人口指数增长模型和Logistic模型学习资料

1、精品文档根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据(如下表)，确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。Logistic 模型：x(t )= 1Xm血-1 ex0/表1美国人口统计数据年份1790180018101820183018401850人口(X106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口(X106)31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口(X106)123.2131.

2、7150.7179.3204.0226.5提示：指数增长模型：x=X0解：模型一：指数增长模型。Malthus模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r,记时刻t的人口为x(t),(即x(t)为模型的状态变量)且初始时刻的人dx_口为x0,因为ddt”由假设可知x(t)=x0ert经拟合得到：x(0)二Xox(t)=x0ert=lnx(t)=lnx0rt；y=ata2a2y=lnx(t),a=r,a2=lnx0r=百，二e程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7

3、150.7179.3204.0226.5;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a,x0=exp(a(2)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),rt,x1,b)结果：a=0.0214-36.6198r=0.0214x0=1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为：x(t)=x0e.0214t,其中x0=1.2480e-016,输入：t=2010;x0=1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t尸598.3529。即在此模型下到2010年人口大约为598.3529父106模型二：阻滞增长模型(或Logistic模型

4、)由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设r(x)=r(1x/xm),其中r为固有增长率(x很小时),Xm于是得到如下微分方程:为人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)，工dxx.rx(1-)dtxmXi。=x0建立函数文件curvefit_fun2.mfunctionf=curvefit_fun2(a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件main.m中调用函数文件curve巾t_fun2.m%定义向量(数组)x=1790:10:1990;y=3.95.37.

5、29.612.917.123.231.438.650.262.976.92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4;plot(x,y,*,x,y);%画点，并且画一直线把各点连起来holdon;a0=0.001,1;%初值%最重要的函数，第1个参数是函数名(一个同名的m文件定义)，第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点a=lsqcurvefit(curvefit_fun2,a0,x,y);disp(a=num2str(a);%显示结果%画图检验结果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,r);%

6、预测2010年的数据x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1)holdoff运行结果：a=311.95310.02798178y1=267.1947其中a(1)、a(2)分别表示x(t)=/xm、中的xm和r,y1则是对美国美1+区_1e上国2010年的人口的估计。精品文档第二题:问题重述:一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲸鱼，并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长)：身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932

7、.1重量(g)76548211627374821389652454胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6问题分析:鲸鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。一般来说，鲸鱼的胸围越大，鱼的体重会越重，身长越长，体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联系，共同影响鱼的体重。建模的目的是寻求鲸鱼体重与身长、胸围之间的数量规律模型假设：1、鲸鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系；2、鲸鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系；3、鲸鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲸鱼的体重；4、鲸鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。符号说明：L鲸鱼

8、的身长C鲸鱼的胸围W豌鱼的体重模型的建立及求解：（一）、鲸鱼体重与身长模型的确立为了研究鲸鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLA歆件画出散点图，如下：从图形上看，鲸鱼的体重与身长可能是二次函数关系，我们利用多项式拟合的方法，得到：W=1.6247*L2-59.3124*L+709.7392根据拟合的函数，我们画出拟合图：2000180016001400120010008006004002003032343638404244464850身长与体重拟合图从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近,说明用二次函数拟合的效果较精品文档好，下面利用得出的函数对鱼的

9、体重进行估计，用相对误差检验拟合度，得到下表：表一、鲸鱼体重实际值与估计值对比及误差表身长(cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g）48248245465273776511621389拟合值（g）466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相对误差（%3.20.445.73.444.935.753.570.86从表中的数据，我们可以得出鲸鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大,说明用二次函数拟合鲸鱼身长与体重的关系式可行的。（二）、鲸鱼体重与胸围的模型确立仅仅考虑鲸鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画

10、出鲸鱼体重与胸围的散点图：从图形上看，鲸鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得精品文档精品文档精品文档到鲸鱼体重与胸围的函数表达式：W=92*C-1497.5(2)胸围与体重拟合图根据拟合函数(2),画出胸围与体重关系的拟合图：22002000180016001400120010008006004002002022242628303234363840利用拟合函数及实际数据，求出实际值与拟合值得相对误差表:表二、鲸鱼体重实际值与估计值对比及误差表胸围(cm)21.321.621.622.924.824.827.931.8重量(g)482482454652737765116213

11、89拟合值(cm)462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相对误差(%4.131.607.866.556.392.507.982.81从鲸鱼胸围与体重的拟合图，及表二中的数据，我们可以得出用线性函数拟合胸围与体重的关系拟合程度高，鲸鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大，说明用线性函数拟合鲸鱼身长与体重的关系式可行的。(三)、建立体重与身长、胸围相互影响的模型实际情况下，鲸鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响，因此考虑建立身长、胸围共同作用体重的模型。此模型的建立是基于假设，(4),即：鲸鱼的体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长2表示：J.因此可以分析得出WsLC2.又物体质量等于密度与体积的乘积，因4二此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：W=aLC2,问题转化为对系数a的求解。根据已知数据，利用MATLA歆件求解，得到：五上0.0327(3)因此，_2W-0.0327LC(4)利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：表三、重量估计