2.5 序列的傅氏变换

1、 电子信息工程电子信息工程2.6 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换本小节讨论离散时间信号的频谱本小节讨论离散时间信号的频谱离散非周期信号和其频谱之间的关系，可用序列离散非周期信号和其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示的傅里叶变换来表示 deeXeXDTFTnxenxnxDTFTeXnjjjnnjj)()()( )()()( 211反反变变换换正正变变换换其收敛条件为其收敛条件为nnnjnxenx| )(|)(| 电子信息工程电子信息工程若序列的若序列的Fourier变换变换 存在且连续，且是其存在且连续，且是其z变变换在单位圆上的值，则序列换在单位圆上的值，则序列 x(n)一定绝对可和

2、，将一定绝对可和，将 展成展成Fourier级数，其系数即为级数，其系数即为x(n)：()jX e()jX e111( )( )2nzx nX z zdzj(1)1()2jjnjX eedej (1)1()2jjnjX eeje dj1()2jj nX eed 电子信息工程电子信息工程例题：求序列x(n)=R5(n)的傅里叶变换40)()(nnjnnjjeenxeX )()(112/2/2/2/52/52/55 jjjjjjjjeeeeeeee2sin25sin2 je解答：解答： 电子信息工程电子信息工程幅度谱2sin25sin| )(| jeX2205|X(ej)| 电子信息工程电子信息工

3、程1.1.序列的傅里叶变换表示了一个离散非周期时间序列也具序列的傅里叶变换表示了一个离散非周期时间序列也具有频谱。有频谱。2.2.离散非周期时间序列的频谱是序列在单位圆上的离散非周期时间序列的频谱是序列在单位圆上的Z Z变换。变换。3.3.离散非周期时间序列的频谱形式与原抽样信号的频谱之离散非周期时间序列的频谱形式与原抽样信号的频谱之间为一种多值映射关系间为一种多值映射关系4.4.离散非周期时间序列的傅里叶变换为一个连续函数。离散非周期时间序列的傅里叶变换为一个连续函数。5.5.离散非周期时间序列的傅里叶变换的性质可由序列的离散非周期时间序列的傅里叶变换的性质可由序列的z z变换得出。变换得出

4、。 电子信息工程电子信息工程 dedXjnnxeXnxeXnxeeXen-mxebYeaXnbynaxjjjnjjmjjjo)()( : )()( : )()( : )()( : )()()()( : )(微分微分反转反转调制调制时移时移线性线性0序列的傅里叶变换的性质序列的傅里叶变换的性质 电子信息工程电子信息工程 deXnxdeYeXnynxeYeXnynxjjjjj222121)()( : Parseval )()()()( : )()()()( : -n)(定理定理周期卷积周期卷积序列相乘序列相乘线性卷积线性卷积 电子信息工程电子信息工程序列的序列的Fourier变换的对称性质变换的对

5、称性质定义：定义：共轭对称序列：共轭对称序列：*( )()eex nxn*( )()oox nxn ( )( )( )eox nx nx n共轭反对称序列共轭反对称序列：任意序列可表示成任意序列可表示成xe(n)和和xo(n)之和之和:*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ox nx nxn其中： 电子信息工程电子信息工程同样，同样，x(n)的的Fourier变换变换 也可分解成：也可分解成：*1()()()()2jjjjeeXeXeX eXe*1()()()()2jjjjooXeXeX eXe 其中：其中：()()()jjjeoX eXeXe()jX e序列实部的

6、傅里叶变换等于序列傅里叶变换的序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量共轭对称分量性质12)()(Re jeeXnxDTFT 电子信息工程电子信息工程)()()(RenxnxDTFTnxDTFT21证证明明：)()()( jnnjeXenxnxDTFT)()()()(Re jejjeXeXeXnxDTFT21所所以以：性质13)()(Im jeXnxjDTFT0 )()()(21)()(21)(Im jojjeXeXeXnxnxnxj 电子信息工程电子信息工程)(Re)( jeeXnxDTFT性质性质14*1( ) ( )()2ex nx nxn证明：证明：)()()( jnjne

7、XenxnxDTFT)(Re)()()( jjjeeXeXeXnxDTFT21)(Im)( joeXjnxDTFT性质性质15 电子信息工程电子信息工程性质性质16)()()()( jjjeXeXeXnx满足共轭对称性，即满足共轭对称性，即变换变换是实序列，则其傅里叶是实序列，则其傅里叶如果如果nnnnjjnnxjnnxenxeX)sin()()cos()( )()( 因为因为)(Im)(Im )(Re)(Re jjjjeXeXeXeX 所以所以的的奇奇函函数数虚虚部部是是的的偶偶函函数数，实实部部是是实实序序列列的的傅傅里里叶叶变变换换的的 电子信息工程电子信息工程幅度是幅度是的偶函数的偶函数幅角是幅角是的奇函数的奇函数()()jjX eX earg()arg()jjX eX e )(argexp| )