几种常见函数的导数

1、§ 3.2几种常见函数的导数课时安排1课时沉着说课本节依次要讲述函数 y=C(常量函数),y=xn(n Q), y=sinx, y=cosx的导数公式，这些公 式都是由导数的定义导出的，所以要强调导数定义在解题中的作用(1)关于公式(xn) 'n=n-1(n Q),这个公式的证明比拟复杂，教科书中只给了 n N*情况下的证明实际上，这个公式对于n R都成立.在n N*的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是f(x x) f(x)x(xnx)要运用二项式定理展开后再证明，化C：( x)n 1 ,当&T0时，其极限为c：xn 1即nxn-1.在讲完这xn2仿上述方

2、法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x-a)n 展开，然后求导5即禾U用(xn)'n=n-1求导.y=(x-a)n=C°xn1 n 12 n 22Cnx a Cn x ac；(n n1) ay0 n 11nCnXCn (nn 21)x an 1n 1 n 1(1) Cn a ，利用kkC： nC:11将其合并成二1 n 12为 5X Cn个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y=(x-a)n的导数，学生一定会模项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，鼓励学生大胆创新，同时也要提出这 要运用导数的和差运算法那么，并告诉学生这是20

3、03年高考题.sin x运用定义证明公式(sinx) ' cosx,(cosx) ' -sinx，要用到极限lim1，根据学生的x 0 x情况可以补充证明.第五课时课 题§ 3.2几种常见函数的导数教学目标一、教学知识点1. 公式1 C ' =C(为常数)2. 公式 2(xn) 'n=n-1(n Q)3. 公式 3 (sinx) 'cosx4. 公式 4 (cosx) ' -sinx5. 变化率二、能力训练要求1. 掌握四个公式，理解公式的证明过程 .2. 学会利用公式，求一些函数的导数.3. 理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题

4、.三、德育渗透目标1. 培养学生的计算能力.2. 培养学生的应用能力.3. 培养学生自学的能力.教学重点四种常见函数的导数:C ' =C为常数)，(xn) ' n=n-1(x Q),(sinx) 'cosx,(cosx) '-sinx.教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n N的情况.教学过程I .课题导入师我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它

5、们当作直接的结论来用.n .讲授新课师请几位同学上来用导数的定义求函数的导数1. y=C(C是常数)，求y'.学生板演解：y=f(x)=C, y=f(x+Ax)-f(x)=C-C=O,=0.y' C' =m y =0, y' =0.x 0 x2. y=xn(n N*),求 y'.学生板演解：y=f(x)=xn, Ay=f(x+Ax)-f(x)=(x+ Ax)n-xnxn c：xn1 x C：xn2( x)2 cn ( x)n xnC：xn1 x C；xn2( x)2C： ( x)n丄 CH Cx： 2 xC：(X)n1x y '務'y1n

6、12n2nn11n1n1lim lim Cnx Cnx x Cn ( x) Cnx nx x 0 x x 0 y ' =n-1.3. y=x-n(n N ),求 y .学生板演解：Ay=(x+Ax)-n-x-n11nn(x x) xnnx (x x)n n、n nx) x(x(x x) xyC：Xn1 Cn2xn 2 xC：(X)n1xn n(x x) X ylim yx 0 XClxn1 C：Xn2(X)2Cnn( x)n(x)nxn叫小2 nCnX2J n 1CnXn ,、n 1Cn( x)n n x x y' =x-n-1.4.y=sinx,求 y'叫两位同学做)

7、学生板演生甲 解：Ay=s in( x+ Ax)-s inx=sin xcos Ax+cosxs in Ax-sinx,y sin xcos x cosxsin x sinxxx- ysin x cos x cosxsin x sinx limx 0sin x(cos x limx 0cosxs in2sin x( 2 sin limx 02x)lim cosxsx 0lim ( 2sin x)x 0 2 xsin 一2x 2(1")cosx=-2s inx 1 0+cosx=cosx.- y' cosx.生乙 Ay=si n(x+Ax)-si nxx x=2cos(x+ )

8、sin2 2y2cos(xx)sin x22xx5ylim yx 0 x2 cos(xx、.)sirx I 一lim22x0xX、.xcos(x)sin-lim22x0x2xsin -limcos(x-)lim02x02x 0x2=cosx. y' =sx.如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下探5.y=cosx,求y'也叫两位同学一起做生甲 解：Ay=cosx+Ax-cosx=cosxcos Ax-s inxsin Ax-cosx,y lim -x 0 xcosxcos x sinxsin x cosx limx 0cosx(cos x 1) sin

9、xsin x limx 0l'm0(2cosx)cosx( 2sin2.2 xsin2lim sin xsi-xx 0sinx 1=-2cosx 1 0-s in x=-s inx, y' =nx.生乙解:limcos(x x) cosxx 02sin(x)sin2sin(xlimx)sin22=-s inx,/ y' =i nx.师由4、5两道题我们可以比拟一下，第二种方法比拟简便，所以求三角函数的极 限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了 n N*的情况，实际上它对于全体实数都 成

10、立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用板书(一)公式1 C ' =C(是常数)公式 2 (xn)' n=n-1 (n R)公式 3 (sinx) ' cosx公式 4 (cosx) ' -=inx(二 )课本例题师下面我们来看几个函数的导数，运用公式求：1 (1)(x3) ； (2)( 2) ' ；(3)O)'x学生板演(1)解：(x3) ' =31=3x2.& / 1、(2) 解: (T)(x 2) 2x 21 2x3.x1 1 1 1(x2)x221舟x212 x解：(.X)(还可以叫两个同学同做一道题，一个

11、用极限即定义来求，一个用公式来求，比拟一下)(三)变化率举例师我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t),瞬时速度V=s'tX板书物体按s=s(t)作直线运动，那么物体在时刻to的瞬时速度V0=s 'to(.vo=s 'to(叫做位移s在时刻to对时间t的变化率.师我们引入了变化率的概念，函数f(x)在点xo的导数也可以叫做函数 f(x)在点xo对自变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？板书函数y=f(x)在点xo的导数叫做函数f(x)在点xo对自变量x的变化率.生例如角速度、电流等.师它们是分别对哪些

12、量的变化率呢？生角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数) 对时间的变化率.师下面来看两道例题.例1物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J,绝对温度T的单位是K),求热量对温度的变化率 C(即热容量).学生分析由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量 函数Q(T)对T求导.解：C=Q'T(,即热容量为Q'T(J/K.师单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？1生比热容是Q'T(J"kg K).-例2如图3-9，质点P在半径为10 cm的圆上逆时针作

13、匀角速运动，角速度为1 rad/s,设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点 M的速度.学生分析要求时刻t时M点的速度，首先要求出在 y轴的运动方程，是关于 t的函 数，再对t求导，就能得到 M点的速度了 .解：时刻t时，角速度为1 rad/s,/Z P0A=1 t=t rad./ MPO= Z POA=t rad./ OM=OP sinZ MPO=10 -sint.点M的运动方程为 y=10sint. v=y' =0sint) ' =COst,即时刻t时，点P在y轴上的射影点 M的速度为10cost cm/s.师我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数

14、知识轻而易举 地解决了 .求导时，系数可提出来.川.课堂练习1. ( 口答)求以下函数的导数.(1)y=x5;(2)y=x6;(3)x=sint;(4) u=cos ©生(1)yf)'=5生(2)y'珀=6生(3)x =(nt)'cost.生(4)u' =Os©'-oin ©.2.求以下函数的导数(1)y13 x;(2) y 3 x .(1) 解:/y1韦)点)-3x-3-1_-3x-4.x解:yL丄1-1(3 x) (x3)- x33213x33. 质点的运动方程是 s=t3(s单位：m,t单位：s),求质点在t=3时的速

15、度. 解：v=s' =() ' =31=3t2, 当 t=3 时，v=3X32=27(m/s), 质点在t=3时的速度为27 m/s.一 1 2 24物体自由落体的运动方程是s=s(t)= gt (s单位：m,t单位：s,g=9.8 m/s ),求t=3时的速度.解：V s (t)(2 gt2) 2g 2t2 1 gt,当 t=3 时，v=g 3=9.8 X3=29.4(m/s), t=3时的速度为 29.4 m/s.师该题也用到求导时系数可提出来根据Cf(x) ' Cf' x)(C是常数).这由极限的知识可以证得.rCf (x x) Cf(x)厂 f (x x

16、) f (x),Cf (x) limlim C=Cf x).x 0xx 0x5.求曲线y=x4在点P(2, 16)处的切线方程.解：y' =0 ' =41=4x3.- y'x=2=4 X23=32.点P(2, 16)处的切线方程为 y-16=32(x-2),即 32x-y-48=0.IV .课时小结学生总结这节课主要学习了四个公式(C' =C是常数)，(xn) ' n=n-1 (n R),(sinx) ' cosx,(cosx) '-=nx)以及变化率的概念：vo=s't(叫做位移s在时 刻to对时间t的变化率，函数y=f(x)在

17、点xo的导数f'x0)叫做函数f(x)在点xo对自变量x的变 化率.V .课后作业(一) 课本 P116习题 3.22, 4, 5.(二) 1.预习内容：课本 P118119和(或差)、积的导数.2. 预习提纲：(1)和(或差)的导数公式、证明过程.积的导数公式、证明过程.预习例1、例2、例3，如何运用法那么1、法那么2.板书设计§ 3.2几种常见函数的导数公式1C ' =0(为常数)公式 2(xn) ' n=n-1(n R)公式 3(sinx) ' cosx公式 4(cosx) ' -sinxV0=s ' t(是位移s在t0对时间t的变化率.函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点X0对自变量x的变化率.1. y=C(C是常数),求y '.2. y=xn(n N*),求 y'.3. y=x-n(n N*),求 y'.4. y=sinx,求y'两种方法)5. y=cosx,求y'两种方法)课本例题1(1)(x3) ' ；(2鬆)；(3)(X)'.X,求热量对温度的变化率 C