裂项相消法的八大类型

1、中学生数学 2012年7月上第445期（応中）浙江省兰溪市第一中学（321100）蒋志明舒林军裂项相消法实质上是把一个数列的每一 项裂为两项的差即化“ =/（ ”）一 / （” + 1）的 形式从而达到数列求和的目的.即得到S.= /（1）一/（”+1）的形式.通过此类题型的解 决可以壊养同学们的逆向思维开发同学们 的智力检査同学们思维的灵活性.故在高考 中常常出现利用裂项相消法来求数列的前” 项和、不等式证明等较难的题型.笔者通过氏 期教学的研究并加以总结门纳岀八大题熨. 让同学们通过对题型的了解可以快速学握其 技巧达到事半功倍的效果.题型一等差型等差型是裂项相消法中昴制见的类型也 是最容易

2、掌握的.设等差数列也“的各项不为 零公差为则一=4（-一一 ）常见的 有:（1）- i十十i1X22X3（打+1）1（2） ! + ! + +!1X33X5（2n1X2/I+1）= T（12TT）?5 = (1 + + - +)+ (1 + 亠一 +)+ (1 +1nTl)+(+1一丄、丄 111 一1用）=卄1+三一冲一乔巨=”一冲丄+旦 + 2 2°题型二无理型该类型的特点是分母为两个根式之和. 这两个根式的?方是为常数然后通过分母有 理化來达到消项的目的右时在证明不等式 时常常把分母放缩成两个根式之利I来达到 消项化简的口的.常见右：/_L 厂=(q)! k != 14-2-1

3、X3 2X4(卄 2)2x/4- 1 y/n.例 2 证明：2 /7TT2V1+*+古+ +洽2用一1 （鼻 2”WN）.分析先把通项进行放缩后再裂项相消 即可证.证明因为丄=丄?fn 2 n/+1 +/J7=2（ /畀+ 麻）（$2 W N） 1 _ 1例1求数列"m的丽项的和s.所以1+吉+吝+分析 先把通项进行化简分子通常化为 常数然后裂项就可以求得.数列的通项(卄1)2 + 12(>/TQ) + + 2( /?+l而)=2 /?十1 2.又因为丄=丄<2fn 2 J7i -Jn + y/n 1= 2(fn fn 1) (m W N) 所以i +丄十厶十 +A<

4、;i+2(yz n/2 J3 庙 19 网址:zxss. cbpt. cnki. net电子 fit 箱：zxsschinajoumal. net. cn思路与方法© 1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 思路与方法jlL lgw o所以 s = lg2-lgl + lg3-lg2 + - + lg(w3+1 ) lgM = lg(?/+ 1) lgl = 2 即 rt = 99. 题型五三角函数型 由三角函数两角和差公式可以得到的变x/T) + 2(>

5、;/3"V2")+ 4"2(V/7 Jn_ ) = 2 /n-1.即不等式成立.题型三指数型由于(“一1)“"=“卄| 一“" 因此一般地有(a-1 治 _1_1例3已知数列的首项为3,点a, “”+J在直线仃一，=0上.(1) 求数列“”的通项；(2) 设数列的前力项和为SJ.=-(/6N* )求数列6J的前” (“”13 丿=卄1项和T.分析先求数列3”的通项再求S “然后把通项九进行裂项即可.解(1)容易解得“ =34-1；(2)因为 S. = '' 1 4所以" = 3(4"-1) - (4-M-l)

6、=丄()3 4W-1 严一 1 题型四对数型由对数的运算法则可他：若一0小、* 则 log" =S+1 log".例4 已知数列心的通项为“=lg若其前“项和S.=2则=.n分析 因为心=lg仝二l = lg(+l) n中学生数学 2012年7月上第445期(高中)形如下：tana tan/9=ian(a/?) (1 +tanatan/9)等. 可以经过构造达到裂项消项的目的例5在数1利100之间插入个实数. 使得这”+2个数构成递增的等比数列将这“ + 2个数的乘积记作7； 再令“ =lg7；”鼻1(1) 求数列“”>的通项公式；(II)设“ =tana.tami,

7、+】求数列b”的 前"项和S,分析(1)利用倒序相乘不难得到T,= 10卄2.即得% =卄2(2) I tan ( ” + 3 ) ( ” + 2 )=tan( ；|-F3 ) tan(?i4-2)_-l+ian5 + 2) 灿】(畀 + 3)一"'/. tan ( + 2 ) tan ( + 3 )= ian( + 3) 怡门( + 2) .uniS. =ian( 1 + 2) tan( 1 + 3)+8n(2 + 2) etan(2+ 3) + 一tan(«4-2) tan(n + 3)= lan(l+3) ian(l + 2)tanltan(2+3)

8、 tan(2 + 2)H：+ tanllan(” + 3) tan(w + 2)+”y(”一 2)7皿_”.tanl题型六阶乘和组合数公式型由阶乘的定义可以得到：”"！ =5+1)! 一川，由组合数公式也可以得到CT+, 一 C：= cr*.例 6 化简：(1)1+2X2! +3X3! + + X 2? !；(2)Ci+d + +/(“25”WN* ).分析 由上而所推出的结论得到：(1) 原式=2! -1! +3! -2! H+ 1)! -/! =3+1)! -1；原式=C-C!+Q-C + +Oh- 厂3 =八 ”=5十1)"51)_“© 1994-2012

9、China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, © 1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 20 网址:zxss. cbpt. ski. net电子 fit 箱：zxsschinajoumal. net. cn© 1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All right

10、s reserved, 中学生数学2012年7月上.第445期（髙中）题型七抽彖型有吐抽象函数可以根据给出的性质也可 以进行裂项相消如下面例子.例7定义在（一1,1）上的函数/（丄）满 足：（1）对VW（-l0祁有/（.r）>0；（2）巳知 />=/（0）,g=/（4->*r=/<丄）+匕D右些可以通过以上几种进行混合的通项.裂项的堆度较大例如：1 _ 1 （ 1 1_）=”（+1）（” + 2）2（畀+1）”+21"(卄 1)）;乂如下面例八吉）十+八 ）（心）比1 1十 71 1较w的大小.分析由（2）可知：令=，则/（0）=0； 令才=0,则/（W =

11、/（W，所以/Q）为奇 函数对V八）W（-l】）且都有/（X）例8 已他数列»>的通项为b厂求和$=缶十卷+如.分析”+2 _ 2（”+1）（力+1）2“7一 （畀+1）2，一/3 = /（肯门>0所以/3在（-1.1） 上是减函数.1 _ 1匝E5+1)2”"乂因为/（昇匚T）=1(卄 1)1_n(n+l)f n ” +11 1 w（n + l）所以 r=/（y）-/（4）+/（4）_/<T）+ -4-/（丄）一/（亠n”十1L十1因此（l<r<p.题型八混合型)所以$.=击一+諾寸一令+ _ I =4_2"75+1 ）2"

12、;习 （”+1）2"刁以上笔者仅仅归纳岀常见的八大题型对 一些不常见的题型需箜大胆的猜测也可以从 首项起开始裂项然后加以门纳即从持殊到 -般有时也可以利用待定系数法去完成裂开 通项最后希望同学们要善于总结归纳并加 以枳累这样才能把口已从题海里解脱出来.（责审王雷）思路与方法 21 网址:zxss. cbpt. cnki. net电子缽箱：zxss(achinajoumal. net. cn© 1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 中学生数学2012年7月上.第445期（髙中）(上接第23页)(2)如图29| MA | | MB | =2si nOcoM sin20当sin20= 1 即0=45°时取等号此时直 线/的倾斜角为135。故所求直线方程为 + -3 = 0.小结解法一解法二分别用血线方程的 点斜式和戴距式给出直线方程然后建立冃标 函数再用基本不等式求出最值解法自然流 畅解法堤通过转换解析几何环境到解三角 形环境这样设角也比较口然.本题与本文开头的联考题个以解几为 背景一个以平几为背景題目虽然不同,但解 法慕本相同.经常对这类题型不同但解法相同 或相近的何题进行模式化总结与反思