2018年高考一轮复习教学案-选修4-4极坐标和参数方程

1、完美WORD格式范文.范例.指导.参考瞥塞新勖面化.顿小口)选彳4-4坐标系与参数方程1.坐标系与极坐标(1)理解坐标系的作用.(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义.2.参数方程(1) 了解参数方程，了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关

2、问题.MM MB ZktSHtHlMjiU- -«- ,国网目仲如忐回减属稳困”知识点一极坐标系1 .极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O点O叫作极点，自极点 O引一条 射线Ox Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位及其正方向,这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标极径：设 M是平面内一点，极点 O与点M的题国|OM叫作点M的极径，记为 P .极角：以极轴 Ox为始边，射线 OM为终边的角xOMN作点M的极角，记为0.极坐标：有序数对(p, e)叫作点M的极坐标，记作 m p , e).2 .极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是

3、(x, y),极坐标是(p , 0 ),则它们之间的关系为：x= p cos 9 , |y= p sin e ;p2=x2 y2,易误提醒1 .极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式.在解决此类问题时考生要注意 两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件.2 .在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视.注意极坐标（p, 8）（ p, 8+2kTt）,（p,兀+ 8+2k7t）（kC Z）表不同一点的坐标.1.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线=3y,y= sinx的方程变为x解析：由,12x，=3y.1 , y=3y代入y= sinx中得y= 3sin 2

4、 x'.自测练习答案：v' = 3sin 2 x'2 .点P的直角坐标为（1 , ，3）,则点P的极坐标为解析：因为点 R1 , “3）在第四象限，与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为一:，所以点P的极坐标为'2,一7t答案:3. （2015 高考北京卷）在极坐标系中，点2, -3 i到直线 P (cos e +，3sin0)=6的距离为解析：点3，y，勺直角坐标为（1 , V3）,直线P （cos e +V3sin 0）=6的直角坐标=1.方程为x+73y-6=o,所以点（1,。3）到直线的距离d=答案：1知识点二参数方程参数方程的概念般地，在平面直角坐标

5、系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x, y是某个变数t的x= f t ,x= f t ,函数并且又于t的每一个允许值，由函数式所确定的点y=g t ，iy=g tx = f t ,Rx, y）都在曲线C上，那么方程叫作这条曲线的参数方程， 变数t叫作参iy=g t变数，简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程.易误提醒1 .在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x, y的取值范围保持一致，否则不等价.2 .直线的参数方程中，参数 t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，且其几何意义为：|t|是直线上任一点 Mx, y）到M（x0, y0）的距离，即1MM刁t|.自

6、测练习x=2+ 乎t ,4 .在平面直角坐标系中，曲线C: （t为参数）的普通方程为y=i+*t,解析：依题意，消去参数可得x- 2= y- 1,即 x y1 = 0.答案：x-y- 1=0x= 2cos e ,5 .在平面直角坐标系 xOy中，过椭圆（0为参数）的右焦点，且与直V=y3sin 0x = 4 2t , 线4（t为参数）平行的直线截椭圆所得的弦长为 .ly=3-t22解析：椭圆的普通方程为 x+y=1,则右焦点的坐标为（1,0） .直线的普通方程为x-432y+2=0,过点（1,0）与直线 x 2y+2=0平行的直线方程为x 2y 1=0,由-22*=1./ KS4 3得4x2

7、- 2x - 11 = 0 ,所以所求的弦长为1 + g）2 X答案:X2y 1=0,154考点研究»考点曲线的极坐标方程|良寺然舞题组训练01.在极坐标系下，已知圆 Q p =cos 9 +sin 9和直线l : p sin 1 9 -4 ；=号(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当0 (0 ,兀)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解：圆 Q p = cos 0 + sin 8 ,即 p 2= p cos 0 + p sin 0 ,圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y,即 x2+ y2 x y= 0,直线l : p sin 1 0 -4 f=22,即p sin 0 p

8、 cos 8=1,则直线l的直角坐标方程为：yx=1,即 xy+1 = 0.x2+y2xy=0,x= 0,(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为|x-y+ 1 = 0,y= 1,2. (2016 长春模拟)已知圆 O和圆Q的极坐标方程分别为p=2, p22 小I， 兀 1 Cp cos 0 -4 1= 2.(1)将圆O和圆O的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解：(1)由 p =2 知 p 2=4,所以 x?+y2= 4.因为 p 22加 p cos 0 -4 j= 2,2所以 p 2,2 P cos 0 cos -+ sin 0 sin 尸 2.所以

9、x2+y22x2y2= 0.x+ y= 1.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 化为极坐标方程为p cos 0 + p sin 0=1,(c镜即 P sin F 1= 2 .直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角e的表示方法具有周期性，故点m的极坐标(p , 0)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个.当限定P >0, e 0,2兀)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的.(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角e应注意判断点 m所在的象限(即角e的终边的位置)，以便正确地求出角 e 0,2兀)的值.考点二曲线的参数方程|自主探究miu TAN

10、 jnid题组训练1.已知曲线G: '=x= 4+ cos t, y=3 + sin t,x= 8cos（t为参数）曲线C2： <y= 3sin(1)化C, G的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;兀(2)若G上的点P对应的参数为1=5，Q为G上的动点，求 PQ中点M到直线 G:x= 3+2t ,(t为参数)的距离的最小值.y= 2+t22解：(1)曲线 G: (x+4)2+(y- 3)2=1,曲线 Q:y= 1,64 9曲线。是以(一4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线。是以坐标原点为中心，焦点在 x轴上，长半轴长是 8,短半轴长是3的椭圆.(2)当1=|时，R4,4)

11、, Q8cos 0 , 3sin 0),故 M 2+4cos 0 , 2+3sin 0 .5曲线 G 为直线 x-2y-7=0, M 到 C3 的距离 d= , |4cos 0 - 3sin 0 13 ,从而当 cos 0 5=*, sin 0= 3时，d取最小值呼.5552.已知曲线c： -7+y-=1,直线l ： i (t为参数).4 9'y=2-2t,(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A,求|PA的最大值与最小值.x = 2cos 9 ,解：（1）曲线c的参数方程为（ e为参数）|y = 3sin0

12、 .直线l的普通方程为2x+y 6=0.（2）曲线C上任意一点 R2cos0 , 3sin 8 ）到l的距离为5,d= "5_|4cos9 + 3sin 9 - 6|.则 1PA = .nQd o =芈15sin（ 0 + a ） 6| ,sin 305其中a为锐角，且tan当 sin( 0 + a ) = 1 时,|PA取得最小值，最小值为 25.4a =%当sin( 0 + a ) = 1时，| PA取得最大值，最大值为 3x= 2，所以。与G交点的直角坐标为(0,0)和32.参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参， 常用代入法、加减消元法、利用三角 恒等式消元等.在参数方程

13、化为普通方程时，要注意保持同解变形.考点三极坐标方程、参数方程的综合应用I般最基典题悟法X = t COS a一例(2015 高考全国卷n )在直角坐标系xOy中，曲线G:1(t为参数，|y = t sin at W0),其中0w a 兀.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G: P=2sin8 , G: p =23cos 9 .(1)求G与C3交点的直角坐标；(2)若C与C2相交于点A, C与G相交于点B,求| AB的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为 x2+y22y=0,曲线C3的直角坐标方程为 x2+ y2一 2y3x=0.K+y22y=0,x=0,或，3 y=5联立&

14、#39;m,解得。0,(2)曲线C的极坐标方程为 0 = a ( p C R, p W0),其中0W a 兀. 因此A的极坐标为(2sin a, a), B的极坐标为(2，3cos a, a).所以 | AB = |2sin a 2>/3cos a | = 4 sin1l当a=T时， AB取得最大值，最大值为 4.»规律方法涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.【演练冲关(2016 昆明模拟)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为a的直线，在 极坐标系(以坐标原点 O

15、为极点，以x轴正半轴为极轴， 取相同单位长度)中，曲线C的极坐 标方程为 p =4cos 0 .(1)写出直线l的参数方程，并将曲线 C的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点 M N,求|PM+| PN的取值范围.X = 4 + t cos a解：(1)直线l的参数方程：i(t为参数).|y = 2 + tsin ap = 4cos 9 , p 2= 4 p cos 9 ,C： x?+y2=4x.X=4+tcoS a(2)直线l的参数方程：i(t为参数)，|y=2+tsin a代入 x2+y2=4x,得 12+ 4(sin a + cos a)t + 4 = 0, =

16、16 Sin a + cos a 216>0,"1+t2= _ 4 sin a + cos a ,J 1t 2= 4,. sin a - cos a >0,又 0W a < 兀，. a L。，；,且 t1<0, t2<0. | PM+ | PN =| t1| + | t2| =| tl+ t2|=4(sin a + cos a ) = 4小sin a + _4 i，由 a C ?，"2" j 得 a +4C ,，34 !；-<sin a + 4 ；< 1,故| PM + | PN的取值范围是(4,42 .Q思想方法系列|3

17、3 tXIANG FANGFA XILIeI 33.直线参数方程中参数 t几何意义的应用x = 1 + 4cos 0【典例】已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(e为|y=2 + 4sin 0 . 兀参数)，直线l经过定点R3 , 5),倾斜角为y.(1)写出直线l的参数方程和曲线 C的标准方程;(2)设直线l与曲线C相交于A, B两点，求| PA | PB|的值.思维点拨(1)根据条件写出l的参数方程及化曲线 C为标准方程.(2)利用t的几何意义求解| PA | PB的值.解 曲线 C: (x1)2+(y2)2=16,c 1(t为参数).x= 3+ 2t直线l ： 1(2)将直线l的

18、参数方程代入圆 C的方程可得12+ (2 + 3/3)t -3= 0,设t 1 , t 2是方程的两个根，则 t it 2= 3,所以 |PAI PB =|ti| t2| =|tit2| =3.X = Xo + t COS a ,方法点评过定点M(xo,yo),倾斜角为a的直线的参数方程为*y = yo+ tsin a .(t为参数)该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中， 解题时通常过某定点作一直线与圆锥 曲线相交于A, B两点，所求问题与定点到 A B两点的距离有关.解题时主要应用定点在直 线AB上，利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解.跟踪练习(2016

19、 大庆模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P'1, 1 ；,2.兀 .， 一 一 .倾斜角a=.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为 p =2。2cos e 十)(1)写出直线l的参数方程，并把圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A, B两点，求| PA + | PB的值.x = J+ t COS 26解：(1)直线l的参数方程为:(t为参数)，即. 兀y=1+tsin ,6p = 2cos 9 + 2sin 9 ,，p2=2pcos 0 + 2 p sin 0 ,x2+ y2= 2

20、x+ 2y,故圆C的直角坐标方程为(x 1)2+ (y 1) 2=2.0 ,即 x2+y2 8y =0.2.(2016 济宁模拟)已知直线l : p sin一"4 != 4 和圆 C p = 2 kcos(2)把 1 y =1 + 2t(t为参数)代入(x 1) +(y1) =2得t 3-t4=0,设点A, B对应的参数分别为t1, t2,则t1 + t2=¥3, t1t2=一.|PA + | PB = |t1 t2| =，t1+t2 2 4t1t2 =畔.杳扑驶A组考点能力演练1. (1)化圆的直角坐标方程x2+y2= r2( r >0)为极坐标方程；(2)化曲线的

21、极坐标方程p =8sin 0为直角坐标方程.解：(1)将 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入 x2+ y2= r： 得 p 2cos2 0 + p 2sin 2 0 = r2, P2(cos2 0 + sin 2 8) = r2, p=r.所以，以极点为圆心、半径为 r的圆的极坐标方程为 p = r(0< e <2 兀).(2)法一：把 p = ,x2+ y2, sin 0 =-y-代入 p =8sin 0 ,得x2 + y2 = 8 ,1J 2, 即 x2+ y2 8y = 0.x +y法二：方程两边同时乘以 p ,得p2=8p sin若直线l上的点到圆C上的点

22、的最小距离等于 2.求实数k的值并求圆心 C的直角坐标.解：= p =2kcos e -2ksin0 ,p 2=，2k p cos 0 42k p sin 0 ,圆C的直角坐标方程为x2+y2啦kx +/ky= 0,即，圆心的直角坐标为22 ,. p sin 8 2 P cos 8 , 2=4,，直线l的直角坐标方程为 xy+4亚=0,k+4g|k| =2.即|k + 4| =2+|k| ,两边平方，得 |k|=2k+3,k>0,k = 2k+3k<0,或， ck= 2k+ 3,解得k=1,故圆心C的直角坐标为g里3.在极坐标系中，曲线 C的方程为p 2=-2： 2 e，点R2-,

23、 -4-1(1)以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程， R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形 PQRS勺一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时 P点的直角坐标.解：(1) x= p cos 0 , y= p sin 0 ,2曲线C的直角坐标方程为 x+y2=1,3点R的直角坐标为R(2,2).(2)设 F( mcos 0 , sin 9 ),根据题意可得 |PQ = 2 J3cos 0, |QR = 2 sin e,，| PQ+| QR = 42sin ( 0+60° ),当0=

24、30°时，|PQ + |QR取最小值2,，矩形PQR渊长的最小值为4,一一，一 3 1此时点P的直角坐标为 .2 24. (2016 长春模拟)以直角坐标系的原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点 P 的直角坐标为(1 , 5),点C的极坐标为, 2 i若直线l过点P,且倾斜角为十，圆C 的半径为4.(1)求直线l的参数方程和圆 C的极坐标方程.(2)试判断直线l与圆C的位置关系., 工x = 1 +1 cos 3，解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即IL , , 兀y=5 + tsin ,3J5+浸, 2由题知C点的直角坐标为(0,4),圆C的半径为4,，圆C方程为x2

25、+(y 4)2= 16,将i代入得，圆C的极坐标方程为p =y= p sin 08sin 9 .(2)由题意得，直线l的普通方程为 斓xy5 。3=0,圆心C到l的距离为d=| -4-V3| =9+273.直线i与圆。相离.4/2cos5.倾斜角为a的直线l过点P(8,2),直线l和曲线C：，"( 0为、y=2sin0 ,参数)交于不同的两点 M, M.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线 l的参数方程；(2)求| PM| I PM|的取值范围.解：(1)曲线C的普通方程为 焉+乡=1,直线l的参数方程为8+tC0S或 (t 32 4'(y=2 + tsin a,

26、为参数).(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：(8+tcos a)2+8(2+tsin a)2=32,整理得(8sin 2 a+cos2 a)t2+(16cos a+32sin a)t + 64=0,由 A = (16cos a + 32sin a ) 24X 64(8sin 2 a + cos2 a )>0 ,得 cos a >sin a,故a e |0, I；'叫=|皿=1 + 7：4； C 管，64B组高考题型专练1. (2015 高考广东卷改编)已知直线l的极坐标方程为 2 p sin的极坐标为A，/, 74J求点A到直线l的距离.解：由 2 p sin小得 2 p 22sin 9 cos 9 1=。2,所以 y x= 1,故直 线l的直角坐标方程为 x-y+ 1=0,而点A,y2, .，寸应的直角坐标为 A(2 , 2),所以点A(2, 2)到直线l： x y+1=0的距离为|21|二平.222. (2015 高考全国卷I )在直角坐标系 xOy中，直线C: x=- 2,圆G： (x-1)2+ (y -2) 2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C, G的极坐标方程； 兀(2)若直线G的极坐标方程为 e =( P e R),设C2与G的交点为 M N,求 CMN勺