概率论与数理统计基础讲义版

1、 数学课堂系列概率论与数理统计数学概率论与数理统计基础讲义主讲：名师，博士，著名数学辅导，教育部“精品课程建设骨干教师”，畅销书高等数学 18 讲、数学题源探析经典 1000 题作者，高等教育入学统一数学参考书（大纲）编者之一，2007 年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀（15 分钟主旨）。首创“题源教学法”，对数学的知识结构和体系有全新的解读，对数学题与复习思路有极强的把握和预测能力，让学生轻松高效夺取高分。欢迎使用目录第一讲第二讲第三讲第四讲第五讲如何处理复杂？. 1如何求分布？5如何求数字特征？10如何使用极限定理？12如何作估计？13 数学课堂系列概率论与数理统计第一讲如何处理复杂？1

2、. 预备知识（1）随机试验称一个试验为随机试验，如果1) 试验可以在相同的条件下重复进行；2) 试验所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个；3) 每一次试验会出现哪一个结果事先不能确定【评注】我们是通过研究随机试验来研究随机现象的，为方便起见，将随机试验简称为试验，并用字母 E 或 E1, E2 , En ,表示在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机字母 A ，B ，C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的，简称为称为必然，并用大写，记为W 每称为不可能，记为Æ 次试验一定不发生的或样本点，记为w 每次试验能随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本且只能发生一个基本基

3、本(或样本点)的全体称为基本空间(或样本空间)，记W= w ，随机为W ，即A 总是由若干个基本组成，即 A 是W 的子集，A ÌW 事件 A 发生等价于A 的基本有一个发生在不少情况下，我们不能确切知道某一随机试验的全部可能结果，但可以知道它不超出某个范围这时，也可以用这个范围来作为该试验的全部可能结果例如我们需要某个城市一天的交通事故数量，则试验结果将是非负数 x 我们无法确定 x 的可能取值的确切范围，但可以把这范围取为0, +¥) ，它总能包含一切可能的试验结果，尽管我们明知，某些结果，如x10000，是出现的，我们甚至可以把这范围取为(-¥, +

4、5;) 也无妨这里就有了一定的数学抽象，它可以带来很大的方便（2）的运算的、运算与集合的、运算相当，且具有相同的运算法则：吸收律：若 A Ì B ，则 AÈ B = B ， AB = A ； 交换律： AÈ B = B È A， AB = BA；结合律： ( A È B) È C = A È (B È C)， ( AB)C = A(BC) ；分配律： A(B È C) = AB È AC ， A È BC = ( A È B)( A È C) ； A(B - C)

5、= AB - AC ；对偶律： AB = AB , AB = AB .2. 古典概型定义：如果其基本空间(样本空间)满足(1)只有有限个基本(样本点)；(2)每个基本(样本点)发生的可能性都一样称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型.如果古典概型的基本总数为 n ，A 包含k 个基本，即有利于 A 的基本k1 数学课堂系列概率论与数理统计个则 A 的概率定义为A所含基本的个数P( A) =n基本总数由上式计算的概率称为 A 的古典概率【例】将n 个球随意放入 N (n £ N ) 个盒子中，每个盒子可放任意多球，求 P 恰有n 个盒子中各有一球.【注】假设有 12 个人回母校参加

6、校庆，则 P 12 个人生日全不相同=.3. 几何概型引例定义：如果(1)样本空间(基本空间) W 是一个可度量的几何区域；(2)每个样本点(基本)发生的可能性都一样，即样本点落入W 的某一可度量的子区域 A 的可能性大小与 A的几何度量成正比，而与 A 的位置及形状无关称随机试验(随机现象)的概率模型为几何概型.在几何概型随机试验中，如果 SA 是样本空间W 一个可度量的子区域，则A “样本点落入区域 SA ”的概率定义为P( A) = SA的几何度量W的几何度量由上式计算的概率称为 A 的几何概率.【例】甲、乙有约，上午 9:0010:00 到校门口见面，等 20 分钟即离开.求 P 相遇

7、=.2 数学课堂系列概率论与数理统计4. 重要公式求概率 P( A) = 1- P( A) ； P( A - B) = P( A) - P( AB) ； P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB) ；P( A + B + C) = P( A) + P(B) + P(C) - P( AB) - P(BC) - P( AC) + P( ABC) ；大于 3 个时，只考查【注】当nnAn (n ³ 3) 两两互斥，则 P(Ai ) = å P( Ai ) ；1） A1, A2 ,i=1i=1An (n ³ 3) 相互2） A1, A2 ,，则nn

8、È An ) = 1- Õ1- P( Ai ) .i=1Ai ) = P( A1 È A2 È A3 ÈP(i=1An ，若对其中任意有限个 Ai1, Ai2 , Aik (k ³ 2) ，都有相互：设 A1, A2,P(Ai1 Ai2Aik ) = P(Ai1)P(Ai2 )P(Aik ) ，则称 A1, A2 ,An 相互.相互Û 它们中任意一部分n 个换成各自的对立所得n 个新相互 P(B | A) = P( AB)( P( A) > 0 )P( A) P( AB) = P( A)P(BA) ； P(ABC) =

9、 P(AB)P(CAB) = P(A)P(BA)P(CAB) ；全概率公式（全集分解公式）引例 假设一个村子里有三个小偷，求失窃的概率P失窃.n定义：如果UAi = W, Ai Aji-1= f(i =/j), P( Ai ) > 0 ，则对任一B ，有nnB = UAi B, P(B) = åP( Ai )P(B | Ai ).i -1i -1公式3 数学课堂系列概率论与数理统计n如果UAi = W, Ai Aji=1= f(i =/j), P( Ai ) > 0 ，则对任一件事 B ，只要 P(B) > 0 ，有P( A | B) = P( Ai )P(B |

10、Ai ) (i = 1,2,L, n)inåP( Ai )(B | Ai )i=1射击，轮流对同一目标射击. P 甲命中=a ， P 乙命中= b .甲【例】有甲、唯一先射击，谁先命中谁获胜.制作所有-欢迎咨询、乙获胜的概率.4 数学课堂系列概率论与数理统计第二讲如何求分布？1. 基本概念（1）随量量就是“其值随机会而定”的变量设随机试验 E 的样本空间为W= w ，如随果对每一个w ÎW ，都有唯一的实数 X (w) 与之对应，并且对任意实数 x ，w : X (w) £ x是随机，则称定义在W 上的实单值函数 X (w) 为随量简记为随量 X 一般用大写字母

11、X ， Y ， Z 或希腊字母 x ，h ，来表示随（2）分布函数量PÎ R) 为随设 X 是随量， x 是任意实数，称函数 F(x)量 X 的分布函数，或称 X 服从分布 F (x) ，记为 XF (x) （3）离散型随量如果随量 X 只可能取有限个或可列个值 x1, x2 ,，则称 X 为离散型随量，称= PX= xi ， i = 1, 2,pi，为 X 的分、分布律或概率分布，记为 Xpi 概率分Lö÷ .2布常用表格形式或矩阵形式表示，即或ppLøè12量 X 的概率分布为 pi = PX = xi ，则 X 的分布函数设离散型随F (

12、x) = P( X £ x) = åP( X = xi )xi £ x（ -¥ < x < +¥）（4）连续型随量对于某一随便变量 X ，若非负可积函数 f (x) ，使得xòF (x) =f (t)dt ， -¥ < x < +¥-¥则称 X 为连续型随2. 重要分布（1） 0 -1 分布（两点分布）量.5 数学课堂系列概率论与数理统计æ 1ö01 - P= 0 = 1- p ，则称 X 服从= 1 = p ， P X如果 X 的概率分布为 X çP

13、÷ø即 P XèB(1, p)(0 < p < 1) 参数为 p 的 0-1 分布，记为 X（2）二项分布【注】n 重试验：1）相互；2）每次试验出现 A 的概率相同；3）只有两个结果PX = PX=k=k=k k)nk -1(p-，k = 0,1,A ，A . A 发生的次数记为 X ，则C p, n .nn-k如果 X 的概率分布为 p = P X = k = C p (1- p)， k = 0,1, n ， 0 < p < 1 ，k kkn则称 X 服从参数为(n, p) 的二项分布，记为 XB(n, p) .（3）几何分布（与几何无

14、关！）“首中即停止”（等待型分布）= PX = k = qk-1 p ， k = 1, 2, n ， 0 < p < 1 ，如果 X 的概率分布为 pkq = 1- p ，则称 X 服从参数为 p 的几何分布（4）超几何分布假N 件， M 件正品，n 件，取到k 个正品的概率 p ？n-kN -M ， k = 0,1,如果 X 的概率分布为， min(M , n) ， N ，CnNM ， n 为正整数，则称 X 服从参数为 N ， M ， n 的超几何分布（5）泊松分布在某场合，某时间段内，源源不断地质点来流的个数 X 服从泊松分布.l kk !如果 X 的概率分布为 PX = k

15、 =e，k = 0,1,-l，l > 0 ，则称 X 服从参数为l的泊松分布.（6）均匀分布（与几何概型若随量 X 在区间 I 上的）区间取值的概率与该子区间的长度成正比，则称ì1a < x < b,其他f (x) = ïb - a,XU (I ) .也即 X，记为 XU (a, b) .íïî0,（7）指数分布6 数学课堂系列概率论与数理统计ìle,-l xx > 0,x £ 0f (x) =（ l > 0 ），则称 XE(l) .若 Xíî0,（8）正态分布-( x-m

16、)21N(m,s 2) .若 Xf (x) = e2s 2， -¥ < x < +¥，则称 X2ps3. 例题分析【例】已知某由若干零部件组成，其中有i 个(i = 0,1, 2) 非优质品零件的可能性相同.服从参数l = i +1 的指数分布，求有i 个非优质品零件时，其使用当使用X 的分布函数 F (x) 与概率密度 f (x) .4.（二维）随量及其分布分布、边缘分布、条件分布、性（1）二维随量如果 X ， Y 是定义在同一个样本空间W 上的二个随量，则称二元总体( X ,Y ) 为n 是定义在同一样本空间W 上的 n 个二维随量(或二维随机向量)如果随量

17、，则称 n 元总体(n ) 为 n 维随量或n 维随机向量 Xi 称为第i 个分量（2）分布函数设( X ,Y ) 为二维随量，对任意的实数 x, y ，称二元函数PX £ x,Y £ y (x, y) Î RF(x, y)为二维随量( X ,Y ) 的分布函数，简称为分布函数，记为( X ,Y )F (x, y) （3）离散型随量7 数学课堂系列概率论与数理统计量( X ,Y ) 只能取有限对值或可列对值(x1, y1) ， (x1, y2 ) ，如果二维随(xn , yn )，则称( X ,Y ) 为二维离散型随量称P(X = xi ,Y = yj ) ， i

18、, j = 1, 2,pij为( X ,Y ) 的概率分布或分布，记为( X ,Y )pij 分布常用表格形式表示) = P( X = xi ,Y = y j ) =pij条件分布： P( X = xY = y( X 在Y = y 条件下的条件分布)ijP(Y = y )jpjj= xi ,Y = y j ) =X = x ) = P( Xpij pP(Y = y( Y 在 X = x 条件下的条件分布)jiP( X = x )iii性： pi × p j = pij (i, j = 1, 2,) Û X ,Y.（4）连续型随量量( X ,Y ) ，如果非负可积函数 f (

19、x, y) ，使得对于二维随xyò òF (x, y) =f (u, v)dudv (x, y) Î R-¥ -¥则称( X ,Y ) 为二维连续型随量.+¥边缘概率密度： f X (x) = ò-¥ f (x, y)dyfY ( y) = ò-¥ f (x, y)dx( X ,Y ) 关于 X 的概率密度+¥( X ,Y关于Y 的概率密度f (x, y) ( fy) =( y) > 0)= y 条件下的条件密度)条件概率密度： f(x( X 在YYX Y f ( y)Yf (x

20、, y) ( fx) =(x) > 0)= x 条件下的条件密度)f( y( Y 在 XXY X f (x)XfX (x) fY ( y) = f (x, y) Û X ,Y性：.= x (0 < x < 1) 的条件下，Y 在(0, x) 内服从均匀分布.【例】设 X8U (0,1) ，在 X 数学课堂系列概率论与数理统计求：（） f (x, y) ；（） fY ( y) .【总结】求谁不积谁，不积先定限，限内画直线，先交写下限，后交写上限.9 数学课堂系列概率论与数理统计第三讲如何求数字特征？1. 数学期望（1）离散型随量ö¥÷ ，

21、则 EX = å xi pi .n若 Xç pppè 1øi=12n（2）连续型随量+¥= ò-¥若 Xf (x) ，则 EXxf (x)dx .ìï¥åg(x ) p离散型ii【注】若Y = g( X )，则 EY = íi=1.ï+¥òg(x) f (x)dx,连续型î -¥2.方差 DX设 X 是随量，如果 E(X - EX，则称 E(X - EX )2 为 X 的方差，记为 DX .2即 DX = E(X - EX )

22、2 .ìï¥å(x - EX )2 p离散型ii从定义角度， DX = íi=1ï+¥ò(x - EX ) f (x)dx,连续型2î -¥【注】 DX = EX 2 -(EX )2 ， EX 2 = DX + (EX )23.协方差如果随量 X 与Y 的方差 DX > 0 ， DY > 0，则称 E( X - EX )(Y - EY ) 为随量 X 与Y 的协方差并记为cov( X ,Y ) .cov( X ,Y ) = EXY - EX × EY .若Y = X ，则c

23、ov( X ,Y ) = cov( X , X ) = DX .4.相数cov( X ,Y )r=，称为随量 X 与Y 的相数.XYDX ×DY10 数学课堂系列概率论与数理统计= EXY - EX × EYÞ rXYDX × DY唯一【例】设某商品每周的需求量 X制作所有-欢迎咨询U10, 30.当商店进货数为10, 30 中的某一整数时，商店每售出一件商品可获利 500 元.1）若供大于求，则降价处理，处理的每件商品亏损 100 元；2）若供不应求，则可从外调货供应，此时每件商品仅获利 300 元.为使商店所获利润的期望值不少于 9280 元，试确定

24、最少进货量.11 数学课堂系列概率论与数理统计第四讲如何使用极限定理？1.依概率收敛设数列Xn ， n = 1, 2,， X 为一随量（或a 为一常数）.任给正数e > 0 ，恒有lim P Xn - X< e = 1（或lim P Xn - a< e = 1），则称随量序列n®¥n®¥n ,依概率收敛于 X （或a ）.2.大数定律切比雪夫大数定律：假设Xn , n ³ 1 是相互的随量序列，如果方差D(Xk )(k ³1)且一致有上界，即常数C ，使 D(Xk ) £ C ，n(一切k ³ 1

25、 )，则X , n ³ 1 服从大数定律： 1 ånX - 1 åEX0.®Pniinn=i 1i 1大数定律：假设 mn 是 n 重A 发生的次数，在每次试验中试验中A 发生的概率为 p(0 < p < 1) ，则 mn ®Pp ，即对任意e > 0 ，有lim P| mn - p |³ = 0.nn大数定律：假设Xn , n ³ 1 是n®¥同分布的随量序列，如果 EXn = m(n ³1)n1n1nåXi i=1å，则X ® m ，即对任意e

26、 > 0 ，有lim P|- m |³ = 0.Pin i =1n®¥3.中心极限定理同分布中心极限定理)：假设Xn , n ³ 1 是中心极限定理（同分布的随量序列，如果，则Xn , n ³ 1 服从中心极限定理，即对任意的实EXn = m ， DXn = s (n2数 x ，有n1)åXi - nmx - 1 x12òlim P i=1£ x =edt = (x).2ns-¥n®¥棣拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为其极限分布定理)：假设随量YnB(n, p) ， (0

27、< p < 1, n ³ 1) ，则对任意实数 x ，有Yn - np12xò- x/2 £ x =edt = (x).lim Pnp(1 - p)n®¥-¥12 数学课堂系列概率论与数理统计第五讲如何作估计？1.总体与样本总体 X 某全体研究对象的某一指标样本只研究“简单随机样本”： Xi同分布于 X2.统计量设(X1, Xn ) 为总体 X 的样本， g(x1, xn ) 为 n 元函数，如果 g 中不含任何未知参数，则称 g(X1, Xn ) 为样本(X1, Xn ) 的一个统计量若(x1, xn ) 为样本值，则称g(x1, xn ) 为 g(X1, Xn ) 的观测值3.矩估计ìï¥åx p ,离散型1nni iå Xi i=1EX = íi=1ï+¥òxf (x)dx,连续型î -¥x < 1,，求q 的矩估计量.其他【例】设总体0,î4.最大似然估计对未知参数q 进行估计时，在该参数可能的取值范围 内选取使“样