08级-研-矩阵论试题与答案(共8页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业一（一（15 分）分）计算(1) 已知可逆，求（用矩阵或其逆矩阵表示） ； A10dAtetA（2）设是给定的常向量，是矩阵变量，求；1234(,)Ta a a a42)(ijxXTd()dXX（3）设 3 阶方阵的特征多项式为，且可对角化，求。A2(6)IAAkkAA)(lim二（二（15 分）分）设微分方程组，0dd(0)xAxtxx508316203A0111x （1）求的最小多项式； （3）求； （3）求该方程组的解。A)(AmAte三（三（15 分）分）对下面矛盾方程组bAx 312312111xxxxxx（1）求的满秩分解；（2）由满秩分解

2、计算；AFGA A（3）求该方程组的最小 2范数最小二乘解。LSx四（四（10 分）分）设11213A求矩阵的 QR 分解（要求的对角元全为正数，方法不限） 。AR五（五（10 分）分） 设(0,2)TnARn （1）证明的最小多项式是；（2）求的 Jordan 形（需要讨论） 。A2( )tr( )mAA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业六（六（10 分）分）设，m nrAR（1）证明；（2）的通解是。rank()nIA Anr0Ax () ,nnxIA A yyR 七（七（10 分）分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)nnnnnnn

3、nnnA（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。八（八（15 分）分） 设是可逆矩阵，（这里矩阵范数都是算子范数） ，A11, BAA如果，证明（1）是可逆矩阵；（2）；（3）。B11B11()BA 一（一（15 分）分）计算(1) 已知可逆，求（用矩阵或其逆矩阵表示） ； A10dAtetA（2）设是给定的常向量，是矩阵变量，求；1234(,)Ta a a a42)(ijxXTd()dXX（3）设 3 阶方阵的特征多项式为，且可对角化，求。A2(6)IAAkkAA)(lim解（1）11100AtAtdee dtAdtdt1()AAeI精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2） 由

4、，得412411jjjjjjaxaxX412411)(jjjjjjTaxaxX2423222114131211)()()()()()()()()(xXxXxXxXxXxXxXxXdXXdTTTTTTTTT4321432100000000aaaaaaaa（3）的特征根为，.由于可对角化, 即存在可逆矩阵，使A1236,0( )6AAC，从而.故1600ACC110( )0ACCA11111limlim00.( )600kkkkACCCCAA二（二（15 分）分）设微分方程组，0dd(0)xAxtxx508316203A0111x （1）求的最小多项式； （3）求； （3）求该方程组的解。A)(A

5、mAte解（1），；3(1)IA2( )(1)Am（2），；( )(1)trabe tt 1408( )316201 4Atttter Aetttt精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（3）01 12( )1 91 6Atttx te xett三（三（15 分）分）对下面矛盾方程组bAx 312312111xxxxxx（1）求的满秩分解；（2）由满秩分解计算；AFGA A（3）求该方程组的最小 2范数最小二乘解。LSx解（1）（不唯一）001011101111100111010AFG（2）；11211126422A（3）；11132LSxA b 四（四（10 分）分）设11213A求矩阵

6、的 QR 分解（要求的对角元全为正数，方法不限）AR解111124121311022A 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业五（五（10 分）分） 设(0,2)TnARn （1）证明的最小多项式是A2( )tr( )mA（2）求的 Jordan 形（需要讨论） 。A（1）易知，故rank( )1A tr( )TA 2( )tr( )()()TTm AAA AAAO 又对任意的一次多项式，。反证，如果( )gc( )g AAcIOAcIO当时，矛盾。当时，矛盾。0c AO0c rank( )rank()2AcIn（2）由根知，的特征值只能是或( )(tr( )0mA A0tr( )TA 当

7、时，无重根，可对角化，再由知tr( )0TA ( )mArank( )1A 00TAJ 当时，的特征值全是，由tr( )0TA A000rank()1nIAn知对应的特征向量只有的线性无关的，从而001n0010AJ六（六（10 分）分）设，m nrAR（1）证明；rank()nIA Anr精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2）的通解是。0Ax () ,nnxIA A yyR 证（1）1rrTTTrnnnOIOOIA AIVU UVIVVOOOOOOrTTn rOOIOVIVVVOIOO所以。rank()nIA Anr（2）由，知的列都是的解，()nA IA AAAA AAAOnIA

8、 A0Ax 其中又有个线性无关的，故其线性组合就是通解。nr() ,nnIA A yyR 0Ax 七（七（10 分）分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)nnnnnnnnnnA（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。证：（1）1) 1(11) 1(111nniikkkkR互不交，说明有个不同的特征值，从而可对角化。kGAn（2）关于实轴对称，如果有复特征值必成对共轭出现，而中只有一个特征值，所以kGAkG必为实数。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业八（八（15 分）分） 设是可逆矩阵，（这里矩阵范数都是算子范数） ，A11, BAA如果，证明（1）是可逆矩阵；（2）；（3）。B11B11()BA 证 （方法一）（1）111()xA AxAAxAB xBx1()AB xBx1xBx （*）xBx因此，说明可逆。00 xBx B（2）由式（*） ，取1xB y1111B yBB yyB yy由算子范数的定义得11B（3）11111111()()BABAB ABABA （方法二）引理：设，若，则可逆，并有。n nAC1A A