人教版九年级数学下册全册教案

1、1 .第二十六章二次函数 本章知识重点 1. 探索具体问题中的数量关系和变化规律. 2. 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念. 3. 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质. 4. 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴. 5. 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解. 6. 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题. 26. 1 二次函数 本课知识重点 通过具体问题弓I入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义. MM及创新思维 （1） 正方

2、形边长为a （cm）,它的面积s （cm2）是多少？ （2） 矩形的长是4匣米， 宽是3厘米， 如果将其长与宽都增加x厘米， 则面积增加y平 方厘米，试写出y与x的关系式. 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习 一次函数概念的经验，给它下个定义. 实践与探索 例1. m取哪些值时，函数y =（亦一加）”+处+（加+ 1）是以X为白变量的二次函数？ 分析 若函数y = （/加）”+皿+（ + i）是二次函数，须满足的条件是： m2 m Q 解 若函数y =（加一加）戏+机r +（加+ 1）是二次函数，则 nr 一 7工0 解得 加工 0,且 H?H1 因此，

3、当加 HO,且m 1时，函数y =（一加+机丫 + （加+1）是二次函数. 回顾与反思 形如y =+ bx + c的函数只有在 Q工o的条件下才是二次函数. 探索 若函数y = （/H2 - m）x2 + rnx + （m +1）是以x为自变量的一次函数，则m取哪些 值？ 例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数. (1) 写出正方体的表面积S (cm2)与正方体棱长a (cm)之间的函数关系； 2 (2) 写出圆的面积y (cm?)与它的周长x (cm)之间的函数关系； (3) 某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金，若不计利息，求本息和y (元)与 所存年数x之间的函

4、数关系： (4) 菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S (cm2)与一对角线长x (cm)之间 的函数关系. 解 (1)由题意, 得 S = 6aa0)f其中S是。的二次函数： (2) 由题意，得 y = 2 (x0),其中y是x的二次函数： 4兀 (3) 由题意，得 y = 10000+1.98% 10000 (xMO 且是正整数), 其中y是x 的一次函数； (4)由题意，得 S = -x(26-x) = -x2 + 13x(0 x 26),其中 S 是 x 的二次函数. 例3正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x (cm)的小正方形，用余 下的部分做成一个无盖的

5、盒子. (1) 求盒子的表面积S (cm2)与小正方形边长x (cm)之间的函数关系式： (2) 当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积. 解 (1) S = 152 -4x2 = 225-4X2(0 x 0时，y随x的增大而增大. (1) 求k的值； (2) 求顶点坐标和对称轴. (k 2 I L A _ 2 解 (1)由题意，得彳 k + 20 (2) 二次函数为y = 4xh则顶点坐标为(0. 0),对称轴为丫轴 例3已知正方形周长为Ccm.面积为S cm2 2 3 4 5. (1) 求S和C之间的函数关系式，并画出图象； (2) 根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； (3)

6、 根据图象，求出C取何值时，S4 cm6 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意白变量的取值范围：画图象时, 自变最C的取值应在取值范围内 解 (1)由题意，得S = CC0) 16 2 在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分. 当堂课内练习 1. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和 顶点坐标. (1) y = 3x2 (2) y = -3x2 (3) y = -x2 2. (1)函数V = F的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 : 3 - - - (2) _ 函数y = 土疋的开口 _ ,对称轴是 _ ,顶点坐标是 _ . 3. 已知等边

7、三角形的边长为2x,请将此三角形的而枳S表示成x的函数，并画出图象的 草图. 解得k=2 7 本课课外作业 A组 1. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象. （1） y = -4x2 （2） y = -x2 4 2. 填空: （1） _ 抛物线y = -5x2,当皆 _ 时，y有最 值，是 （2） _ 当吋 时，抛物线y = （?一开口向下. （3） _ 己知函数=伙2+k）xk22k是二次函数，它的图象开口 _,当x _ 时，y 随x的增大而增大. 3己知抛物线y = 中，当x0时，y随x的增大而增大. （1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）. 4. 已知抛物线y = 经过点（1

8、, 3）,求当y=9时，x的值. B组 5. 底面是边长为x的正方形，高为05cm的长方体的体积为ycm （1）求y与x之间 的函数关系式：（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出尸时底面边长x的值: （4） 根据图象，求出x取何值时，y$4. 5 cm3 6. 二次函数y = 与直线y = 2x-3交于点P （1, b） （1） 求a、b的值； （2） 写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小. 7. 一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M （-2, 2） （1） 求出这个函数的关系式并画出函数图象； C 2 4 6 8 s= 1 C 16 1

9、 4 1 9 4 4 列表: 描点、连线，图象如图26. 2. 2. (2) 根据图象得S=1 cnr时，正方形的周长是4cm. (3) 根据图象得，当CM8cm时，S4 cm2 回顾与反思 (1)此图象原点处为空心点. 8 （2） 写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出Z1M0N的面积. 本课学习体会 26. 2二次函数的图象与性质（2） 本课知识重点 会画出y = ar2 4- k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质. MM及创新思维 同学们还记得一次函数y = 2x与y = 2x +1的图象的关系吗？ _ 9 _ ,你能由此推测二次函数y = x2与），= *+1的图

10、象之间的关系吗？ _ _ ,那么y = /与/ 一 2的图象之间又有何关系? 实践与探索 例1在同一直角坐标系中，画出函数y = 与=2+ 2的图象. 解列表. X -3 2 1 0 1 2 3 y = 2x2 18 8 2 0 2 8 18 尸2宀2 20 10 4 2 4 10 20 回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图 象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？ 乂有哪些 不同？你能由此说出函数y = 2x2与y = 2x2- 2的图象之间的关系吗? 例2.在同一直角坐标系中

11、，画出函数，=一/+1与y = -x2 -1的图象，并说明，通过 怎样的平移，可以由抛物线y = +1得到抛物线y = -x2-l. 描点、连线, 解列表. 0 12 3 10 线y = -x2 -1是由抛物线可以看出， 抛物y = -x2 +1向下平移两个单位得到的. 回顾与反思 抛物线J = -%2 +1和抛物线=一/一 1分别是由抛物线y = -x2向上、向 下平移一个单位得到的. 探索 如果要得到抛物线，=-+4,应将抛物线y = -1作怎样的平移？ 例3. 条抛物线的开口方向、对称轴与y = 2相同，顶点纵坐标是2,且抛物线经过 点（1, 1）,求这条抛物线的函数关系式. 解 由题意

12、可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,2）, 因此所求函数关系式可看作y = ax2- 2（a 0）, 乂抛物线经过点（1, 1）, 所以，l = 2, 解得a = 3 故所求函数关系式为y = 3/ 一 2 . 回顾与反思 y = 、k是常数，aHO）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 归纳如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =衣 + k a 0_ 0 _ a 0 _ a v 0 例2.把抛物线y = x2-bx + c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 y = x2,求b、c的值. 分析 抛物线y = x2的顶点为（0, 0）,只要求出抛物线y = x2+

13、bx + c的顶点，根据顶 点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值. b? b? b b 2 解 y = X2 + bx+C = x2 + bx+ - + C =（X+）2 +c - 4 4 2 4 L L2 向上平移2个单位，得到y+h+一才+ 2, A b? 再向左平移4个单位，得到y = （x+_ + 4）24-c-+2, 其顶点坐标是 （一纟一 4,c 斗+ 2）,而抛物线y的顶点为（。，。），则 上4 = 0 c- +2 = 0 c = 14 探索 把抛物线y = x2+bx + c向上半移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 V = X2,也就意味着把抛物线V

14、 = .V2向下平移2个单位， 再向右平移4个单位， 得到抛 物线y = x2+bx + c那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试. 当堂课内练习 解得 17 1 将抛物线y = 2(x-4)2 -1如何平移可得到抛物线y = 2x2 ( ) A. 向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2. 把抛物线y = -x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数 关系式为 _ 3. 抛物线y = 1 + 2x-x2可由抛物线y =丄向 _ 平移 _

15、 个单位，再向 _ 平 2 移 _ 个单位而得到. 本课课外作业 A组 1. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象. y = -3x2, y = -3(x+2)2, y = -3(x+2)2-1,并指出它们的开口方向、对称轴和顶 点坐标. 2. 将抛物线y = -x2+2x + 5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的 抛物线的函数关系式. 1 3 1 3. 将抛物线，=一一，十x + 如何平移，可得到抛物线y = -一%2 + 2x +3? 2 2 2 B组 4. 把抛物线y = x2-bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线 y = x2 -3x+5,则有 A

16、. b =3, c=7 B. b=-9, c= -15 C. b=3, c=3 D b= -9 c=21 5. 抛物线y = -3x2 +bx + c是由抛物线y = -3x2 -bx+1向上平移3个单位，再向左平 移2个单位得到的，求b、c的值. 6. 将抛物线y =必2(。工0)向左平移网个单位，再向上平移刈个单位，其中h0, k0时，y随x的增大而增大. (1) 求k的值；(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴. B组 4. 当avO时，求抛物线y = x2+2ax+l-2a2的顶点所在的象限. 5. 已知抛物线y = x2-4x + h的顶点A在直线y = -4x1上，求抛物线的顶点坐标.

17、 本课学习体会 26. 2二次函数的图象与性质(6) 本课知识重点 1. 会通过配方求出二次函数=ax2 4- bx4- c(a H 0)的最大或最小值： 2. 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际 问题中的最大或最小值. MM及创新思维 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件.该 店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调査，发现这种商品单价每 降低1元，其销售最可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每

18、件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二 次函数y = -10 x2+100.r+2000那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取 得最大值？你能解决吗？ 实践与探索 例1求下列函数的最大值或最小值. (1) y = 2x2 -3x-5 ； (2) y = -x2 -3x + 4. 分析 由于函数y = 2/一3%-5和=一，一3兀+ 4的自变量x的取值范围是全体实数, 所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值. 解 (1)二次函数y = 2”-3x-5中的二次项系数20, 因此抛物线y = 2x2-3x-5有最低点，即函数有最小值. 3

19、 49 因为 y = 2x2-3x-5 = 2(x)2 - , 4 8 3 , 49 21 所以当x=-时，函数y = 2x2-3x-5有最小值是一竺. 4 8 （2）二次函数），=一十一3/ + 4中的二次项系数-K0, 因此抛物线y = -x2-3x+4有最高点，即函数有最大值. 因为 y = -x2 -3x + 4=_（x + 尸 + , 2 4 1 Os 所以当x=-时，函数y = -x2-3x+4有最大值是仝. 2 4 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a0有最小值，a0有最大 值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 探索 试一试，当25Wx

20、W35时，求二次函数y =，一 23的最大值或最小值. 例2某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的FI销售最y （件）之间关系如下表: X （元） 130 150 165 y （件） 70 50 35 若口销售量y是销售价x的一次函数，耍获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少 元？此时每日销售利润是多少？ 分析日销售利润=口销售量X每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个最. 解由表可知x十y=200, 因此 所求的一次函数的关系式为y = x+200 设每F1销售利润为s元，则有 5 =） 120） = -（x-160）2 +1600 因为一x+200、0

21、,x 120X0,所以 120 x200 所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元. 回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所 得的函数，得出结果. 例 3如图 26. 2. 8,在 RtzlABC 中，,090 , BC=4, AC=8,点 D 在斜边 AB 上， 分别作DE丄AC, DF丄BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x, DF=y22 （1） 用含y的代数式表示AE； （2） 求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； （3） 设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系，并求出 S的

22、最大值. 解 （1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此 AE = AC DF = 8 y 由DE.BC,得註=务，即沖竽, 所以，y = 8 2x, x的取值范圉是0 vxv 4. （3） S = = x（8-2x） = -2x6 7 8 +8x = -2（x-2）2 +8, 所以，当x=2时，S有最大值& 当堂课内练习 1. _ 对于二次函数y = x2-2x+m,当*= 时，v有最小值. 2. 已 知 二次函数y = d（x lF+b有最小值-1,则a与b之间的大小关系是 （） A. ab D不能确定 3. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售

23、，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调査发现，如果每件衬衫 每降价1元，商场平均每天可多售出2件. （1） 若商场半均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2） 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 本课课外作业 A组 6 y = -x2 一 2x ； 7 已知二次函数y = F-6x+加的最小值为1,求m的值， 8 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满 足函数关系：y = 0.1/+ 2.6x+ 43（0 5 x30）y值越大，表示接受能力越强. （1） x在什么范闱内， 学生的接受能力逐步增强？ K在什

24、么范闱内， 学生的接受能力逐步 降低？ （2） 第10分时，学生的接受能力是多少？ （3） 第儿分时，学生的接受能力最强？ A 图26. 2. 8 23 1. 求下列函数的最大值或最小值. (2) v = 2x2 -2x+1. 24 B组 4. 不论自变量x取什么数，二次函数y = 2/6x+加的函数值总是正值，求m的取值 范闱. 5如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）,围成中间隔 有一道篠笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为S m2. （1） 求S与x的函数关系式； L （2） 如果要围成面积为45 1应的花圃，AB的长是多少米？ （3） 能围成而积比4

25、5 更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由. 6. 如图，矩形ABCD中，AB=3, BC=4,线段EF在对角线AC 上，EG丄AD, FH丄BC,垂足分别是G、H,且EG十FH=EF. （1） 求线段EF的匕 （2） 设EG=x, JAGE与Z1CFH的面积和为S, 写岀S关于x的函数关系式及白变量x的取值范围， 并求出S的最小值. 本课学习体会 26.2 二次函数的图象与性质（7） 本课知识重点 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式. MM及创新思维 一般地，函数关系式中有儿个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求 出函数关系式

26、例如：我们在确定一次函数y = kx-hh（k0）的关系式时，通常需要两个 独立的条件：确定反比例函数y = 士伙工0）的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确 X 定二次函数y =处2 +bx+c（d工0）的关系式，乂需要儿个条件 呢？ 实践与探索 例1某涵洞是抛物线形，它的截面如图26. 2. 9所示，现测得水 面宽16m,涵洞顶点O到水面的距离为2. 4m,在图中直角坐标 系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以AB的垂直半分线为y轴，以过点O的y轴的垂线 为x轴，建立了直角坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原 点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是

27、y = axa0）此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式. 25 解由题意，得点B的坐标为（08,24）, 乂因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，=axa Q (11, -8),如果抛物线的对称轴是x=-l, 求该二次函数的关系式. 3某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面 宽AB=4m,顶部C离地面高度为4. 4m.现有一辆满载货物的 汽车欲通过大门，货物顶部距地面28m,装货宽度为24m.请 判断这辆汽车能否顺利通过大门. 4. 已知二次函数y = ax1+bx+c ,当x=3时，函数取得最大值10,且它的图象在x轴 上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式. B组

28、 5. 已知二次函数y = /+械+ 0的图象经过(1, 0)与(2, 5)两点. (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y = H + bx+ c解析式的题 目，使所求得的二次函数与(1)的相同. 6. 抛物线y = / + 2加+ 过点 4),且其顶点在直线y = 2x+l上，求此二次函 数的关系式. 本课学习体会 26.3实践与探索(1) 本课知识重点 会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义. MM及创新思维 生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的 赛场上，很多项目

29、，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你 知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？ 实践与探索 例1如图26. 3. 1, 一位运动员推铅球，铅 球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的 1 9 5 关系是y = 一F+兀+ ，问此运动员把 12 3 328 铅球推出多远？ 解如图，铅球落在x轴上，则y=0, 1 7 s 因此，一一x2+-x+- = 0 12 3 3 解方程，得 X1=10,X2=-2 （不合题意，舍去） 所以，此运动员把铅球推出了 10米. 探索 此题根据己知条件求出了运动员把铅球推岀的实际距离，如果创设另外一个问题情 境：一个运动员推铅球，

30、铅球刚出手时离地面-in，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地 面上的点10m,铅球运行中最高点离地面3m,已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函 数关系式.你能解决吗？试一试. 例2如图26. 3. 2,公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水而处安装个柱了 OA,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计 成水流在离OA距离为Im处达到距水面最大高度2. 25m （1） 若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能 使喷出的水流不致落到池外？ （2） 若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为 3. 5m,要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？

31、 （精确到0. lm） 分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用 题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图263. 3, 我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可 解决问题. 解 （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系设抛物线顶点 为B,水流落水与x轴交点为C （如图263. 3） 由题意得，A （0, 1. 25） , B （1, 2. 25）, 因此，设抛物线为y = 1尸+2.25 . 将 A （0, 1. 25）代入上式，得 1.25 =讥0-1）2+2.25 , 解得 a = 1 所以，抛物线的函数关系式为=一（兀一1）2+2.25 . 当y=0时，解得

32、x=-05 （不合题意，舍去），x=25, 所以C （2. 5, 0）,即水池的半径至少要25m （2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y = -（x-h）2+k 29 由抛物线过点（0, 1. 25）和（35, 0）,可求得h=-l6, k=3. 7 所以，水流最大高度应达37m. 当堂课内练习 1. 在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1. 9 米，当球飞行距离为9米时达最大高度55米， 己知球场长18米， 问这样发球是否会直 接把球打出边线？ 2. 在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2. 5米，与球圈中心的水平距 离为7米，

33、 当球岀手水平距离为4米时到达最大高度4米设篮球运行轨迹为抛物线， 球 圈距地面3米，问此球是否投中？ 本课课外作业 A组 1. 在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距 离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高244米，问能否射中球门？ 2 某公司推出了 种高效环保型洗涤用品，年初上市后， 公司经历了从亏损到赢利的过程. 下而的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累 积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前 t个月的利润总和s与t之间的关系） 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1） 由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万

34、元） 与时间t （月）之间的函数关系式； （2） 求截止到儿月末公司累积利润可达到30万元： （3） 求第8个月公司所获利润是多少万元？ 3. 如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路 线是抛物线，当球运行的水平距离为2. 5m时，达到最大高 度35nh然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地而的距离为 3. 05m （1） 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式： （2） 该运动员身高18m,在这次跳投中，球在头顶上方 0. 25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ B组 4. 某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间 距04m加设

35、不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设 计人员利用图b所示的坐标系进行计算. （1） 求该抛物线的函数关系式： （2） 计算所需不锈钢管立柱的总长度.尔s万芜） y L2.5 f 27 31 5. 某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如 图所示的一条抛物线在跳某个规定动作时，正常情况 亠亠 亠 2 下，该运动员在空中的最高处距水面10m,入水处距 池边的距离为4m,同时运动员在距水面高度5m以前， 必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则 就会出现失误. （1） 求这条抛物线的函数关系式； （2） 在某次试跳中，测得运动

36、员在空中的运动路线是（1） 中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池 3 边的水半距离为3-IIB问此次跳水会不会失误？并通过 5 计算说明理由. 本课学习体会 26.3实践与探索（2） 本课知识重点 让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程. MM及创新思维 二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的 问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元， 设矩形一边长为x米，面积为S平方米请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用.你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解

37、 决. 实践与探索 例1某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。 物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调査发现：单价 定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中， 每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，H 均获利为y元。 （1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范闱； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成y = a（x）2 + 4aCb的形式，写出顶点 2a 4a 坐标；在直角坐标系画岀草图：观察图象，指出单价定为多少元时H均获利最多，是多少？

38、 分析 若销售单价为X元， 则每千克降低（70-X）元， 日均多售出2（70-X） 千克， 日均 销售最为60+2 （70-x） IT克，每T克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。 解 （1）根据题意，得 y = （x 30）60 + 2（70 一 x）- 500 =-2x2 + 260.V-6500 (30WxW70)。 （2） y = -2x2 + 26O.v-6500 = -2（x-65尸 +1950。 32 顶点坐标为（65, 1950） o二次函数草图略。 经观察可知，当单价定为65元时，口均获利最多，是1950元。 例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年

39、销售最为100万件.为 了获得更好的效益，公司准备拿出 淀的资金做广告.抿拥经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售最将是原销售最的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系 如下表： X （十万元） 0 1 2 y 1 15 1. 8 （1） 求y与x的函数关系式； （2） 如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告 费x （十万元）的函数关系式； （3） 如果投入的年广告费为1030万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随 广告费的增大而增大？ 解 （1）设二次函数关系式为y = ax2 +hx + c o c 1 由表中数据，得(a + b

40、 + c = 1.5 4a + 2b + c = 1.8 1 a = - 10 解得 3 3 所以所求二次函数关系式为v = - x2+-x + l0 10 5 (2)根据题意，WS = 10y-(3-2)x = -x2 +5x+10o （3） S = -x2 +5x+10 = -（x-）2 + o 2 4 由于1 WKW3,所以当1 WxW2。5时，S随x的增大而增大。. 当堂课内练习 1. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这 种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润， 则 应 降 价 （ ） A、5 元 B、1

41、0 元 C、15 元 D、20 元 2. 某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了 获得更33 好的效益，公司准备京出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（万 X2 7 7 元）吋，产品的年销售量将是原销售最的y倍，且y = - + X+ ,如果把利润看 作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （万元）与广告费X （万元）的函数 关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？ 本课课外作业 A组 1. 某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知:这种服装每天的销售最t（件）, 与每件的销售价x （

42、元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204o （1） 写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天 的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）; （2） 通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件 的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 2. 某旅社有客房120间，当每间房的H租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提 高租金，经市场调査，如果一间客房II租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不 考虑其他因素，旅社将每间客房II租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客 房日租金总收入增加多少元？ 3. 某

43、商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析，若按每千克50元销 售，一个月能售出500kg：销售单价每涨1元，月销售最就减少10kg针对这种水产品的 销售情况，请解答以下问题： （1） 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； （2） 设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式； 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单 价应定为多少？ B组 4. 行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段 距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140千米/时）,

44、 对这种汽车进行测试，数据如下表： 刹车时车速（千米/时） 0 10 20 30 40 50 60 刹车距离 0 03 10 21 36 55 78 （1） 以车速为X轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并 用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象； （2） 观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式； （3） 该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46. 5米，请推 测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ 本课学习体会 34 26.3实践与探索（3） 本课知识重点 （1）会求出二次函数y = a.x +bx

45、+c与坐标轴的交点坐标； （2） 了解二次函数y = ax2+bx + c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系. MM及创新思维 给出三个二次函数：（1） y = F -3x+2 ； （2） y = x2 -x + l； （3） y = x2 -2x1. 它们的图象分别为 个数与什么有关吗? 另外，能否利用二次函数y = 0/+加.+（的图象寻找方程。/+加+。= 0（工0）,不 等式 or，+bx + c 0（a h 0）或 ax + hx + c 0（a 工 0）的解？ 实践与探索 例1画出函数_y = x2-2x-3的图象，根据图象回答下列问题. （1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别

46、是什么？35 (2)当x取何值时，尸0?这里x的取值与方程 X2-2X-3 = 0有什么关系? (3) x取什么值时，函数值y大于0? x取什么值时，函数值y 小于0? 解图象如图263. 4, (1) 图象与x轴的交点坐标为(-1, 0)、(3, 0),与y轴的 交点坐标为(0,3) (2) 当x=1或x=3时，y=0, x的取值与方程x? -2x 3 = 0的 解相同. (3) 当 x3 时，y0；当-lx3 时，y0. (2) 二次函数y = (a 1)/+2血+3 2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程 -l)x2 + 2GX + 3a 2 = 0的两个实数根相等，即ZJ=O (3)

47、 已知抛物线y = /-伙一1)尤一3 -2与x轴交于两点A ( a , 0) , B ( B , 0), 即a、B是方程P-伙一 l)x-3k-2 = 0的两个根，又由于小+02 = 17,以及36 a2+/J2 = （a + 0）2 - lap ,利用根与系数的关系即可得到结果. 请同学们完成填空. 回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数 根的问题，这可从计算根的判别式入手. 例3已知二次函数y - -X2 +（7 2）兀+ 7 + 1, （1） 试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点; （2） m为何值时，这两个交点都在原点

48、的左侧？ （3） m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？ 分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数y = -H+（加一 2）x +加+1的图象必与 x轴有两个交点，只要说明方程-戸+-2）x+加+ 1 = 0有两个不相等的实数根，即ZI 0. （2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程- x2 + （加-2）x + m + 1 = 0有两个负实数根, 因而必须符合条件Z0,“+心 0综合以上条件，可解得所求 m的值的范围. （3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程+（ 2）x + /n + l = 0有一正一负 两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件Z0,“+小=0 解

49、（1） zd=（z?7-2）2 -4x（-l）x（/n + l） = n?2 +8,由 m2 0 ,得 ?2 +8 0 ,所以 Z0,即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点. （2） 由 +E =加一2 0,得/n 0 ,得加 0,因此，当加 0的解集是 _ , 不等式疋一 3x 4 0 5. 你能否画出适当的函数图象，求方程 X2=-X + 2的解？ B组 6. 函数V = /HV2 +x-2m (m是常数)的图象与X轴的交点有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个38 7. 已知二次函数y = x2 +a-2 （1） 说明抛物线y = F +ax

50、+a-2与x轴有两个不同交点: （2） 求这两个交点间的距离（关于a的表达式）； （3） a取何值时，两点间的距离最小？ 本课学习体会 26.3实践与探索（4） 本课知识重点 节握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法. MM及创新思维 上节课的作业第5题：画图求方程 X2=-X+2的解，你是如何解决的呢？我们來看 一看两位同学不同的方法. 甲：将方程* =_乳+2化为，+兀一2 = 0,価出y = +x-2的图象，观察它与x轴 的交点，得出方程的解. 乙 分别画出函数y = /和=_兀+ 2的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方 程的解. 你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流.

51、实践与探索 例1利用函数的图象，求下列方程的解： （1） x2 + 2x-3 = 0 ； (2) 2A2 -5x + 2 = 0 . 分析上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要來得简便，因为倆抛物线远比 画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线y = x2的图象， 再根据待解的方程， 画出相应的直线， 交点的横坐标即为方 程的解. 解 （1）在同一直角坐标系中画出 函数y = x2和=一2x + 3的图象， 如图 26. 3. 5, 得到它们的交点（3, 9）、（1, 1）,39 则方程 X9 10+2X-3 = 0的解为-3, 1. （2）先把方程2x2-5x + 2 = 0化为 X2

52、-A+1 = 0,然后在同一直角 2 坐标系中画出函数y = x2和y = -x-l 的图象，如图263. 6, 得到它们的交点（丄，丄）、（2, 4）, 2 4 . 1 则方程2X2-5X+2 = 0的解为一，2. 2 回顾与反思 一般地，求一元二次方程ax2 hx + c = Q（a0）的近似解时，可先将方程 he he ax2 +br+c = 0化为F +_% + = 0,然后分别画出函数y = F和y = - x-的图 a a a a 象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解 例2.利用函数的图象，求下列方程组的解： 9 3 尸巧的解为 40 3 分析 （1）可以通过直接画出函数，=x+

53、亍和y = P的图象, 而得到方程组的解：（2）也可以同样解决. 解 （1）在同一直角坐标系中画出函数y = F和 =_ 的图象，如图26. 3. 7, 3 9 得到它们的交点（一，一）、 2 4(1) 1 3 y = -X + 2 2 : (2) V = 3x + 6 r y = x2 +2x 得到它们的交点，从 (b 1), 则方程组 图 26. 3. 7 41 (2)在同一直角坐标系中画出函数y =十+2兀和y = 3x+6的 图象,如图26. 3. 8, y = 3x+6 、 的 y =对 + 2x 解为心n 探索 (2)中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此 题的方法吗？比如

54、利用抛物线y = x2的图象，请尝试一下. 当堂课内练习 1.利用函数的图象，求下列方程的解： (1) -x2 +x + l = O (精确到 0. 1): (2) 3x2 -5x + 2 = 0. 2.利用函数的图象，求方程组y = 2的解: 卜=Q 本课课外作业 A组 1. 利用函数的图象，求下列方程的解： 3 (1) x2 + -x-l = O 2 2. 利用函数的图象，求下列方程组的解: = (X+1)2_5， (1) y = x-6 (2)y 3如图所示，二次函数= ax2 + bx+ca 0)与 y2 = kx+ b(k 0)的图象交于 A (-2, 4)、B (8, 2) 求 能

55、使X 2成立的X的取值范围。 42 本课学习体会 第二十六章小结与复习 一、本章学习回顾 1. 知识结构 2. 学习要点 （1） 能结合实例说出二次函数的意义。 （2） 能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。 （3） 敞握二次函数的平移规律。 （4） 会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。 （5） 会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。 （6） 熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。 （7） 会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。 3. 需要注意的问题 在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在 用待定系

56、数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都 体现了数形结合的思想。 二、本章复习题 A组 一、填空题 1. 己知函数=rnxm2m ,当小= _ 时，它是二次函数；当皿= _ 时，抛物线 的开口向上；当皿=_ 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数. 2. 抛物线卩=。工经过点（3,1）,则抛物线的函数关系式为 _ 3. 抛物线y =伙+ 1）/+/一9,开口向下，且经过原点，则*= _ 4点A (-2, a)是抛物线y = x2 .的一点,则a= _ : A点关于原点的对称点B 43 是 _ : A点关于y轴的对称点C是 _ ；其中点B、点C在抛物线y = x2 上的

57、是 _ 5. 若抛物线y = x2 -4x + c的顶点在x轴上，则c的值是 _ 1 9 6. 把函数y = x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函 6 数关系式为 _ . 7. 已知二次函数y = x2-Sx+m的最小值为1,那么m的值等于 _. 8. 二次函数y = -x2 + 2x + 3的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为 _. 9. 抛物线y = 21的对称轴是 _ ,根据图象可知，当x _ 时，y随 x的增大而减小. 10. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点(-2, -2)，则抛物线的函数关 系式为 _ . 11若二次函数y =严+加+ 0的

58、图象经过点(2, 0)和点(0, 1)，则函数关系式 为 12. 抛物线y = /一2乳3的开口方向向，顶点坐标是 _ ,对称轴是 _ , 与x轴的交点坐标是_ ,与y轴的交点坐标是 _ 当x= _ 时, y有最 _ 值是 _ . 13. 抛物线yn+x + c与x轴的两个交点坐标分别为(“,0), (x2,0)，若x/ +x22 = 3 , 那么c値为 _ ,抛物线的对称轴为 _ 14已知函数y =(加一l)”+2x+亦4.当m _ 时，函数的图象是直线：当m _ 时，函数的图象是抛物线：当m _ 时，函数的图象是开口向上，且经过 原点的抛物线. 15一条抛物线开口向下， 并且与x轴的交点一

59、个在点A (1, 0)的左边， 一个在点A (1, 0)的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式 _ 二、选择题 16 下列函数中，是二次函数的有 ( ) y = l- y/2x2 = A y = x(l-x)y = (1 _ 2x)(1 + 2x) x44 A. 1个 B、2个 C、3个 D. 4个 17 若二次函数y =(tn + l)x2 + m2 - 2加- 3的图象经过原点，则 111的值必为 ( ) A、-1 或 3 B、 C、3 D、无法确定 18.二次函数 ， = x2 - 2(m + l)x + 4m的图象与x轴 ( ) A、没有父点 B、只有一个交点 C

60、、只有两个交点 D、至少有一个交点 19.二次函数y： 4 _2x + 2 有( ) A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2 20.在同一坐标系中，作函数y = 3A2 , y = 3x2, y = |x2的图象，它们的共同特点是 (D ) 21.已知二次函数y = kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ( ) 24. 若抛物线y = d/+bx + c的所有点都在x轴下方，则必有 A、 都是关于x轴对称, B、 都是关于y轴对称, C、 都是关于原点对称, D、 都是关于y轴对称, 抛物线开口向上 抛物线开口向下 K- 4 C、 22. A. B. 的图象 D、8元