关于勾股数计算的两个新公式

1、关于勾股数计算的两个新公式庄 严 庄宏飞 （辽阳铁路器材厂 辽阳 111000）摘要：本文提出并证明了勾股数通解公式、勾股数再生公式，实现了全部勾股数的定a直求，这种只用算术运算就能得到三元二次方程a2+b2=c2有全部理数解的方法，简单方便，易教易学，具有特殊的实用价值和理论义意。关键词: 勾股数 勾股数通解公式 勾股数再生公式 增元求解法 同差直角三角形 1.引言勾股定理是数学中一个即普通又非常重要的定理，它总结表述出了直角三角形三边a，b，c的边长关系是：a2+b2=c2。西方人把这个定理称为毕达哥拉斯（Pythagoras）定理1，它大约在公元前5世纪由古西腊学者毕达哥拉斯提出。而我国

2、的商高在公元前11世纪时就已对勾股定理进行了论证应用2，所以在我国，勾股定理又称做商高定理。由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方关系，人们归纳出了勾股定理的一般方程：x2+y2=z2。这里，如果x、y、z是非零正整数的话，上述方程实际上就是一个求非零正整数解的不定方程。人们通常又把上述不定方程的非零正整数解称为勾股数组，比如（3，4，5），（7，24，25）。（8，15，17）等等，都是勾股数组。围绕如何求得勾股数组，古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的法则公式。它们分别是：毕达哥拉斯法则：x=2n+1，y=2n2+2n，z=2n2+2n+1；（其中n为1正整数）柏拉图

3、(Plato)法则：x=2，y=2-1，z=2+1；（其中为2的正整数 ) 3欧几里得(Euclid)法则：x=，y=(-n），z=(+n）；（其中、n同奇偶，并且n为完全平方数)4丢番图(Diophantus)法则： x=+，y=n+，z=+n+；（其中2n为完全平方数)5但其中较便捷的方法当属我国清代数学家罗士琳提出的勾股数法则6：取、n为任意正整数，并且n，则下式：x=2-n2 y=2nz=2+n2中的x、y、z必然是勾股数组，满足x2+y2=z2。在以上的各种法则中，毕达哥拉斯法则可求得部分x为奇数的勾股数，柏拉图法则可求得部分x为偶数的勾股数，欧几里得法则、丢番图法则在计算时需要对x

4、2进行合数因子分解，需要求得二元不定方程未知数、n的全部不定解，因而常人难以掌握应用；而罗世琳法则也不能求得全部勾股数组。例如，当（x=9，y=12，z=15）时，在罗世琳法则中找不到相应的、n。时至今日，熟练自由地学习掌握运用勾股定理，仍然是大多数人心中可望所不可及的知识梦想。所以，寻找一个通用法则，通过直观简单的计算就能够一个不漏的求得方程x2+y2=z2的全部非零正整数解，进而找到不同勾股数组中x、y、z的内在联系，仍然是勾股数性质研究中需要解决的难点问题。本文以直角三角形三边a，b，c的边长关系为切入点，提出了求算平方整数解(勾股数)的两个新公式: “勾股数通解公式”, “勾股数再生公

5、式”,为平方整数解问题建立了新理论。2. 勾股数通解公式（定a直求法） 2.1 定义1增元求解法在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。这种利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法叫增元求解法。2.2公式1.勾股数通解公式：在以下a、b、c、Q关系中，当取定a值后，如Q值使b=(a2- Q2)÷2Q 是整数，则a、b、c必是勾股数；且由a2标准分解因数全排列重组条件得到的不大于a的全部Q值可求得含a全部勾股数；a3、4、5 b=（a2-Q2）÷2Qc= b+Q 这里，使上式中(a2-Q2)÷2Q的值恒为整数

6、的Q值条件是：若a为3的奇数，在a2的标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于a的因数积为Q。若a为4的偶数，在a2的标准分解因数（包括1）中去掉一个2后为有效因数，在有效因数全排列重组乘积中，取小于a的偶数因数积为Q。证：首先证明此时的a、b、c是公式勾股数条件；若a是3的整数，在正方形面积关系中取一边长为a的正方形，由边长为a得到面积为a2，现引入增元项Q并使（a2- Q2）÷2Q =b关系成立（其中Q为增元项，且b、Q都是整数）,则可把原正方形面积a2分解为a2= Q 2+Qb+ Qb，把分解关系按下列关系重新组合后可得到新图形图1，其缺口刚好是一个边长为b的正方形，如补

7、足新图形缺口面积b2后则可重新得到一个边长为b+ Q的正方形，如图2；由b、Q都是整数条件可知，此时b+ Q的值一定是整数。Q 2 QbQb Q 2QbQb b2 图1 将a2 拆组为Q 2+ Qb+ Qb形式图 图2 补足缺口面积b2后重新得到正方形图现取b+ Q =c，根据直角三角形边长关系的勾股弦定理a2+b2=c2条件可知，此时的a、b、c是直角三角形的三个整数边长。同时得到，任何满足a2+b2=c2条件的（a，b，c）勾股数b值都可表为b=（a2-Q2）÷2Q关系，其中Q =c-b；故所述公式条件a、b、c是勾股数条件成立；然后证明，a2标准分解因数全排列重组条件得到的不大

8、于a全部Q值，就是含a全部勾股数数量。证：如a为大于3的奇素数，不大于a的a2标准分解因数全排列重组条件得到的全部Q值只有1，而a为大于3的奇素数时只能组成一组勾股数，公式条件成立；如a为大于3的奇合数，现以a为15为例，不大于15的152标准分解因数全排列重组条件得到的152=1×32×52，由公式条件得到满足b 为整数的Q值条件是：Q =1，Q =3，Q =5, Q= 32 =9；共4个，而a为15时的全部勾股数刚好也是4组，它们是（15，112，113）；（15，36，39）；（15，20，25）；（15，8，17）；所述公式条件仍成立；如a为大于3的偶数，现以a为1

9、0为例，不大于10的102标准分解因数全排列重组条件是102=1×22×52，去掉一个2后符合公式条件的Q值只有Q =2，而a为10时的全部勾股数刚好也是1组，它就是（10，24，26）；所述公式条件仍成立；所以，当a遍取3、4、5 时，定a直求法得到的勾股数是自然数中的全部勾股数。故勾股数通解公式得证。2.3 推论：若a为奇素数P，含a之a2+b2=c2有唯一互素整数解；（此时Q=1）若a为奇合数，含a之a2+b2=c2有a所含素因子数量L的2L-1组互素整数解；（此时Q=1，Q=a2所含素因子的最高方幂和最高方幂积）若偶数a为2P（P为奇素数），含a之a2+b2=c2有

10、唯一不互素整数解；（此时Q=2）若a为4n+2型偶数，含a之a2+b2=c2皆为不互素整数解；（此时Q=2，Q=a2所含全部有效因数的重组偶数积）若a为4n型偶数，含a之a2+b2=c2有a所含素因子数量L 的2L-1组互素整数解；（此时Q=2，Q=2×a2所含不同素因子的最高方幂和最高方幂积）平方和整数解性质在任意分项时都成立，和、项都为平方数的不定方程皆有无穷多组非零正整数解；c2=a2+b2d2=a2+b2+c2e2=a2+b2+c2+d2f2=a2+b2+c2+d2+e2 由于直角三角形边长二项平方和a2+b2=c2的特殊几何意义，所以平方整数解的三项式、四项式、五项式、六项

11、式都可推导出其对应的几何规律。2.4 应用实例例1利用勾股数通解公式求直角三角形a边为15时的全部边长整数解？解：由Q的取值方法分解a2得到：152=12×32×52，由公式1条件得到Q =1，Q =3，Q =5, Q= 32 =9；利用b=（a2-Q2）÷2Q； c= b+ Q关系计算得到： b=（152-12）÷（2×1）=112； c= 112+ 1； 所以有：152+1122=1132 b=（152-32）÷（2×3）=36； c= 36+ 3； 所以有：152+362=392 b=（152-52）÷（2&

12、#215;5）=20； c= 20+ 5； 所以有：152+202=252 b=（152-92）÷（2×9）=8； c= 8+ 9； 所以有：152+82=172例2计算a=60时a2+b2=c2全部平方整数解？解：根据公式1，由Q的取值方法分解a2得到：602=12×24×32×52，去掉一个2后有效因数为12×23×32×52，取这些因数重组不大于60的偶数积为Q，所以有Q=2，Q=22=4，Q=2×3=6，Q=23=8，Q=2×5=10，Q=22×3=12，Q=2×32

13、=18，Q=22×5=20，Q=23×3=24，Q=2×3×5=30，Q=22×32=36，Q=23×5=40，Q=2×52=50； 利用b=（a2-Q2）÷2Q； c= b+ Q关系计算得到： b=（602-22）÷（2×2）=899； c= 899+ 2； 所以有：602+8992=9012 b=（602-42）÷（2×4）=448； c= 448+ 4； 所以有：602+4482=4522 b=（602-62）÷（2×6）=297； c= 297+

14、6； 所以有：602+2972=3032 b=（602-82）÷（2×8）=221； c= 221+ 8； 所以有：602+2212=2292 b=（602-102）÷（2×10）=175； c= 175+ 10； 所以有：602+1752=1852 b=（602-122）÷（2×12）=144； c= 144+ 12； 所以有：602+1442=1562 b=（602-182）÷（2×18）=91； c= 91+ 18； 所以有：602+912=1092 b=（602-202）÷（2×20）=

15、80； c= 80+ 20； 所以有：602+802=1002 b=（602-242）÷（2×24）=63； c= 63+ 24； 所以有：602+632=872 b=（602-302）÷（2×30）=45； c= 45+ 30； 所以有：602+452=752 b=（602-362）÷（2×36）=32； c= 32+36； 所以有：602+322=682 b=（602-402）÷（2×40）=25； c= 25+ 40； 所以有：602+252=652 b=（602-502）÷（2×50）=

16、11； c= 11+ 50； 所以有：602+112=612例3请利用定a直求法和增比法求出8个a边长为11的直角三角形边长关系（b、c可取1-8位小数）；解：由计算得出：112+602=612 （a取11，Q =1；）112+9.62=14.62 （a取110，Q =50；）112+26.42=28.62 （a取110，Q =22；）112+3024.992=3025.012 （a取1100，Q =2；）112+30249.9992=30250.0012 （a取11000，Q =2；）112+7562.4962=7562.5042 （a取11000，Q =8；）112+15124.9982=

17、15125.0022 （a取11000，Q =4；）112+10.436718752=15.163281252 （a取1100000000，Q =472656250；）例4请利用定a直求法和增比法求出1组a=的a2+b2=c2关系；解：首先取×29=2，再取2×100=200；用200做整数a并做a2标准分解得到：2002=12×26×54，去掉一个2后有效因数为12×25×54，现取25=32为Q，代入公式计算得到： a= 200 b=（a2-Q2）÷2Q=（2002-322）÷64=609 c= b+ Q =6

18、09+32=641同比缩小100倍后得到平方和关系：22+6.092=6.412等式两边同时除29得到：（）2+（）2= （）2把bc项的分子化为整数并化简得到：（）2+（）2=（）2例5计算a=1155时a2+b2=c2全部含a之互素平方整数解？解：由于1155为奇合数，分解11552得到：11552=12×32×52×72×112，它有4个素因子，所以1155含有24-1=8组互素整数解；它的Q值是：Q =1，Q=32 =9，Q=52 =25，Q=72 =49，Q=112 =121，Q =32×52=225，Q =32×72=44

19、1，Q =32×112=1089， 利用b=（a2-Q2）÷2Q； c= b+ Q关系计算得到互素整数解是：b=（11552-12）÷（2×1）=667012；c= 667012+ 1； 所以有：11552+6670122=6670132b=（11552-92）÷（2×9）=74108； c= 74108+ 9； 所以有：11552+741082=741172b=（11552-252）÷（2×25）=26668；c= 26668+ 25； 所以有：11552+266682=266932b=（11552-492）&#

20、247;（2×49）=13588；c= 13588+ 49； 所以有：11552+135882=136372b=（11552-1212）÷（2×121）=5432；c= 5432+ 121；所以有：11552+54322=55732b=（11552-2252）÷（2×225）=2852；c= 2852+ 225；所以有：11552+28522=30772b=（11552-4412）÷（2×441）=1292；c= 1292+ 441；所以有：11552+12922=17332b=（11552-10892）÷（2&#

21、215;1089）=68；c= 68+ 1089； 所以有：11552+682=11572例6. 请利用通解公式实际计算出5组c-b=5329的互素平方数整数解？解：根据 Q=c-b关系和定a直求法则，利用a2的标准因数分解中因数的最高方幂为Q时是互素勾股数性质，取Q=5329=732；由b=（a2-Q2）÷2Q；c= b+ Q关系计算得到如下互素平方数整数解：70812+20402=73692 70812=12×732×972140892+159602=212892 140892=12×732×1932 467932+2027762=2081

22、052 467932=2×732×64123713512+129361202=129414492 3713512=2×732×5087221842332+4476304562=4476357852 21842332=1×732×5299212例7. 请实际计算出3项、4项、5项、6项的和、项都为平方数的不定方程的非零正整数解？解：计算得到：1452=82+152+14423772=82+152+1442+348224652=82+152+1442+3482+2436228252=82+152+1442+3482+13802+24362

23、3. 勾股数再生公式（a、b定差公式法）3.1 定义2：同差直角三角形我们把直角三角形a2+b2=c2的整解关系表为（a，b，c），在直角三角三边（a，b，c）整解关系中，如两个直角三角形边长b-a之差相同，则称这两个三角形为同差直角三角形。例如：由32+42=52；202+212=292，所以三角形（3，4，5）；（20，21，29）是同差直角三角形；由52+122=132；482+552=732，所以三角形（5，12，13）；（48，55，73）是同差直角三角形； 3.2 公式2.勾股数再生公式；如（a，b，c）是直角三角形边长的一组整解（勾股数）满足a2+b2=c2关系，如有：a1=2(

24、a+c)+b b1=2(b+c)+ac1=2(a+b)+3c则此时的（a1，b1，c1）也是平方整数解（勾股数）关系，且具有b-a与b1-a1同差性质；此时的（a，b，c）（a1，b1，c1）具有相同的互素与不互素性质及同因数性质； 证：首先证明（a1，b1，c1）也是平方整数解（勾股数）关系成立；若（a1，b1，c1）是勾股数必由（a，b，c）条件满足a12+b12=c12关系；由a12=(2(a+c)+b)2,展开后得到(2(a+c)+b)2=4a2+4ab+8ac+4bc+b2+4c2； (1)式由b12=(2(b+c)+a)2,展开后得到(2(a+c)+b)2=4b2+4ab+8bc+

25、4ac+a2+4c2； (2)式由c12=(2(a+b)+3c)2,展开后得到(2(a+b)+3c)2=4a2+8ab+12ac+12bc+4b2+9c2,； (3)式由a12+b12=c12关系取(1)+(2)得到: 5a2+8ab+12ac+12bc+5b2+8c2, (4)式比较(3)式(4)式,取(4)-(3)得到a2+b2-c2；由此得到,对满足a2+b2=c2关系的整数（a，b，c），公式条件成立；继续证明公式b-a与b1-a1同差；证：由公式（a，b，c）已知条件得到，b-a之差为b-a；由公式（a1，b1，c1）已知条件得到，b1-a1之差为：b1-a1=2(b+c)+a-（2

26、(a+c)+b）=2b+2c+a-2a-2c-b=b-a所以得到公式b-a与b1-a1同差关系成立；然后证明（a，b，c），（a1，b1，c1）同不互素，同因数；同互素；证：若（a，b，c）不互素且含有共同因数k，则由公式条件a1=2(a+c)+b b1=2(b+c)+ac1=2(a+b)+3c可知，和积结果（a1，b1，c1）必同时含有因数k，必不是互素整数组；若（a，b，c）互素不含有共同因数，则由勾股数性质，凡互素（a，b，c）必两奇一偶，其中c必为奇数，故a，b不能同奇偶。现由交叉换位的同逻辑条件可知，公式中a1=2(a+c)+b；b1=2(b+c)+a；c1=2(a+b)+3c的（a

27、1，b1，c1）值，c1的值必为奇数，a1，b1必一奇一偶。这里我们设得到的（a1，b1，c1）不互素且都含有公因子k，即（k-1a1，k-1b1，k-1c1）整数关系成立,则可由乘法分配率条件得到：k-1a1=2(k-1a+ k-1c)+ k-1b k-1b1=2(k-1b+ k-1c)+ k-1ak-1c1=2(k-1a+ k-1b)+3 k-1c这和我们给定的（a，b，c）是互素勾股数不含公因数的条件相矛盾。所以，如（a，b，c）是互素勾股数，由公式得出的（a1，b1，c1）也是互素的。所以公式同不互素，同因数；同互素性质得证；故勾股数再生公式得证。3.3公式应用例子以下我们将实际看到公

28、式b-a与b1-a1同差性质，（a，b，c），（a1，b1，c1）相同的互素与不互素性质及同因数性质的存在： 实例1任取一组互素勾股数（3，4，5）；这里b-a=4-3=1，代入公式得到：a1=2(3+5)+4=20 b1=2(4+5)+3=21c1=2(3+4)+3×5=29而202+212=292，所以此时（a1，b1，c1）也是勾股数；由于4-3=1；21-20=1；所以存在b-a与b1-a1同差性质；现（3，4，5）是互素勾股数，而（20，21，29）也是互素勾股数；故所述公式关系成立；实例2再任取一组互素勾股数（15，8，17）；这里8-15=-7，代入公式得到：a1=2(

29、15+17)+8=72 b1=2(8+17)+15=65c1=2(15+8)+3×17=97而722+652=972，所以此时（a1，b1，c1）也是勾股数；由于8-15=-7；65-72=-7；所以存在b-a与b1-a1同差性质；现（15，8，17）是互素勾股数，而（72，65，97）也是互素勾股数；故所述公式关系仍成立；实例3再任取一组不互素勾股数（35，84，91）；这里84-35=49，（35，84，91）含有共同因数7，代入公式得到：a1=2(35+91)+84=336 b1=2(84+91)+35=385c1=2(35+84)+3×91=511而3862+3852=5112，所以此时（a1，b1，c1）也是勾股数；由于84-35=49；385-336=49；所以存在b-a与b1-a1同差性质；现（35，84，91）是不互素勾股数，而（336，385，511）也是不互素勾股数；