专题--数列求和的基本方法和技巧

1、数列求和的基本方法和技巧1、2、3、利用常用求和公式求和等差数列求和公式:等比数列求和公式:SnSnSn 八 kn(n 1)k2_1例1已知log3 x二log2 31解：由 log3 x =:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n（a1 an）“ n（n -1）na1d2 a1(1 qn).q(q=1)a1 a n q1 -q(q = 1)4、Sn 八 k2 =丄n(n 1)(2n 1)76n5.& 八 k3k=1，求x x2亠xn山的前n项和.log 2 3由等比数列求和公式得2Sn 二 X Xx3九-xn（利用常用公式）1 1X(1 _xn) = 2(1 歹)=1 _

2、丄1-x =彳 1=2n2例 2设 Sn= 1+2+3+ +n , n N，求 f(n)的最大值.(n 32)Sn !解：由等差数列求和公式得Sn11n(n 1), Sn (n 1)(n2)22（利用常用公式）Snf(n) 一(n+32)Sn十=n2 +34n +641 =642n 34(i n )50n当、n - 8，即 n= 8 时，f (n)V8max150二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3 亠亠（2n -1）xn 解：由

3、题可知，（2n- 1）xn4的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列 xn_1的通项之积设 xSn =1x 3x2 5x3 7x(2n _1)xn（设制错位）（错位相减）得(1 x)Sn =1 2x 2x2 2x3 2X42xn一(2n 一 1)xn再利用等比数列的求和公式得:(1 _X)Sn =1 2X1-xn1 -X-(2n - 1)xnSn二(2n -1)xn 1 -(2n 1)xn (1 x)(1 - x)2练习求数列 2 ,上2 ,爲，；李，前n项的和.2 2 2 2、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可

4、以得到 n个（a1 an）.例 5求证：C0 3C： 5C；（2n 1）C： = （n 1）2n证明：设 Sn =C0 3C1 5C2 - (2n 1)C： 把式右边倒转过来得Sn=(2 n1)C：(2 n-1)C：_ 3C：C；又由cnB=c：q可得Sn=(2n1)C0(2n-1)C：3CTC： .+得 2Sn =(2n+2)(C0 +cn + +Cnn) = 2(n+1) 2n（反序）（反序相加）Sn =(n 1) 2n练习求 sin 1 sin 2 sin 3 rin 88 sin 89 的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、

5、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例.求数列的前n项和：1 1,4,2 7,；一応 3n - 2，a aan1 1 1解：设 Sn = （11）（4）（ 27）囂几（匸7 3n _ 2）aaa将其每一项拆开再重新组合得1 12a1Sn = (1-a当 a= 1 时，Sn 二 nn 4) (1 4 7飞n _ 2)a.(3n-1)n(3n1)n2 2（分组）（分组求和）J当 a=1 时，Sn = an .=1 1a1 _na-a(3n -1)na -1练习.求数列n（2n+1）的前n项和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（

6、通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an= f(n 1) - f(n)(2) ann(n 1)(3)an(2n)2(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1(4)ann(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)an 二2(n1) -n 1n(n 1)2nn(n 1)2n1 1，则Sn =1 -(n 1)2n n(n 1)2n例9求数列一丄12. 23. n 、n 1的前n项和.（裂项）解：设an则Sn（裂项求和）=(2 - 一1) (、3 - 2)( n 1 -、n) = n 1 -112n2练习.在数列an中，a

7、n，又bn，求数列bn的前n项的和.n +1 n +1 n +1an六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 13数列an:印=la?二3,a3 = 2,an 2 二 a.计 一a.,求 S2002.解：设 S20O2= a1 a2a a2002由 a1 = 1, a2 = 3, a3 二 2, a* 2 二 a*- a* 可得a = -1, a = -3, a6 = -2,a7 =1, a8 =3a9= 2,ai0= -1,a1 = - 3, ai2 = -2,a6k 1-1, a6k 2二 3

8、,a6k 3-2,36k 4a6k 5-3, 6a6k 1 a6k 2（找特殊性质项）S2002 = &132 a 32002（合并求和）=(31323336 )(37a312 6k 1 36祁236k 6 )+1993耳99431998) 31999 32000 3 2001 32002=31999 32000 32001 32002 = 36k 1 36k 2 36k 3 36k：；4 = 5练习在各项均为正数的等比数列中，若3536 = 9,求log3a log3a2爲log3 a0的值.练习 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15求111 111亠 亠1111之和.n个111解：由于 11119999(10k -1)k个 19k 个 19（找通项及特征）