竞赛讲座第七讲二次根式的运算

1、学习必备欢迎下载第七讲二次根式的运算式子a (a 0) 叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础(1)acbc(ab)c (c 0) ；(2)abab (a0, b0 ) ；(3)aa(a0, b0 ) ；bb(4)(a ) 2a2( a 0) 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念二次根式的运算是在有理式( 整式、分式 ) 运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等例题求解【例 1】 已知 yx22x 222 ，则 x

2、2y 2 =5x445x(重庆市竞赛题 )思路点拨因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手注：二次根式有如下重要性质：(1)a0 ，说明了a 与 a 、 a 2n 一样都是非负数；(2) ( a ) 2 a ( a 0) ，解二次根式问题的途径通过平方，去掉根号有理化；(3) ( a ) 2 a ，揭示了与绝对值的内在一致性著名数学教育家玻利亚曾说， “回到定义中去” ，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解 题【例 2】 化简11，所得的结果为（）12(n 1)2nA 111B 111C 111 D111nn 1nn 1nn 1nn 1(武汉

3、市选拔赛试题)思路点拔待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为学习必备欢迎下载普遍、更为深刻的事实和规律【例 3】计算：（ 1）64332；(63 )(32 )（2） 10141521 ；10141521（ 3）1111；353357557494747349315102633218 5231思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口【例4】(1) 化简42 342 3； (

4、 北京市竞赛题)(2) 计算 10 8 3 2 2 ( “希望杯”邀请赛试题 )(3) 计算 a2 a 1a 2a1 ( 湖北省孝感市“英才杯”竞赛题 )思路点拨（ 1）把 4+23万与 423 分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2 3与42 3是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3) 通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题【例 5】 已知 a b 2 a 1 4 b 23 c 31 c 5，求 ab c 的值2( 山东省竞赛题 )思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎

5、样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试学历训练1如果 y2x332x2 ，那么 x2 y =(四川省竞赛题 )2已知 xy 3 ，那么 xyyx的值为 ( 成都市中考题 )xy学习必备欢迎下载3计算 ( 31) 20012(31)20002(31) 19992001 = ( 天津市选拔赛试题)4若 ab 0，则等式a1ab 飞成立的条件是 ( 淄博市中考题 )b 5b35如果式子(x1) 2x2化简的结果为2x3 ，则 x 的取值范围是 ()A x1B x 2C 1 x 2 D x>0 ( 徐州市中考题 )6如果式子 (1a)1根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）1 aA 1

6、 aB a 1C a 1D 1 a7已知 x 2xyy0( x0, y0) ，则3xxyy 的值为 ( )5x3xy4 yA 1B 1C 2D 332348已知 a1，那么 a 21a 22a1 的值等于（）23a1a2aA(123)B1 C23D 39计算：(1) 1999 2000 2001 2002 1 ；（2） 32252672 129 220112 3013 242152 56172 72 ； ( 北京市数学竞赛题 )（ 3）115746；7776642（ 4）199719992001(19971999 )(19972001 )( 19991997 )(19992001 )( 200

7、11997) ( 20011999 )(“希望杯”邀请赛试题)10 (1) 已知913 与913的小数部分分别是a 和 b，求 ab 3a+4b+8 的值；(2)设 xn1n ， yn1n ，n 为自然数， 如果 2 x 2197 xy2y 21993 成立，n1nn1n求 n11如图，某货船以20 海里时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时，接到气象部门通知，一台风中心正以学习必备欢迎下载40 海里时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200 海里的圆形区域( 包括边 界 ) 均会受到影响（ 1）问： B 处是否

8、会受到台风的影响?请说明理由；(2) 为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?( 供选用数据：21.4 ，31.7 )(贵阳市中考题)12 已知 x32 ， y32，那么yx= (T1杯全国 初中数学联赛题 )3232x2y213若有理数 x、 y、 z 满足xy1z21 ( x y z) ，则 (xyz) 2 =2( 北京市竞赛题 )14设 2710 2ab ，其中 a 为正整数， b 在 0， 1 之间，则 ab =ab15正数 m、 n 满足 m4mn2m4n4n3，则m2n8=m2 n2002( 北京市竞赛题 )16化简 23 2 217122 等于()A 54 2 B 4

9、2一1 C 5 D 1 ( 全国初中数学联赛题 )17若 1x1x ，则( x1) 2 等于 ()A x 1 B 1 x C 1 D 1 (2004 年武汉市选拔赛试题 )18若 ab, a、 b、 ab 都是有理数，那么a 和b 面 ()A 都是有理数 B 一个是有理数，另一个是无理数C都是无理数D 有理数还是无理数不能确定( 第 13 届“希望杯”邀请赛试题 )19下列三个命题：若 ， 是互不相等的无理数，则 + 是无理数；若 ， 是互不相等的无理数，则是无理数；若 ， 是互不相等的无理数，则3是无理数其中正确命题的个数是()学习必备欢迎下载A 0B 1C2D3 (全国初中数学联赛试题)20计算：（ 1）253；（ “希望杯”竞赛题）2306243（2） 8215106 ；（山东省竞赛题）532（ 3）111；（四川 省选拔赛题）112322310099992100(4)2(6232515) ；(5)5252322 ( 新加坡中学生数学竞赛题)5121 (1) 求证a 21a 2a1a；b 2(ab1) 2bab 1(2) 计算11999 21999 21（“祖冲之杯”邀请赛试题）2000 2200022 (1)定义 f ( x)1，求 f (1)f (3)f ( 2k 1) f (999) 的值；3 x 23 x 23 x 22x 112x 1