，而HF（x）=r（x-2t）foJo证明：若6）为偶函数，则F（h）也是偶函数；若/单调不减，则F（x） 单调

16、不减（1）证明：令心-则尸（-J =（一 x -纫、（讪-（x- 2u）f（- u）Ot =（x 2w）/（w）* 0,因此F（h）在（-00,8）上单调不减例空设人刃在（-工）上连续，以T为周期，令F（A）=j,求证：F&）定能表成：尸事后+训（工），具中k为某常数*呎兀）是以T为周期的 周期函数：若0 （JC E（-oo,w）, n 为白然数，则?P| nT x （n 4- 1）T 吋，有+滩)证明： 即确定常数k,使得x） = F（X）-kX以T为周期，由于T因此，取丄（讪，护（耳卜F） 后，则誓（兀）是以T%周期的周期函数. 此时F(八 M讷弓（儿如朋）.且冰刃在（-比0）上连续并以T

17、为周期*于是Q（x）在炉（x）在U有界* 在（-c,+oo）也有界* 因此* 1 1 1 帆；“(fM芍“(帕4 Itmo)t 所以当 nrx(n)T 吋,rb?s(+i)rtJ 九)曲=/ 代讪 f n0打例23设/G）是-巾严）上的连续函数，试运用周期函数性质证明J f (acos x + sm x)cr = | J(j/ + 打 =亍 /(Va2 + b sinf “廿令 x-2/r = t贝lj Ja2 + b2 sin =|3,2-rjb+Z-t-兀所以J f(a cos 兀 + b win x)iv = 2pr+ b1 2 2 sin xix。例“设儿）=洛祐 证明（1）弘+毎）*

18、（小 求出/的虽 大最小仏J证明： fx 十;r ） j* 2 bin tdt t 设 t = u yr t 为户=兀4肃时， = x ；半3jtrt = x + -时t u jc + r 则 /（工 + jr） j 7 丽 71$m tdu /（x） 因为右端连续，故rd）可导，62|禺亢|-|血, 一又八査）为周期函数，故只讨论一个周期内即可，现讨论xe05 0 x nt）/ （x） 0 土当壬 c # 兰竺吋，f （#） 04444所以当jc = 时取最大值t于中=|in tdt = Ji ;当x =乎时取最大值，f （罟卜JiFI8轴=-血2 工丄 / -解：1= f (yl 4x + cos In)dx 仟 4x2 dx + cos IndxJ 一I +耳Jh-1 +