《概率论与数理统计》讲义(共80页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率第一节第一节 基本概念基本概念1 1、排列组合初步、排列组合初步（1 1）排列组合公式）排列组合公式 从从 m m 个人中挑出个人中挑出 n n 个人进行排列的可能数。个人进行排列的可能数。)!(!nmmPnm 从从 m m 个人中挑出个人中挑出 n n 个人进行组合的可能数。个人进行组合的可能数。)!( !nmnmCnm例 11：方程的解是xxxCCC76510711A 4 B 3 C 2 D 1例 12：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)(2)加法原理（两

2、种方法均能完成此事）：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+nm+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。(3)(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mnmn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。例 13：从 5 位男同学和 4 位女同学中选出 4 位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例 14：6 张同排连号的电影票，分给 3 名男生和 3

3、 名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例 15：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A120 种B140 种 C160 种D180 种(4)(4)一些常见排列一些常见排列 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨例 16：晚会上有 5 个不同的唱歌节目和 3 个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？3 个舞蹈节目排在一起；3 个舞蹈节目彼此隔开；3 个舞蹈节目先后顺序一定。例 17：4 幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例 1

4、8：5 辆车排成 1 排，1 辆黄色，1 辆蓝色，3 辆红色，且 3 辆红车不可分辨，问有多少种排法？重复排列和非重复排列（有序）例 19：5 封不同的信，有 6 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？对立事件例 110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例 111：15 人中取 5 人，有 3 个不能都取，有多少种取法？例 112：有 4 对人，组成一个 3 人小组，不能从任意一对中取 2 个，问精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业有多少种可能性？顺序问题例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的种数？（有序）例 114：3 白球，2 黑球，先后取

5、 2 球，不放回，2 白的种数？（有序）例 115：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的种数？（无序）2 2、随机试验、随机事件及其运算、随机试验、随机事件及其运算（1 1）随机试验和随机事件）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数（泊松分布） ；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为 0

6、.1米、0.5 米及 1 米到 3 米之间都是随机事件（正态分布） 。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如（离散） 。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。n,21一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为。A如果在一次试验中所出现的有，则称在这次试验中事件A发生。A如果不是

7、事件A的组成部分，就记为。在一次试验中，所出现的A有，则称此次试验A没有发生。A精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业为必然事件， 为不可能事件。（2 2）事件的关系与运算）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于BA AB B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。BAA、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，

8、称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率：11iiiiAA ，BABABABA例 116：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间。若A表示取到的两只球是白色的事件，表示取到的两只球是红色的事件，试用A、表示下列事件：（1）两只球是颜色相同的事件C，（2）

9、两只球是颜色不同的事件D，（3）两只球中至少有一只白球的事件E。 例 117：硬币有正反两面，连续抛三次，若 Ai表示第 i 次正面朝上，用精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业Ai表示下列事件：（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C，（2）至少有一次正面朝上的事件D，（3）前两次正面朝上的事件E。3 3、概率的定义和性质、概率的定义和性质（1 1）概率的公理化定义）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件1A，2A，有11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加

10、性。则称 P(A)为事件A的概率。（2 2）古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）1 ，n21,2 。nPPPn1)()()(21设任一事件A，它是由组成的，则有m21,P(A)= =)()()(21m)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A例 118：集合 A 中有 100 个数，B 中有 50 个数，并且满足 A 中元素与 B中元素关系 a+b=10 的有 20 对。问任意分别从 A 和 B 中各抽取一个，抽到满足a+b=10 的 a,b 的概率。例 119：5 双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？例 120：在共有 10 个座位的小会议室内随机地

11、坐上 6 名与会者，则指定精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业的 4 个座位被坐满的概率是AB CD 141131121111例 121：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的概率？（有序）例 122：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的概率？（有序）例 123：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的概率？（无序）注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。4 4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1 1）加法公式）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P

12、(A)+P(B)例 124：从 0，1，9 这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A“三个数字中不含 0 或者不含 5” 。（2 2）减法公式）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P()=1- P(B)B例 125：若 P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求 P(A+B)和 P(+).AB例 126：对于任意两个互不相容的事件 A 与 B， 以下等式中只有一个不正确，它是：(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1AB(C) P(-B)= P()-P(B)

13、 (D)P(AB)(A-B)=P(A) AA(E)p=P(A) -P()BAAB精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（3 3）条件概率和乘法公式）条件概率和乘法公式定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称为事件 A 发生条件下，)()(APABP事件 B 发生的条件概率，记为。)/(ABP)()(APABP条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPA

14、P21|(AAAPn)1nA。例 127：甲乙两班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而女生 15 名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。例 128：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。（4 4）全概公式）全概公式设事件nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容，), 2 , 1(0)(niBPi，2niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。此公式即为全概率公式。例 129：播种小麦时所用的种子中二等种子占 2，三等种子占

15、1.5，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业四等种子占 1，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为 0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率。例 130：甲盒内有红球 4 只，黑球 2 只，白球 2 只；乙盒内有红球 5 只，黑球 3 只；丙盒内有黑球 2 只，白球 2 只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225例 131：100 个球，40 个白球，60 个红球，不放回先后取 2 次，第 2 次取出白球的概率？第 20

16、次取出白球的概率？（5 5）贝叶斯公式）贝叶斯公式设事件1B，2B，nB及A满足1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 niiBA1，0)(AP，则，i=1，2，n。njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(此公式即为贝叶斯公式。， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)(iBP， （1i，2，n） ，通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的)/(ABPi“结果” ，而1B，2B，nB理解为“原因” ，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。例 132：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C表示被检验者的确患有肝癌的事件，A

17、表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知，95. 0)/(CAP，。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的98. 0)/(CAP004. 0)(CP精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业确患有肝癌的概率)|(ACP。5 5、事件的独立性和伯努利试验、事件的独立性和伯努利试验（1 1）两个事件的独立性）两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的） 。 若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立，则可得到A与B

18、、A与B、A与B也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 （证明） 同时， 与任何事件都互斥。（2 2）多个事件的独立性）多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。两两互斥互相互斥。两两独立互相独立？例 133：已知，证明事件、相互独立。)/()/(ABPABPAB例 134：A，B，C 相互独立的充分条件：（1）A，B，C 两两独立（2）A

19、与 BC 独立精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例 135：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为 0.9，乙射中的概率为 0.8，求目标没有被射中的概率。（3 3）伯努利试验）伯努利试验定义 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC

20、)(，nk, 2 , 1 , 0。例 136：袋中装有 个白球及 个黑球，从袋中任取 a+b 次球，每次放回，试求其中含 a个白球，b 个黑球的概率（a，b） 。例 137：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为 p，求在第 n 次成功之前恰失败 m 次的概率。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第二节第二节 练习题练习题1 1、事件的运算和概率的性质、事件的运算和概率的性质例 138：化简 (A+B)(A+)(+B)BA例 139：ABC=AB(CB) 成立的充分条件为： (1)ABC (2)BC例 140：已知 P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求

21、 x 的最大值。例 141：当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结论正确的是（A）P（C）=P（AB） 。（B）P（C）=P（AB） 。（C）P（C）P（A）+P（B）-1（D）P（C）P（A）+P（B）-1。2 2、古典概型、古典概型例 142：3 男生，3 女生，从中挑出 4 个，问男女相等的概率？例 143：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是 0,1,2,9 中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。例 144：袋中有 6 只红球、4 只黑球，今从袋中随机取出 4 只球，设取到一只红球得 2 分，取到一只黑球得 1 分，则得分不大于 6 分的概率是 A

22、B CD 42237442252113例 145：10 个盒子，每个装着标号为“16”的卡片。每个盒子任取一张，问 10 张中最大数是 4 的概率？例 146：将 n 个人等可能地分到 N（nN）间房间中去，试求下列事件的概率。A“某指定的 n 间房中各有 1 人” ；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业B“恰有 n 间房中各有 1 人”C“某指定的房中恰有 m（mn）人”例 147：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问全是白色的概率？3 3、条件概率和乘法公式、条件概率和乘法公式例 148：假设事件 A 和 B 满足 P（B | A）=1，则 （A） A 是必然事

23、件。（B）。BA （C）。（D）。BA0)(BAP例 149：设 A，B 为两个互斥事件，且 P（A）0, P(B)0，则结论正确的是（A）P（B | A）0。（B）P（A | B）=P（A） 。（C）P（A | B）=0。（D）P（AB）=P（A）P（B） 。例 150：某种动物由出生而活到 20 岁的概率为 0.7，活到 25 岁的概率为0.56，求现龄为 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率。例 151：某人忘记三位号码锁（每位均有 09 十个数码）的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第 4 次试开时才将锁打开的概率是AB

24、CD 416152101例 152：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是 0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是 0.4，求在这几个回合中：甲机被击落的概率；乙机被击落的概率。例 153：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统 A 与 B，每种系统单独使用时，其有效率 A 为 0.92，B 为 0.93，在 A 失灵条件下 B 有效概率为 0.85。求：（1）这两种警报系统至少有一个有效的概率；（2）在 B 失灵条精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业件下，A 有效的概率。4 4、全概和贝叶斯公式、全概

25、和贝叶斯公式例 154：甲文具盒内有 2 支蓝色笔和 3 支黑色笔，乙文具盒内也有 2 支蓝色笔和 3 支黑色笔现从甲文具盒中任取 2 支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取 2 支笔求最后取出的 2 支笔都是黑色笔的概率。例 155：三个箱子中，第一箱装有 4 个黑球 1 个白球，每二箱装有 3 个黑球 3 个白球，第三箱装有 3 个黑球 5 个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？例 156：袋中有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从剩下的 6 个球中任取一个，则它恰为白球的概率是。5 5

26、、独立性和伯努利概型、独立性和伯努利概型例 157：设 P(A)0,P(B)0，证明（1）若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥；（2）若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 不独立。例 158：设两个随机事件 A，B 相互独立，已知仅有 A 发生的概率为，41仅有 B 发生的概率为，则 P（A）=，P（B）=。41例 159：若两事件 A 和 B 相互独立，且满足 P(AB)=P(), P(A)=0.4，A B求 P(B).例 160：设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C），且已知，则P（A）=。21169)(CBAP例 161：A 发生的概

27、率是 0.6，B 发生的概率是 0.5，问 A,B 同时发生的概率的范围？例 162：设某类型的高炮每次击中飞机的概率为 0.2，问至少需要多少门这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到 95%以上。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例 163：由射手对飞机进行 4 次独立射击，每次射击命中的概率为 0.3，一次命中时飞机被击落的概率为 0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。例 164：将一骰子掷 m+n 次，已知至少有一次出 6 点，求首次出 6 点在第 n 次抛掷时出现的概率。例 165：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（

28、取名“甲罐” ）内的红球数与黑球数之比为 2：1，另一罐（取名“乙罐” ）内的黑球数与红球数之比为 2：1 。今任取一罐并从中取出 50 只球，查得其中有30 只红球和 20 只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A) 154 倍 (B)254 倍 (C)798 倍 (D)1024 倍精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第一节第一节 基本概念基本概念在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此 P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字） 。但是

29、观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1” ；而出现反面时，规定其对应数为“0” 。于是)(XX，当反面出现，当正面出现01称X为随机变量。又由于X是随着试验结果（基本事件）不同而变化的，所以X实际上是基本事件的函数，即 X=X()。同时事件 A 包含了一定量的（例如古典概型中 A 包含了 1，2，m，共 m 个基本事件） ，于是 P(A)可以由 P(X()来计算，这是一个普通函数。定义 设试验的样本空间为，如果对中每个事件都有唯一的实数值X=X()与之对应，则称 X=X()为随机变量，简记为X。有了随机变

30、量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业了。一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数） ，则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。1 1、随机变量的分布函数、随机变量的分布函数（1 1）离散型随机变量的分布率）离散型随机变量的分布率设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,

31、2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，, 2 , 1k，（2）11kkp。例 21：投骰子，出现偶数的概率？例 22：4 黑球，2 白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X()为“取白球的数” ，求 X 的分布律。例 23：若干个容器，每个标号 13，取出某号容器的概率与该号码成反比，令 X()表示取出的号码，求 X 的分布律。（2 2）分布函数）分布函数对于非离散型随机变量，通常有，不

32、可能用分布率表达。例0)( xXP如日光灯管的寿命，。所以我们考虑用落在某个区间X0)(0 xXPX内的概率表示。,(ba精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业定义定义 设为随机变量，是任意实数，则函数Xx)()(xXPxF称为随机变量 X 的分布函数。 可以得到 X 落入区间的概率。也就是说，)()()(aFbFbXaP,(ba分布函数完整地描述了随机变量 X 随机取值的统计规律性。分布函数是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（ ，x)(xF内的概率。的图形是阶梯图形，是第一类间断点，随机变量在处的)(xF,21xxXkx概率就是在处的跃度。)(xFkx分布函数具有如下性质：1 ；,

33、 1)(0 xFx2 是单调不减的函数，即时，有 ；)(xF21xx )(1xF)(2xF3 ， ；0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx4 ，即是右连续的；)()0(xFxF)(xF5 。)0()()(xFxFxXP例 24：设离散随机变量的分布列为X，214181812 , 1 , 0 , 1，PX求的分布函数，并求，。X)21(XP)231 ( XP)231 ( XP例 25：设随机变量 X 的分布函数为0001)(xxxAxxF其中 A 是一个常数，求精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（1） 常数 A（2）P（1X2）（3 3）连续型随机变量的密度函数）连续型随机变量

34、的密度函数定义 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有xdxxfxF)()(， 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。)(xf的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数。所以，)()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2 1)(dxxf。1)()(dxxfF的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于 1。如果一个函数)(xf满足 1、2，则它一定是某个随机变量的密度函数。3

35、 。)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf4 若)(xf在x处连续，则有)()(xfxF。dxxfdxxXxP)()(它在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业)(),(,独立性古典概型，五大公式，APAE )()()()(xXPxFxXX对于连续型随机变量X，虽然有0)( xXP，但事件)(xX 并非是不可能事件 。hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令0h，则右端为零，而概率0)( xXP，故得0)( xXP。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理

36、，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。例 26：随机变量 X 的概率密度为 f(x)，求 A 和其他, 010 ,)(xxAxfF(x)。例 27：随机变量 X 的概率密度为 0 0 0 21)(232xxexxfx求 X 的分布函数和)(xF)42(XP2 2、常见分布、常见分布001 1 分布分布P(X=1)=p, P(X=0)=q例如树叶落在地面的试验，结果只能出现正面或反面。二项分布二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随nApA机变量，设为，则可能取值为。XXn, 2 , 1 , 0， 其中，knkknnqpkPkXPC)()(n

37、kppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。Xnp),(pnBXnknkknnnnnpqpqpnpqqkXPXCC,|)(2221容易验证，满足离散型分布率的条件。当时，这就是（0-1）分布，所以（0-1nkkqpkXP1)(1 . 0k1）分布是二项分布的特例。例 28：某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.001，若独立地射击5000 次，试求射中的次数不少于两次的概率。泊松分布泊松分布设随机变量的分布律为X，ekkXPk!)(02 , 1 , 0k则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者 P()。X)

38、(X泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。例 29：某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.001，若独立地射击5000 次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。超几何分布超几何分布),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例 210：袋中装有 个白球及 个黑球，从袋中任取 a+b 个球，试求其中含

39、a 个白球，b 个黑球的概率（a，b） 。（非重复排列）babaCCC例 211：袋中装有 个白球及 个黑球，从袋中连续地取 a+b 个球（不放回） ，试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b） 。（非重复排列）babababaPPCC例 212：袋中装有 个白球及 个黑球，从袋中连续地取 a+b 个球（放回） ，试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b） 。（重复排列）ababaC)()(几何分布几何分布，其中 p0，q=1-p。, 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布。例 213：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，

40、问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。均匀分布均匀分布设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数k，即 其他，, 0,)(kxf其中 k=，ab 1axb精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为 xdxxfxF)()( 当 ax1x2b 时，X 落在区间（21,xx）内的概率为P(21211)()21xxxxabdxxfxXxabxxdx12。例 214：设电阻 R 是一个均匀在 9001100 的随机变量，求 R 落在10001200 之间的概率。指数分布指数分布设随机变量 X 的

41、密度函数为 其中0，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为 0， xb。)(xf,xe 0 x,0, 0 x,)(xF,1xe 0 x, 0 xc)=2P(Xc)。例 217：某人需乘车到机场搭乘飞机，现有两条路线可供选择。第一条路线较短，但交通比较拥挤，到达机场所需时间 X（单位为分）服从正态分布精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业N（50，100） 。第二条路线较长，但出现意外的阻塞较少，所需时间 X 服从正态分布 N（60，16） 。 （1）若有 70 分钟可用，问应走哪一条路线？（2）若有 65分钟可用，又应选择哪一条路线？3 3、随机变量函数的分布、随机变量函

42、数的分布随机变量是随机变量的函数，若的分布函数或密度YX)(XgY X)(xFX函数知道，则如何求出的分布函数或密度函数。)(xfX)(XgY )(yFY)(yfY（1 1）是离散型随机变量是离散型随机变量X已知的分布列为X ，,)(2121nnipppxxxxXPX显然，的取值只可能是，若互不相等，)(XgY ),(,),(),(21nxgxgxg)(ixg则的分布列如下：Y，,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。)(ixgiP)(ixg例 218：已知随机变量的分布列为X，31,31,312, 1, 0PX求的分布列。2

43、XY （2 2）是连续型随机变量是连续型随机变量X精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。例 219：已知随机变量，求的密度其他, 010),13(52)(xxxfXXYln函数。)(yfY第二节第二节 练习题练习题1 1、常见分布、常见分布例 220：一个袋中有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码，试求 X 的概率分布。例 221：设非负随机变量的密度函数为 f(x)=A ，x0,则 A= 272xex。例 22

44、2： 是概率密度函数的充分条件是：)()(21xfxf（1）均为概率密度函数)(),(21xfxf（2）1)()(021xfxf例 223：一个不懂英语的人参加 GMAT 机考，假设考试有 5 个选择题，每题有 5 个选项（单选） ，试求：此人答对 3 题或者 3 题以上（至少获得 600 分）的概率？例 224：设随机变量 XU（0，5） ，求方程有实根02442XXxx的概率。例 225：设随机变量 X 的概率密度为其他, 06 , 3,92 1 , 0,31)(xxxf精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业其使得，则 k 的取值范围是。32)( kXP例 226：已知某种电子元件的寿

45、命（单位：小时）服从指数分布，若它工作了 900 小时而未损坏的概率是 ，则该种电子元件的平均寿命是9 . 0eA 990 小时 B 1000 小时 C 1010 小时 D 1020 小时例 227：设随机变量X 的概率密度为：则其分)( ,21)(|xexx布函数F(x)是（A）. 0, 1, 0,21)(xxexFx（B）. 0211, 0,21)(xexexFxx（C）. 0, 1, 0,211)(xxexFx（D）. 1, 1, 10,211, 0.,21)(xxexexFxx例 228：XN(1,4)，YN(2,9)，问 P(X-1)和 P(Y5)谁大？例 229：XN(,2)，0，

46、0，且 P()=，则 ？x212 2、函数分布、函数分布例 230：设随机变量 X 具有连续的分布函数 F(x)，求 Y=F（X）的分布函数 F（y） 。（或证明题：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业设 X 的分布函数 F(x)是连续函数，证明随机变量 Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。 ）例 231：设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则 Y=-2lnF(X)的概率分布密度函数 fY(y)=.例 232：设 XU，并且 y=tanx，求 Y 的分布密度函数 f(y)。2,2例 233：设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量Y=minX, 2的分布函数（A）是连续函数（

47、B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第一节第一节 基本概念基本概念1 1、二维随机变量的基本概念、二维随机变量的基本概念（1 1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y）设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件=的), 2 , 1,)(,(jiyxji),(jiyx概率为pij,称精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业), 2 , 1,(),()

48、,(jipyxYXPijji为=（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： YXy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,） ；（2）. 1ijijp对于随机向量（X，Y） ，称其分量 X（或 Y）的分布为（X，Y）的关于X（或 Y）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了 X 为离散型，并且其联合分布律为，), 2 , 1,(),(),(jipyxYXPijji则 X 的边缘分布为 ；), 2 , 1,()(jipxXPPi

49、jjiiY 的边缘分布为 。), 2 , 1,()(jipyYPPijiii例 31：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1） ， （2，-1） ， （2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 Y-1012p1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业X161000612616106121300616131pj316161311（2 2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量，如果存在非负函数),(YX，使对任意一个其邻边分别平

50、行于坐标轴的矩),)(,(yxyxf形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyd有DdxdyyxfDYXP,),(),(则称为连续型随机向量；并称 f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为 X和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)0;（2） . 1),(dxdyyxf一般来说，当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为 f(x,y)，则 X 和 Y 的边缘分布密度为.),()(),()(dxyxfyfdyyxfxfYX，注意：联合概率分布边缘分布例 32：设（X，Y）的联合分布密度为其他, 0, 0, 0,),()43(yxCeyxfy

51、x试求：（1）常数 C；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2）P0X1, 0Yx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF（4）. 1),(, 0),(),(),(FxFyFF2 2、随机变量的独立性、随机变量的独立性（1 1）一般型随机变量）一般型随机变量F(X,Y)=FX(x)FY(y)（2 2）离散型随机变量）离散型随机变量jiijppp例 35：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1） ， （2，

52、-1） ， （2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 YX-1012p1161000612616106121300616131精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业pj316161311（3 3）连续型随机变量）连续型随机变量f(x,y)=fX(x)fY(y)联合分布边缘分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形例 36：如图 3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不独立。例 37：f(x,y)=其他, 010 , 2

53、0 ,2yxAxy（4 4）二维正态分布）二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf=0（5 5）随机变量函数的独立性）随机变量函数的独立性若 X 与 Y 独立，h,g 为连续函数，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。3 3、简单函数的分布、简单函数的分布两个随机变量的和两个随机变量的和 Z=X+YZ=X+Y离散型：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例 38：设（X，Y）的联合分布为X Y0120121611211316161求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z

54、3=XY 的分布列。连续型fZ(z)dxxzxf ),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（） 。222121,例 39：设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，且 XU（0，1） ，Ye（1） ，求 Z=X+Y 的分布密度函数 fz(z)。混合型例 310：设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为,7 . 03 . 021X而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。第二节第二节 练习题练习题1 1、二维随机变量联合分布函数、二维随机变量联合分布函数精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例 311：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量

55、（X，Y）的分布函数？（A）., 0,0 ,0),1)(1 (),(1其他yxeeyxFyx（B）.3arctan22arctan21),(22yxyxF（C）. 12, 0, 12, 1),(3yxyxyxF（D）., 0,0 ,0,2221),(4其他yxyxFyxyx例 312：设某班车起点站上车人数 X 服从参数为的泊松分布，每)0(位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的，用 Y 表示在中途下车的人数，求：（1） 在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（2） 二维随机向量（X，Y）的概率分布。例 313：一射手进行射击，击中目标的

56、概率为 p（0p2|Y0)xeE(X)=， D(X)=121正态分布 XN(,2)，222)(21)(xexfE(X)= ， D(X)= 2例 410：罐中有 5 颗围棋子，其中 2 颗为白子，另 3 颗为黑子，如果有放回地每次取 1 子，共取 3 次，求 3 次中取到的白子次数 X 的数学期望与方差。例 411：在上例中，若将抽样方式改为不放回抽样，则结果又是如何？例 412：设随机变量 X 服从参数为 0 的泊松分布，且已知 E（X-1）（X-2）=1，求 。例 413：设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，求 E（X-3e-2x） 。例 414：设（X，Y）服从区域 D=（x,y）

57、|0 x1, 0y1上的均匀分布，求 E（X+Y） ，E（X-Y） ，E（XY） ，D（X+Y） ，D（2X-3Y） 。2 2、二维随机变量的数字特征、二维随机变量的数字特征（1 1）协方差和相关系数）协方差和相关系数对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩为 X 与 Y 的协方差或相11关矩，记为，即),cov(YXXY或精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业).()(11YEYXEXEXY与记号相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为与XYXX。YY协方差有下面几个性质：(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii)cov(aX,bY)=ab c

58、ov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y).对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，则称)()(YDXDXY为 X 与 Y 的相关系数，记作（有时可简记为） 。XY|1，当|=1 时，称 X 与 Y 安全相关：完全相关时，负相关，当时，正相关，当11而当时，称 X 与 Y 不相关。0与相关系数有关的几个重要结论（i）若随机变量 X 与 Y 相互独立，则；反之不真。0XY（ii） 若（X，Y）N（） ，则 X 与 Y 相互独立的充要条件,222121是，即 X 和 Y

59、 不相关。0（iii）以下五个命题是等价的：；0XYcov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业D(X-Y)=D(X)+D(Y).例 415：设 D（X）=25，D（Y）=36，。求 D（X+Y）及 D（X-Y） 。4 . 0XY（2 2）二维随机变量函数的期望）二维随机变量函数的期望 为连续型。，为离散型；，),(),(),(),(),(),(YXdxdyyxfyxGYXpyxGYXGEijijji（3 3）原点矩和中心矩）原点矩和中心矩对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶

60、原点矩，记为 vk,即uk=E(Xk), k=1,2, .于是，我们有. ,)(续型时为连当为离散型时，当XdxxpxXpxukiikik对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k阶中心矩，记为，即k., 2 , 1,)(kXEXEkk于是，我们有. ,)()()(续型时为连当为离散型时，当XdxxpXExXpXExukiikik对于随机变量 X 与 Y，如果有存在，则称之为 X 与 Y 的k+l阶)(lkYXE精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业混合原点矩，记为，即klu).()(YEYXEXEukkl第二节第二节 练习题练习题1、一维随机变量及