特殊平行四边形：折叠问题

1、学习好资料欢迎下载四边形的轴对称变换类型一：例题 1、如图， 在梯形 ABCD中， AD/BC，AB=CD,M、N分别是 AD、BC的中点， AC平分 DCB， AB AC， P为 MN上一个动点，若 AD=3, 则 PD+PC的最小值是变式训练：1、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE 是等边三角形， 点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD PE 的和最小，则这个最小值为。2、如图，正方形ABCD的边长为8，点 E、 F 分别在 AB、 BC上， AE=3，CF=1，P 是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值是。3、如图，菱形 ABCD

2、的两条对角线分别长为 6和 8，点 P 是对角线 AC上的一个动点，点 M.N 分别是边 AB.BC的中点，则 PM PN的最小值是？4、菱形 ABCD中， BAD=60o ， M是 AB的中点， P 是对角线 AC上的一个动点，若 PM+PB的最小值是 3，求 AB的长 ?学习好资料欢迎下载例题 2：如图，点 A、 B 的坐标分别是（ 1， 2），（ 2，1），在 y 轴上找一点 C，在 x 轴上找一点 D，使四边形 ACDB的周长最小，求出点 C和 D 的坐标，并求出最小周长。AB变式训练y1 x21、如图，在平面直角坐标系中，直线2与 x 轴、 y 轴分别交于A、 B 两点，以AB为边在

3、第二象限内作正方形ABCD，过点 D 作 DEx 轴，垂足为E（ 1）求点 A、B 的坐标，并求边 AB的长；（ 2）求点 D 的坐标；（ 3）你能否在 x 轴上找一点 M，使 MDB的周长最小？如果能，请求出 M点的坐标；如果不能，说明理由2、如图，以矩形 OABC的顶点 O为原点， OA所在的直线为 x 轴， OC所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系已知 OA=3，OC=2，点 E 是 AB 的中点，在 OA上取一点 D，将 BDA沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC边上的点 F 处（1）直接写出点 E、F 的坐标；（ 2）若 P 在坐标轴上，且以点 E、 F、 C、P 为顶点的四边形

4、是梯形，求点 P 的坐标；（ 3）在 x 轴、 y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由3、如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A 在x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 OA=15，OC=9，在边 AB上选取一点D，将 AOD沿 OD翻折，使点学习好资料欢迎下载A 落在 BC边上，记为点 E（1）求 DE所在直线的解析式； （ 2）设点 P 在 x 轴上，以点 O、E、 P 为顶点的三角形是等腰三角形， 问这样的点 P 有几个，并求出所有满足条件的点 P 的坐标；（3）在 x 轴、

5、 y 轴上是否分别存在点 M、N，使四边形 MNED的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由4、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点、B分别在x轴、y轴的A正半轴上， OA3，OB 4， D为边 OB的中点 .（）若 E 为边 OA上的一个动点，当CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（）若 E 、F 为边 OA 上的两个动点， 且 EF2 ，当四边形 CDEF 的周长最小时， 求点 E 、F的坐标.yyBCBCDDOEAxOA xD类型二：例题 3、如图所示， 把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D ，C的位置 若 EFB 65&

6、#176;，则 AED 为度学习好资料欢迎下载EADD BFCC变式训练：1、如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点若 ABE 20°，那么 EFC的度数为度B 重合，点C 落在点C处，折痕为EF ，2、如图 ,把一个长方形纸片对折两次 ,然后剪下一个角 .为了得到一个正方形 ,剪刀与折痕所成的角的度数应为度3、如图，已知矩形纸片ABCD ，点 E 是 AB 的中点， 点 G 是 BC 上的一点，BEG 60 ，现沿直线 EG 将纸片折叠，使点B 落在约片上的点 H 处，连接 AH ，则与BEG 相等的角有个。例题点 C4、如图是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm，若将纸

7、片沿的对应点为点F ，若 BE=6cm，则 CD 的长是DE折叠，使DC落在DA上，AFDBEC变式训练：1、如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形. 则展开后三角形的周长是.学习好资料欢迎下载31042、如图，在梯形ABCD 中， DCB 90°， AB CD， AB 25， BC 24. 将该梯形折叠，点 A 恰好与点 D 重合， BE 为折痕，那么AD 的长度为 _3、如图，在矩形ABCD中， AB=12cm， BC=6cm，点 E、 F 分别在 AB、 CD上，将矩形 ABCD沿EF 折叠，使点 A、 D分别落在矩形ABC

8、D外部的点 A， D处，则整个阴影部分图形的周长 是4、取一张矩形纸片按照图1、图 2 中的方法对折，并沿图3 中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开， 那剪下的这部分展开， 平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .5、将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕， BAE 30°， AB3 ，折叠后，点 C 落在 AD 边上的 C1 处，并且点B 落在 EC1 边上的 B1 处则 BC 的长是例题 4：如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B 处，点 A 对应点为 A ，且

9、B C =3，则 AM 的长是学习好资料欢迎下载变式训练：1、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B 和点 D 重合，折痕为 EF若AB=3cm， BC=5cm，则重叠部分 DEF的面积是 cm22、在正方形ABCD中, 正方形的边长为2，对角线AC、 BD交于点 O，折叠正方形纸片ABCD，使 AD落在 BD上，点 A 恰与 BD上的点 F 重合，展开后，折痕 DE分别交 AB、AC于点 E、 G，连接 GF。则 EFD的面积为。如图，有一张面积为 1 的正方形纸片 ABCD， M、 N 分别是 AD、 BC边的中点，将 C 点折叠至MN上，落在 P 点的位置，折痕为 BQ，

10、连接 PQ，则 PQ=.3、如图矩形纸片ABCD ， AB 5cm， BC 10cm， CD 上有一点E， ED 2cm， AD 上有一点 P，PD 3cm，过 P 作 PF AD 交 BC 于交于 Q 点，则 PQ 的长是 _cm.F，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF4、小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图， AD >CD ）沿过 A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE（如图）；再沿过 D 点的直线折叠，使得C 点落在 DA的点 N 处， E 点落在 AE 边上的点M 处，折痕为DG （如图）如果第二次折叠后，正好在 NDG 的平分线上，那么矩形AB

11、CD 长与宽的比值为边上M 点学习好资料欢迎下载ADAFDANDMBCBGBECEC15、长为1，宽为a 的矩形纸片（a1 ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽2度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去若在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当n=3 时， a 的 _ 如图，正方形纸片 ABCD的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点 B 的直线折叠，使 A 落在 MN上，落点记为 A，折痕交 AD于点 E，若 M、 N 分别是 AD、BC边上距 DC最近的

12、n 等分点（ n2，且 n 为整数），则 A N=.6、如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B的位置， AB与 CD 交于点 E.（ 1）试找出一个与 AED 全等的三角形，并加以证明 .（ 2）若 AB =8，DE =3，P 为线段 AC 上的任意一点， PGAE 于 G，PH EC 于 H，试求 PG+PH的值，并说明理由.7、如图所示，在等腰梯形ABCD 中， AD/BC ， DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点 B 重合学习好资料欢迎下载于点 D，折痕分别交边AB,BC于点 F，E, 若 AD=2,BC=8.求：（ 1） DE的长；（ 2）

13、CD： DE的正切值。8、如图，在矩形纸片ABCD 中， AB 33 ， BC 6，沿 EF 折叠后，点C 落在 AB 边上的点 P 处，点 D 落在点 Q 处， AD 与 PQ 相交于点 H， BPE 30°（ 1）求 BE 、QF 的长（2）求四边形PEFH 的面积9、把一张矩形 ABCD纸片按如图方式折叠，使点 A 与点 E 重合，点 C与点 F 重合（ E、 F 两点均在 BD上），折痕分别为 BH、 DG。（ 1）求证： BHE DGF；（ 2）若 AB 6cm， BC 8cm，求线段 FG的长。10、如图 , AEF中 , EAF=45° , AG EF于点 G

14、, 现将 AEG沿 AE折叠得到 AEB,将 AFG沿 AF折叠得到 AFD,延长 BE和 DF相交于点 C(1) 求证：四边形 ABCD是正方形；(2) 连接 BD分别交 AE、AF于点 M、N，将 ABM绕点 A逆时针旋转，使AB与 AD重合，得到ADH，试判断线段MN、 ND、DH之间的数量关系，并说明理由(3) 若 EG=4， GF=6，BM=3 2，求 AG、 MN的长AHDBMNEGFC11、 .如图， ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5在矩形ABCD 的边 AB 上取一点学习好资料欢迎下载M，在 CD 上取一点N，将纸片沿MN 折叠，使MB 与 D N 交于

15、点 K ，得到 MNK （1）若 1=70°，求 MNK 的度数（2） MNK 的面积能否小于1 ？若能，求出此时 1 的度数；若不能，试说明理由2（3）如何折叠能够使MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值（备用图）例题5：将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与 A 重合，点 D 落到 D 处，折痕为 EF （ 1）求证： ABE AD F ；（ 2）连结 CF ，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？说明你的结论变式训练：1、如图，在直角梯形纸片ABCD 中， AB DC ，A90 ， CDAD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边

16、 CD 上的点 E 处，折痕为 DF 连接 EF 并展开纸片（ 1）求证：四边形 ADEF 是正方形；（ 2）取线段 AF 的中点 G ，连接 EG ，如果 BG CD ，试说明四边形 GBCE 是等腰梯形如图，在梯形纸片ABCD中， AD BC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C 落在 AD学习好资料欢迎下载上的点 C 处，折痕DE交 BC于点 E，连接 C E求证：四边形CDC E 是菱形例题 6：如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，A 点坐标为（ 0， a）， E 是线段 BC上一点，且 AEB=60°，沿 AE折叠后 B点落在点F 处，那么点F 的坐标是。变式训

17、练：1、如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点， ABx 轴， B（ -3 ，3 ）现将纸片按如图折叠， AD， DE为折痕， OAD=30°折叠后，点 O落在点 O1，点 C 落在线段 AB上的 C1 处，并且 DO1 与 DC1 在同一直线上则 C1 的坐标是。2、在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边 OA 、OC 分别落在x 轴 ,y 轴上，且 OA=4 ，OC=3.(1) 求对角线 OB 所在直线的解析式(2) 如图，将 OAB 沿对角线 OB 翻折得打 OBN ， ON 与 AB 交于点 M ；学习好资料欢迎下载判断 OBM是什么三角形，并说明理由试求直线MN的解析式。3、如图， Rt OAC是一张放在平面直角坐标系中的直