椭圆定点定值专题

1、圆锥曲线选讲1已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为2,短轴长为血2(I )求椭圆C的标准方程；(n ) P (2, n), Q ( 2,- n)是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点. 若直线AB的斜率为丄，求四边形APBQ面积的最大值； 当A、B两点在椭圆上运动，且满足 / APQ= / BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由.2 2解: (i)设 c 方程为二丨-:a联立解得(3+4k2) x2+8 (3 - 2k) kx+4由已知b=2逅，离心率 *4, /二护+F - (3 分)a 22 2a=4,所以，椭圆C的方程为二(4分)2 216412=1

2、n )由(I )可求得点P、Q的坐标为P (2, 3). Q (2,- 3),则|PQ|=6,A (xi, yi) , B (X2, y2),直线AB的方程为尸舟对t,代入 x2+tx+t2- 12=0由厶 0，解得-4 V t V 4,由根与系数的关系得四边形APBQ的面积 故，当t=0时，；(7分) / APQ= / BPQ时，PA、PB的斜率之和为 0，设直线PA的斜率为k,2 2则PB的斜率为-k, PA的直线方程为y- 3=k (x - 2)与丄.(9分)2S (2k- 3； k(3 - 2k)- 48=0,心 + 丈尸3+4 kz同理PB的直线方程y-3= - k ( x-2)，可

3、得.''1 上 3+4y! - y2 k ( x - - 2) +3+k (- 2) - 3k ( k i + m J 一 4k_-24k 1K 阳一_ _*2X X2勺_ X2卜 48k _ 2所以所以直线AB的斜率为定計13分）16k2 -12- 48k |X 1 "1* X nq?1 疋 3+4k2勺k厂幷业？（11分）2已知椭圆石 今(a>b>OD a2 b2的离心率为丄，且经过点 （）-2 2（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线I过右焦点F与椭圆C交于M ,N两点，若AM、AN的斜率k1, k2满足k1+k2=m （定值m老）

4、,求直线I的斜率.解：（1） ：椭圆离心率为-,4c2 3cz解得 c=1 , "二厶 b=V3 ( 3 分).椭圆C的方程是(2)若直线I斜率不存在，显然 k1+k2=0不合题意- (5分)设直线方程为 I: y=k (X - 1) , M (X1, y1) , N (x2, y2)r 22联立方程组 * 43得(3+4k2) x2 - 8k2x+4k2- 12=0 - (7 分)尸k ( k - 1 ?(8 分)2k 24k2 - 12、+ X 二口， X * K A y£ 3+41 芒 3+4 k22 + 2Vi k1+k2=，-r=:-Xj+22-1:2+2=：:-

5、/+.'_3 (巧+心网)= =k(2-3* k1+k2=m, 1=mk m，3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 氐七+勺1 （a>b>0）的焦距为2，且过点（1）求椭圆E的方程；（2） 若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线I经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于 A，B的任意 点，直线AP交I于点M .（i ）设直线OM的斜率为ki,直线BP的斜率为k2,求证：kik2为定值；（ii ）设过点M垂直于PB的直线为m.求证：直线 m过定点，并求出定点的坐标.y/令12X1解：（1）由题意得2c=2，二c=1,又 J , a2=b2+1 . 消去a可得，2b4- 5

6、b2-3=0,解得b2=3或二一+ （舍去），贝U a2=4,椭圆E的方程为(2) ( i )设 P (X1, y1) ( y1 和), A, P, M三点共线,M P (x1, y1)在椭圆上,（ii ）直线BP的斜率为k则直线m的方程为2心厂 yn=° 一：为定值二上.2- xj2- x i 2(2-巧)4”y=2) +y 二+-打c 4片口十,2-引 2 (xj-4)+12-3 讦 刃十(耳1+2)2-!2 -昉十瑚所以直线m过定点(-1, 0).2_ a与c-C,直线x=x轴的交点为N,满2 24. 已知F1 , F2分别是椭圆(a> b> 0)的左、右焦点，半焦

7、距为证日，设A、B是上半椭圆上满足 心虹的两点，其中入a2 b2足(1) 求椭圆的方程及直线 AB的斜率k的取值范围；(2) 过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P,试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由.解：(1)由于卩F；二2函,1卩疋；|二2,解得a2=2, b2=1，从而所求椭圆的方程为E, N三点共线，而点 N的坐标为(-2, 0).设直线AB的方程为严(豐J+y2=消去X得轻厂2) 2+蓉2=2，即里字护一非店Qk2ky=k (x+2),其中k为直线AB的斜率，依条件知 k旳.由7根据条件可知解得0<|k|<，依题意取业2k2，yiV22k2+l从而(1

8、+k) y2=_y- 己 2k2+l5二一-'2kzfl消去y2得设A (X1, yl) , B ( x2, y2),则根据韦达定理，得又由 V-',得(X1+2, yl)=入(x2+2, y2)从而(HX) 20 （入）是区间2,丄上的减函数，从而（2）< e（X)<e Q)LS 3j35亠，故直线AB的斜率的取值范围是| f.X（2）设点P的坐标为（xo, yo）,则可得切线PA的方程是y - y二-LX -丈仃）, u27j口.,A 1而点 A （ xi， yi）在此切线上，有- Vq-_ （工一垃 q）即 xoxi+2yoyi=xi +2y 1 ,2zl又T

9、 A在椭圆上，有xoxi+2yoy=2 , 同理可得x0x2+2y0y2=2.根据和 可知直线AB的方程为，xox+2yoy=2，而直线AB过定点N （- 2, 0）, - 2x0=2? xo= - 1, 因此，点P恒在直线x= - 1上运动.（a>b> 0）的离心率为工，其焦点在圆x2+y2=1 上.22 25. 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆| 尹bycos6 + y)2=12 2整理得（-十时）8宫'°+ （寸十si口+2 （ 十珥叫）gos ® sin® -1将 代入上式，并注意 cos 9sin 0匪得一 ；y iZo i所以,

10、k仙比萨疋升二-刁为疋值.（10分）（1）求椭圆的方程；（2） 设A , B, M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角 0,使0M=cos e 0A+求证：直线 OA与OB的斜率之积为定值;（ii ）求 OA2+OB2.解：（1）依题意，得(i)c=1 .于是,a=7 ；, b=1 .（2分）2所以所求椭圆的方程为(2) (i)设 A (X1, y1), B (x2, y2),又设 M (x, y)，因 Y |I ' i i ,y 2sin（7分）22-y+?l=l,2 +咒-1则因M在椭圆上，故2 2，故*寻(r? Ci-yp 二1- (y冷:yy12+y22=1 .2 2 又

11、(才巾+ (訓 所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3.)二2,故2 2X1 +X2 =2 .6.已知椭圆(a>b>c)的左焦点为F (-血,0),离心率= " , M、N是椭圆上的动点.2(I )求椭圆标准方程;(n )设动点P满足：I 门I 111 ,直线OM与ON的斜率之积为-丄，问：是否存在定点F1 , F2 ,使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出 F1 , F2的坐标，若不存在，说明理由. (川)若M在第一象限，且点证明：MN丄MB .M , N关于原点对称，点 M在x轴上的射影为 A ,连接NA并延长交椭圆于点 B ,(I)解：由

12、题设可知:, a=2 , c '-2 分2 2 2 b =a c =2-3 分椭圆的标准方程为:2 2二-4 分(n)解：设 p (xp ,yP), M (Xi, yl), N (x2, y2),由 0P = 0H + 20M 可得：5分-可得：IX-12小2由直线OM与ON的斜率之积为,即 X1x2+2y1y2=06 分/2c2、(X2 +2y2 )2 2 x2 +2y2 =4 xp2+2yp2=8 ,即I分由 可得：XP2+2yP2= (x12+2y12) +2 2/ M、N是椭圆上的点， x12+2y12=4 ,0) , F2 (2 , 0),使得动点P到两定点距离和为定值 砸;.9 分;由椭圆定义可知存在两个定点F1 (- 2 ,(川)证明：设 M (X1 , y1),