阶段质量检测(一) 导数及其应用

1、第 1 页共 9 页阶段质量检测（一）阶段质量检测（一） 导数及其应用导数及其应用(时间：时间： 120 分钟分钟满分：满分：150 分分)一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1若若 f(x)sin cos x，则，则 f(x)等于等于()Asin xBcos xCcos sin xD2sin cos x解析：解析：选选 A函数是关于函数是关于 x 的函数，因此的函数，因此 sin 是一个常数是一个常数2以正弦曲线以正弦曲线 ys

2、in x 上一点上一点 P 为切点的切线为直线为切点的切线为直线 l，则直线，则直线 l 的倾斜角的范围是的倾斜角的范围是()A.0，4 34，B0，)C.4，34D.0，4 2，34解析解析：选选 Aycos x，cos x1,1，切线的斜率范围是切线的斜率范围是1,1，倾斜角的倾斜角的范围是范围是0，4 34，.3函数函数 f(x)的定义域为开区间的定义域为开区间(a，b)，导函数，导函数 f(x)在在(a，b)内的图象如图所示，则函内的图象如图所示，则函数数 f(x)在开区间在开区间(a，b)内有极小值点内有极小值点()A1 个个B2 个个C3 个个D4 个个解析：解析：选选 A设极值点

3、依次为设极值点依次为 x1，x2，x3且且 ax1x2x3b，则，则 f(x)在在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有是极大值点，只有 x2是极小值点是极小值点4函数函数 f(x)x2ln x 的单调递减区间是的单调递减区间是()A.0，22B.22，C.，22 ，0，22D.22， 0，0，22第 2 页共 9 页解析解析：选选 Af(x)2x1x2x21x，当当 0 x22时时，f(x)0，故故 f(x)的单调递减的单调递减区间为区间为0，22 .5函数函数 f(x)3x4x3(x0,1)的最大值

4、是的最大值是()A1B.12C0D1解析：解析：选选 Af(x)312x2，令，令 f(x)0，则则 x12(舍去舍去)或或 x12，f(0)0，f(1)1，f12 32121，f(x)在在0,1上的最大值为上的最大值为 1.6函数函数 f(x)x3ax23x9，已知，已知 f(x)在在 x3 处取得极值，则处取得极值，则 a()A2B3C4D5解析：解析：选选 Df(x)3x22ax3，f(3)0.3(3)22a(3)30，a5.7函数函数 f(x)13ax312ax22ax1 的图象经过四个象限的图象经过四个象限，则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是()A.310，67B.85，31

5、6C.83，116D.，310 67，解析：解析：选选 Df(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数要使函数 f(x)的图象经过四个象限的图象经过四个象限，则则 f(2)f(1)0，即即103a176a10，解得解得 a67.故选故选 D.8.已知函数已知函数 f(x)的导函数的导函数 f(x)a(xb)2c 的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数 f(x)的图象可能的图象可能是是()第 3 页共 9 页解析：解析：选选 D由导函数图象可知，当由导函数图象可知，当 x0 时，函数时，函数 f(x)递减，排除递减，排除 A、B；当；当 0 x0，函数，函数 f(x)递增因此，当递增

6、因此，当 x0 时，时，f(x)取得极小值，故选取得极小值，故选 D.9定义域为定义域为 R 的函数的函数 f(x)满足满足 f(1)1，且，且 f(x)的导函数的导函数 f(x)12，则满足，则满足 2f(x)x1的的 x 的集合为的集合为()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1Dx|x1解析：解析：选选 B令令 g(x)2f(x)x1，f(x)12，g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数，为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当当 x1 时，时，g(x)0，即，即 2f(x)x1，故选，故选 B.10某产品的销售收入某产品的销售收入 y1(万元万元)是产量是产量 x(千台千

7、台)的函数：的函数：y117x2，生产成本，生产成本 y2(万元万元)是是产量产量 x(千台千台)的函数：的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产，为使利润最大，应生产()A6 千台千台B7 千台千台C8 千台千台D9 千台千台解析：解析：选选 A设利润为设利润为 y，则，则 yy1y217x2(2x3x2)18x22x3，y36x6x2，令令 y0 得得 x6 或或 x0(舍舍)，f(x)在在(0,6)上是增函数上是增函数，在在(6，)上是减函数上是减函数，x6 时时y 取得最大值取得最大值11已知定义在已知定义在 R 上的函数上的函数 f(x)，f(x)xf(x)0，若，若 a

8、b，则一定有，则一定有()Aaf(a)bf(b)Baf(b)bf(a)Caf(a)bf(b)Daf(b)bf(a)解析：解析：选选 Cxf(x)xf(x)xf(x)f(x)xf(x)0，函数函数 xf(x)是是 R 上的减函数，上的减函数，ab，af(a)bf(b)12若函数若函数 f(x)sin xx，且且 0 x1x2bBabCabDa，b 的大小不能确定的大小不能确定解析解析：选选 Af(x)xcos xsin xx2，令令 g(x)xcos xsin x，则则 g(x)xsin xcos xcos xxsin x.第 4 页共 9 页0 x1，g(x)0，即函数，即函数 g(x)在在(

9、0,1)上是减函数，得上是减函数，得 g(x)g(0)0，故，故 f(x)b，故选，故选 A.二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上)13若若 f(x)13x3f(1)x2x5，则，则 f(1)_.解析：解析：f(x)x22f(1)x1，令，令 x1，得，得 f(1)23.答案：答案：2314设设 a0，若曲线，若曲线 y x与直线与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为所围成封闭图形的面积为 a2，则，则 a_.解析：解析：S错误错误!xdx23x32a023a32a2，a49.答案

10、：答案：4915已知函数已知函数 f(x)满足满足 f(x)f(x)，且当且当 x2，2 时时，f(x)xsin x，设设 af(1)，bf(2)，cf(3)，则，则 a，b，c 的大小关系是的大小关系是_解析：解析：f(2)f(2)，f(3)f(3)，因为因为 f(x)1cos x0，故故 f(x)在在2，2 上是增函数，上是增函数，22130，f(2)f(1)f(3)，即，即 cab.答案：答案：ca0 知，知，f(x)与与 1xex1同号同号令令 g(x)1xex1，则，则 g(x)1ex1.所以当所以当 x(，1)时，时，g(x)0，第 6 页共 9 页g(x)在区间在区间(1，)上单

11、调递增上单调递增故故 g(1)1 是是 g(x)在区间在区间(，)上的最小值，上的最小值，从而从而 g(x)0，x(，)综上可知，综上可知，f(x)0，x(，)，故故 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，)19(本小题满分本小题满分 12 分分)某个体户计划经销某个体户计划经销 A，B 两种商品，据调查统计，当投资额两种商品，据调查统计，当投资额为为x(x0)万元时，在经销万元时，在经销 A，B 商品中所获得的收益分别为商品中所获得的收益分别为 f(x)万元与万元与 g(x)万元，其中万元，其中 f(x)a(x1)2，g(x)6ln(xb)(a0，b0)已知投资额为零时收益为零已知投资

12、额为零时收益为零(1)求求 a，b 的值；的值；(2)如果该个体户准备投入如果该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润使他能获得最大利润解：解：(1)由投资额为零时收益为零，由投资额为零时收益为零，可知可知 f(0)a20，g(0)6ln b0，解得解得 a2，b1.(2)由由(1)可得可得 f(x)2x，g(x)6ln(x1)设投入经销设投入经销 B 商品的资金为商品的资金为 x 万元万元(0 x5)，则投入经销则投入经销 A 商品的资金为商品的资金为(5x)万元，万元，设所获得的收益为设所获

13、得的收益为 S(x)万元，万元，则则 S(x)2(5x)6ln(x1)6ln(x1)2x10(0 x5)S(x)6x12，令，令 S(x)0，得，得 x2.当当 0 x2 时，时，S(x)0，函数，函数 S(x)单调递增；单调递增；当当 2x5 时，时，S(x)0，函数，函数 S(x)单调递减单调递减所以当所以当 x2 时，函数时，函数 S(x)取得最大值，取得最大值，S(x)maxS(2)6ln 3612.6 万元万元所以，当投入经销所以，当投入经销 A 商品商品 3 万元，万元，B 商品商品 2 万元时，万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为他可获得最大收益，收益的最大值约为 12.6

14、 万元万元20(本小题满分本小题满分 12 分分)已知函数已知函数 f(x)ax22ln(1x)(a 为常数为常数)(1)若若 f(x)在在 x1 处有极值，求处有极值，求 a 的值并判断的值并判断 x1 是极大值点还是极小值点；是极大值点还是极小值点；(2)若若 f(x)在在3，2上是增函数，求上是增函数，求 a 的取值范围的取值范围解：解：(1)f(x)2ax21x，x(，1)，f(1)2a10，第 7 页共 9 页所以所以 a12.f(x)x21x x1 x2 1x.x0，x20，因此，当因此，当 x0，当当1x1 时时 f(x)0，x1 是是 f(x)的极大值点的极大值点(2)由题意由

15、题意 f(x)0 在在 x3，2上恒成立，上恒成立，即即 2ax21x0 在在 x3，2上恒成立上恒成立a1x2x在在 x3，2上恒成立，上恒成立，x2xx1221412，6，1x2x16，112 ，1x2 xmin16，a16.即即 a 的取值范围为的取值范围为，16 .21(本小题满分本小题满分 12 分分)已知函数已知函数 f(x)x2mln x，h(x)x2xa.(1)当当 a0 时，时，f(x)h(x)在在(1，)上恒成立，求实数上恒成立，求实数 m 的取值范围；的取值范围；(2)当当 m2 时，若函数时，若函数 k(x)f(x)h(x)在区间在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实

16、数上恰有两个不同零点，求实数 a 的的取值范围取值范围解：解：(1)由由 f(x)h(x)，得得 mxln x在在(1，)上恒成立上恒成立令令 g(x)xln x，则，则 g(x)ln x1 ln x 2，当当 x(1，e)时，时，g(x)0；当当 x(e，)时，时，g(x)0，所以所以 g(x)在在(1，e)上递减，在上递减，在(e，)上递增上递增故当故当 xe 时，时，g(x)的最小值为的最小值为 g(e)e.所以所以 me.即即 m 的取值范围是的取值范围是(，e(2)由已知可得由已知可得 k(x)x2ln xa.第 8 页共 9 页函数函数 k(x)在在(1,3)上恰有两个不同零点，上

17、恰有两个不同零点，相当于函数相当于函数(x)x2ln x 与直线与直线 ya 有两个不同的交点有两个不同的交点(x)12xx2x，当当 x(1,2)时，时，(x)0，(x)递减，递减，当当 x(2,3)时，时，(x)0，(x)递增递增又又(1)1，(2)22ln 2，(3)32ln 3，要使直线要使直线 ya 与函数与函数(x)x2ln x 有两个交点，有两个交点，则则 22ln 2a32ln 3.即实数即实数 a 的取值范围是的取值范围是(22ln 2,32ln 3)22(本小题满分本小题满分 12 分分)已知函数已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点有两个零点(1)求求 a 的取值范围；的取值范围；(2)设设 x1，x2是是 f(x)的两个零点，证明：的两个零点，证明：x1x20，则当，则当 x(，1)时，时，f(x)0，所以所以 f(x)在在(，1)内单调递减，在内单调递减，在(1，)内单调递增内单调递增又又 f(1)e，f(2)a，取，取 b 满足满足 b0 且且 ba2(b2)a(b1)2ab232b0，故故 f(x)存在两个零点存在两个零点设设 a0，因此，因此 f(x)在在(1，)内单调递增内单调递增又当又当 x1 时，时，f(x)0，所以，所以 f(x)不存在两个零点不存在两个零点若若 a1，故当故当 x(1，ln(2a)时，时，f(x)0.