几种特殊类型行列式及其计算

1、1行列式的定义及性质1.1 定义网n级行列式aiiai2IIIaina2ia,2"Ia2nI+pItpanian2HIann等于所有取自不同行不同列的个n元素的乘积aij1a2j2|"anjn（i）的代数和，这里用2注jn是1.2 ,|,n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当jij2”|jn是偶排列时，（1）带正号，当jij2"jn是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可写成这里jij2|jnaiiai2a21a22aina2nani an 2IHann表示对所有n级排列求和.1 jij蛆沏a2|萌 jj|jn1.2性质4性质1.2.1行列互换，行列式的值不变

2、.性质1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.2.3如果某行（歹I）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两行列式的和；这两个行列式的这一行（歹I）的元素分别为对应的两个力口数之一，其余各行（歹I）与原行列式相同.性质1.2.4两行（列）对应元素相同，行列式的值为零.性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.性质1.2.6某行（歹I）的倍数加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变.性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号.2行列式的分类及其计算方法2.1 箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）对角线

3、上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（下）三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.例1计算n阶行列式解将第一列减去第二列的1a2 0III III10a3III0anan 0 .二倍，第三列的。倍第n列的a2a31 、-倍，得 ana200 III 0IIIana20III00 H an.ca1naii22.2 两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看,这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当bc时可以化为上面列举的爪形来计算，当bc时则用拆行（列

4、）法9来计算.例2计算行列式Dna1ccba2cbba3IIIIIIIIIc c c III anbbbDna1bbba2bbba3IIIIIIIIIbbbIIIanDnb00an b将第2行到第行n都减去第1行，则Dn化为以上所述的爪形，即a1bbba1a2b0ba10a3bIIIIIIIIIba100用上述特征1的方法，则有ooana1SI1a1a1aaaa 0a 0a 0b xn bai bi 1bab|a1bai1bI"anb.i1当bc时，用拆行（列）法9,则x1aabx2aDnbbx3IIIIIIIIIbbb化简得Dn而若一开始将Xn拆为aDn由1Xnb2XnX1bbX2

5、bX3IIIIIIIIIX1bIIIba0x2aIIIba0XnXiaX2IIIxnXnXibX2IIIX1bbX2bX3IIIIIIIIIxnXnbXn1XnXnnXjj1bDnDn1.Dn1.有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.例3计算行列式DnIIIIIIcaXIIIa解将第一行b第一列acDnbc2aa2dbcaIllaIIIaHllbaaaIIIX即化为上21情形，计算得Dndxan1adbcxa而对于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法8来简化.例4计算行列式Dn1彳x2%l

6、b乂口为x1x2x2xnIIIbl1xn2解将行列式升阶，得Dn1x01x120x2x1IIIIII0xnx1x2取22blxnx2xn乂2乂口1xn2将第i行减去第一行的xii2,|,n倍，得xno o 口 1010X 1 o HH o1X1X2nnxnDnHI xn0|0IDI 1这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得n.21xix1x2i1010001HIHIIII000n1x2.i12.3 两条线型行列式这类行列式的特征是除了主（次）对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接

7、展开降阶计算.例5计算行列式D解按第一行展开可得Dna1a1a21llkn1n1bn1an例6计算行列式bnD2n解方法1直接展开可得an1D2nanbid1an1cn1bn1bn1cn10dn1dnbnb1d12ndn1dncnan1cn1bn1a1C1bid1dn10an1bn1an1bn1andnbd1bA2n11a1Gbid1dn1dn1andnbncnD2n1D2nandnbncnD2n1andnbncnan1dn1bnG1D2n2IIIaidibG.方法2（拉普拉斯定理法3）按第一行和第2n行展开得bn1D2nancnbndn12n12n1a1Gbid1dn1andnbnCnD2n

8、1其余的同法1.2.4 Hessenberg型行列式这类行列式的特征是除主（次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行（列）元素化简到只有一个非零元素,以便于这一行或列的展开降阶计算例7计算行列式Dn110II0212II0302III0ll lln 2IIIn 100IIIn00III01 n解将各列加到第一列得Dn按第一列展开得Dn12 n n 102III0000HIIIIn 2 2 n00 n 1 1 n2.5三对角型行列式23Hln1n10IH002200Iimininhin22n000mn11n形如Dna bc aDn

9、cbI4< P H'bca的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的n1阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法5例8计算行列式解按第一列展开有DnaDn1bcDn2解特征方程x2axbc0得例9计算行列式Xia.a24bca、a24bcDnDn,X2niX1niX2xiX2解按第一行展开得Dn9Dni200.解特征方程得分别使n1,2得a16,b25,则XiDnDn4,X2nia45n15.nib54ni2.6 各行（列）元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行（列

10、）对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行（列）加到第一行（列）或第n行（列），提取公因式后，再把每一行都减去第一行（列），即可使行列式中出现大量的零元素例i0计算行列式iaiaia2ia2IIIIIIanan解将第2行到第n行都加到第i行，得aa2ian1aiI"an1aiana21a2IIIIIIanana1IIIa21a2IIIillanan1a1IIIan1101HIHI001011ai|ana2III1an1a2III1an1a1HIan2.7 相邻两行（歹i）对应元素相差1的行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行（列）元素相差1的行列式，对这类行列式，自

11、第一行（列）开始，前行（列）减去后行（列），或自第行n（列）开始,后行（列）减去前行（列）,即可出现大量元素为1或1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素若相邻两行（列）元素相差倍数k,则前（后）行（列）减去后（前）行（列）的k倍，可使行列式出现大量的零元素.例11计算行列式012 In 2n 1120110、4»1n3n4n23n2n1n3n2n4n3bhl)Pk0110111 I1n 1解依次用前行减去后行，可得11111111JHI11*11III11n2n310现将第1列加到第2列至第n列，得Dn例11计算阶n行列式Dn1nana22n322n42n2a1n1a3a2a4a3a解这是相邻两行（列）相差倍数a,Dnn1a002.8德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行行列式来计算.例12计算行列式Dn1解将第i行提出a，得nananananana