《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法

1、第31卷 第2期气象教育与科技2021年 总第83期?流体力学?连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下?流体力学?中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学?流体力学?教学中,连续方程是最根本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐

2、标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。目前,很多参考书123对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理根底较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质(流体)中的应用。一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其

3、随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,那么密度增大。其算子形式的通用表达式1 (1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之那么增大。其算子形式的通用表达式1 (2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法那么通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。在直角坐标系中,通过建立三维空间微元控制体(图略,很多教科书都详细给出,且易

4、于理解),很容易得到(2)式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式 (3)2 柱坐标系欧拉连续方程基于柱坐标系把“质量通量整体作为一物理量的考虑,物理意义明确,数学理解简单的欧拉连续方程的推导见图1。如图1所示,柱坐标系体积元控制体ABCDEFGH,径向方向r,圆周切向方向,垂直方向z,径向速度Vr,圆周切向速度V,垂直速度w,那么径向线微元AB表达为dr,切向线微元AD表达为rd,垂直微元GC为dz,体积微元dV=rddrdz。由径向速度Vr垂直穿越面元ADHE和BCGF(面积rddz)所引起的质量通量均可表达为Vr* rddz,但r坐标值在两个面元处有差异。这使得质量通量沿

5、径向r方向不尽相同就表达了质量通量在穿越面元ADHE和BCGF时沿径向r方向的梯度,乘以dr后得它表示了径向速度Vr垂直穿越面元ADHE和BCGF后导致体积元ABCDEF2GH内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即径向速度Vr引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。同理,由切向速度V垂直穿越面元DCGH和ABFE(面积rddr)所引起的质量通量均可表达为Vdrdz,但坐标值在两面元处不同,质量通量沿切向方向的梯度描述为(Vdrdz)/,而(Vdrdz)/d那么描述了切向速度V垂直穿越面元DCGH和ABFE后导致体积元ABCDEF2GH内质量通量的变化量,即切向速度V引起的体积

6、元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。同理,垂直速度w垂直穿越面元EFGH和ABCD(面积rddr)所引起的质量通量均可表达为wrddr,但z坐标值在两面元处不同,质量通量沿z方向的梯度描述为(wrddr)/z,而(wrddr)/zdz那么描述了垂直速度w垂直穿越面元EFGH和ABCD后导致体积元ABCDEFGH内质量通量的变化量,即垂直速度w引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。该柱坐标中,流体所有运动可以分解为在3个正交的方向r、和z上运动,所以流体单位时间净流出控制体ABCDEFGH的质量就表达为 ,式中r、和z相互独立,密度那么是空间的函数,体积微元dV=rddrdz

7、,故有(4)对于该控制体单位时间的质量变化,又可以描述为/dV,由于在质量通量的表达中,把流出控制体的方向作为正方向,和实际控制体内质量变化的符号相反,但两者的量值相等,因此即 (5)表达式(5)即柱坐标系下欧拉形式的连续方程。3 球坐标系欧拉连续方程球坐标系中取一体积元控制体ABCDEFGH如图2所示4 。坐标系中经度,纬度,球径向r;沿纬圈方向线微元AB为rcosd,速度为u;沿经圈方向线微元DA为rd,速度为v;球径向线微元为dr,速度为w。体积元ABCDEFGH为d=r2*cosdddr。沿纬圈方向穿越面元AEHD和BFGC的质量通量均可表达为urddr,这两个面元上质量通量

8、沿方向的梯度表示为 (urddr)/,乘以d后(urddr)/d就描述了纬圈速度u穿越面元AEHD和BFGC后导致体积元ABCDEFGH内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。由于、和r相互独立,且体积元ABCDEFGH为d=r2*cosdddr,故沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为(6)同理,沿经圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为(7)沿径向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为(8)根据质量守恒,整个体积元单位时间内净流失的质量是沿3个方向流失质量之和,应等于该体积元单位时间的质量减小量/d，故即(9)表达式(9)即球坐标系中欧拉连续方程的表达式。4 小结通过欧拉控制体方法,把“质量通量整体作为一个物理量,在各独立方向上偏微分推导后,可以便捷地得到柱坐标和球坐标下欧拉形式的连续方程,该方法过程简单,物理意义明确,有利于对连续方程的理解。© 1994-2021 Chi