专题：电磁感应导体棒问题

1、专题：电磁感应导体棒问题电磁感应导体棒问题涉及力学、功能关系、电磁学等一系列基本概念、基本规律和科学思维方法。分清不同性质的导轨，熟悉各种导轨中导体的 运动性质、能量转化特点和极值规律，对于吃透基本概念，掌握基本规律, 提高科学思维和综合分析能力，具有重要的意义。主干知识、发电式导轨的基本特点和规律如图1所示，间距为I的平行导轨与电阻R相连，整个装置处在大小为 B、垂直导轨平面向上R的匀强磁场中，质量为m电阻为r的导体从静止开始沿导轨滑下，已知导体与导轨的动摩擦因数为卩图1mg求：棒下滑的最大速度.1、电路特点导体为发电边，与电源等效，当导体的速度为v时，其中的电动势为E=BIv2、安培力的特

2、点安培力为运动阻力，并随速度按正比规律增大。2 2Fb=BII 二B_| = B I v 二 vR r R r3、加速度特点加速度随速度增大而减小，导体做加速度减小的加速运动mg sin 日-»mg cos日一B2l2v/( R +r) a =m4、两个极值的规律当v=0时，Fb=O,加速度最大为am=g （sin 0 -卩cos 0）当a=0时，艺F=0,速度最大，根据平衡条件有mgsin 0 =卩 mgcos0 +（R +r）所以，最大速度为：vm =畋竺2響）（R ）B2l25、匀速运动时能量转化规律当导体以最大速度匀速运动时，重力的机械功率等于安培力功率（即电功率）和摩擦力功

3、率之和，并均达到最大值。Em"Pg =mgVmSi n6PqR+R Pf 二 FmVmmEm二=舗但）Pf = Jmgvm cos：当 =0时，重力的机械功率就等于安培力功率，也等于电功率，这是发电导轨在匀速运动过程中，最基本的能量转化和守恒规律。mgvmsin 0 =Fmvm=I mEm- Em _ i m（r 亠 r）例1、如图所示，两根平行金属导轨abed,固定在同一水平面上，磁感应强 度为B的匀强磁场与导轨所在的平面垂直，导轨的电阻可忽略不计。一阻 值为R的电阻接在导轨的be端。在导轨上放一根质量为 m，长为L,电阻 为r的导体棒ef,它可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中与导轨

4、接触良好 并保持垂直。（1）若导体棒从静止开始受一恒定的水平外力 F的作用求：导体棒获得的最大速度时，ef的位移为s,。e¥ XX-X1XX rXBxXXXXXXXbfa整个过程中回路产生的焦耳热。（2）若金属 棒ef在受到平行于导轨，功率恒为 P的R 水平外力作用下从静止开始运动。求:金属棒 ef的速度为最大值一半时的加速度 a。二、双动式综合导轨的基本特点和规律个丿fB八飞r如图所示，宽为I的光滑平行导轨的水平部分处于方向垂直导轨平面 向上的匀强磁场中。质量为 m电阻为r的导体从高h处由静止开始滑vM下，而且与原来静止在水平轨道上hVm*质量为M电阻为R的导体始终没有碰撞。1、电

5、路特点两导体同方向运动，开始电动势较大的为发电边，与电源等效；电动势较小的为电动边，与电动机等效。2、电流特点导体m进入磁场后，开始切割磁感线，产生感应电动势，并在回路中形 成感应电流；同时，在安培力的作用下，导体 M也同向运动，产生反电动 势。根据欧姆定律，电路中的电流可以表示为：BlVm -BIVmR r BI(Vm - Vm )R+r所以电流随两导体的相对速度 Vm-VM的减小而减小。当VM=0时电流最大当Vm=VM，电流1=03、安培力、加速度特点安培力对发电边为阻力，对电动边为动力，在轨道宽度不变的情况下,两边的安培力大小相等，方向相反即矢量和为零。安培力的大小可表示为:Fb =BI

6、I=B2|2(Vm -Vm )R+r所以安培力也随两导体的相对速度 Vm-VM的减小而减小。当Vm=0时安培力最大。当VhFVm,安培力Fb=0据牛顿第二定律知：加速度a随安培力的变化而变化4、速度极值根据机械能守恒定律，发电边进入水平轨道时速度的最大值为vmax 二 V。二 2gh当两者达到共同速度时，发电边的速度达到最小值，电动边的速度达最 大值。根据系统动量守恒，所以有mv0 = (m M )vmvov =m M5、全过程系统产生的热当相对速度为零，即Vm=VM=V时，电流为零，回路不再消耗电能一一两 导体开始以共同速度v匀速运动。根据全过程中能转化和守恒规律，有1 2mgh (m M

7、)v2 Q2所以全过程中系统产生的热为：1 2 MmghQ = mgh (m M )v2 m + M6、全过程两导体产生的热量之比与电阻成正比根据连导体串联电路中，每时刻通过的电流相等，从而有Q=l2Rt所以全 过程中两导体产生的热之比为：Qr 丄Qr R例2电容冲电式导轨的基本特点和规律如图所示，宽为I的光滑竖直导轨，处于磁感应强度为B方向垂直导轨 平面的匀强磁场中，上端接有电容为C的电容器。一根质量为 m的导体，从静止开始沿导轨滑下1、电路特点导体为发电边，在加速运动的过程中不断对电容器充电，电 路中始终存在充电电流2、三个基本关系在重力和安培力的作用下，导体的加速度可以表示为：mg _F

8、b a =受到的安培力可以表示为：Fb=BI1回路中的电流可以表示为：I I二竺二吐CBLW二CBIaAtAt At3、四个重要结论结论一：导体做出速度为零的匀加速直线运动证明将、式代入得：加速度为mgm CB2L2结论二：电路中的充电电电流恒定不变，为恒定直流证明：将加速度a之值代入式，所以，电流为:CBImgmg CB2|2结论三：导体受到的安培力为恒力证明：将电流代入安培力公式得,fbCB2|2mgm CB2I2结论四：电容器储存的电场能等于安培力做的功证明:1 2WF = FBh 二 BII (at2)21 2二 B(CBIa)I( at2)21 2C(BIat)221 2C(BIv)

9、22式中BIv=E,即导体的电动势，也即电容器连极板间的电压，所以，安培力的功等于电容器储存的电场能丘，即1 2WFCE 二 EcF 2 c例2、如图所示，导体棒ef、bc处于水平放置宽 度不同的足够长的平行金属导轨上，L1=2L2,导 体棒bc和ef的质量均为m磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面。现固定 bc棒，给ef 一水平向右的初速度V0,不计导轨电阻及摩擦。问：当 bc棒不固定时，ef以V。起动后整个运动过程中产生多少热量？练习: 上，放置两根质量均为 m电阻均为R的导体a和b,处于方向竖直向上的 大小为B的匀强磁场中。如果对导体a价水平向右的恒力F，是计算：例1、如图所示，在间

10、距为I的光滑的水平导轨（1）导体a的加速度的最小值和导体b的加速度的最大值是多少？（2）两导体最终的相对速度【解析】但两导体开始运动后，导体 a为发电边，受到的安培力为阻力， 做加速度减小的加速运动；导体 b为电动边，受到的安培力为动力，做加 速度增大的加速运动。（1）当两者的加速度相等时，导体 a的加速度达到最小值，导体b的 加速度达到最大值。以系统为研究对象，根据牛顿第二定律，两极值为Fa min a max 2m（2）以导体b为研究对象，根据牛顿第二定律，安培力为1匚FB f尹从而有 1F=BII=B'（B岭22R这时，两导体的相对速度（Va-Vb）、电路中的电流I也恒定不变。所

11、以 两导体最终的相对速度为FRVab =仏-Vb）尹B I例2、如果上题中，导体a以初速度Vo向导体b运动，两导体始终没接触， 试计算：（1）在运动中产生的焦耳热是多少？B（2）当导体a速度减少1/4时，导体b的加速度是多大？【解析】当两导体运动后，导体 a为发电边，受到的安培力为阻力做加速 度减小的减速运动；导体 b为电动边受到的安培力为动力，作加速度减小 的加速运动。（1）当两者达到共同速度v,即E=E反时，电路中无电流机械能不再转 化为焦耳热。根据系统的动量和能量守恒，有mV。= 2mv1 212mv0（2m）v Q2 2所以，产生的焦耳热为1 2 2 1 2 Q mv0 - mv mv

12、024（2）当导体a的速度减小1/4，即va=3vo/4时，根据动量守恒得，口 rv0mv。二 mva mvb,贝0 vb :4这时导体b受到的安培力为Fb訂I訂（毗一呗）12. 22R4R所以这时导体b的加速度为2 2_Fb B 丨 voab :m 4mR例5、如图所示，宽为L=1m倾角B =30°的光滑平行导轨与电动势为 E=3.0V、 内阻r=0.5 Q的电池相连接，处在磁感应强度B二仝t、方向竖直向上的匀强3电场中。质量为m=200g电阻R=1 Q的导体ab从静止开始运动。不计其余 电阻，且导轨足够长，试计算：（1）若在导体ab运动t=3s是将开关合上，这时导体受到的安培力是

13、多大？ 加速度是多少?(2)导体ab的收尾速度是多大?(3) 当达到收尾速度时，导体ab的重力功率、安 培力功率、电功率，以及回路中焦耳热功率各是多少？【解析】在电路接通前，导体ab在3s末的速度Vo = at 二 gtsin v - 15m/ s导体ab的电动势为Eab = BLvo cost - 7.5V - E = 3V因此，导体ab于电源等效，而电池为被充电的反电动势负载平向右,(1)所以，开关S和尚时导体ab阿后到的安培力水大小为Eab E厂Fo 二 BloL 二 B 辿 L = . 3N R +r而导体的加速度为aomg sinFo cos-m=-2.5m/s2式中负号表示加速度方

14、向沿斜面向上，即导体沿斜面作减速运动。(2)以沿斜面向上为正方向，导体加速度的一般表达式为F cos： - mgs in 二a 二mBL(Eab -E) 一 一cos g sinm(R r)因此导体做加速度减小的加速运动，当 a=o时，速度最小，然后以最小速度开始匀速运动。从而有mg sin v =BLgn cosyR r所以收尾速度为V minmg(R 那阳 2BELcosSi2m/sB2L2 cos2 r(3) 当导体以收尾速度匀速运动时，导体ab的重力功率、安培力功率和电功率大小相等，即：p = mgVmin sin 12W同理，还有PI min Emin =丨 min BLVmin C

15、Os 二则电路中电流为PImin2ABLVmin COS日所以回路中焦耳热功率为P热二 l；in(Rr)=6W如图所示，两根光滑的水平放置的平行导轨，相距为d,两根质量均为m金属棒ab、cd平行静止在导轨上，金属棒与导轨垂直，其中ab棒用长为 L的绝缘细线悬挂在支架上，细线伸直，ab恰好与导轨接触，整个装置处 于竖直向上的匀强磁场中，现把ab棒移至水平位置a/b/，从静止开始释放， 到最低点与轨道接触，又继续向左摆动，摆到最高点位置a/ b/时与竖直方向成600，问电容冲电式导轨的基本特点和规律如图所示，宽为I的光滑竖直导轨，处于磁感应强度为 B方向垂直导轨 平面的匀强磁场中，上端接有电容为

16、C的电容器。一根质量为 m的导体， 从静止开始沿导轨滑下1、电路特点J4；mgB7 > 7 ? /导体为发电边，在加速运动的过程中不断对电容器充电，电 路中始终存在充电电流2、三个基本关系在重力和安培力的作用下，导体的加速度可以表示为：受到的安培力可以表示为：Fb=BII回路中的电流可以表示为："十乎普 53、四个重要结论结论一：导体做出速度为零的匀加速直线运动证明 将、式代入得：加速度为a二一mg m+CB L结论二：电路中的充电电电流恒定不变，为恒定直流。证明：将加速度a之值代入式，所以，电流为：I CBlmg-mg CB2l2结论三：导体受到的安培力为恒力证明：将电流代入

17、安培力公式得，CB2l2mgFB 二 m+CB l结论四：电容器储存的电场能等于安培力做的功证明:1 2 WF 二 FBh 二 BII (at )21 2二 B(CBIa)I( at2)21 2 C(BIat)221 2C(BIv)22式中BIv=E，即导体的电动势，也即电容器连极板间的电压，所以，安培力的功等于电容器储存的电场能压，即1 2 WfCE 二 Ec2例2如图3-9-4所示，两根竖直放置在绝缘地面上的金属导轨的上S 3-5-4端，接有一个电容为C的电容器，框架上有一质量为 m长为I的金属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高度为h,磁感强度为B的匀强磁场与框架平面

18、垂直.开始时，电容器不带电.将 金属棒由静止释放，问：棒落地时的速度为多大？（整个电路电阻不计） 本题要抓几个要点：电路中有无电流？金属棒受不受安培力作用？若 有电流，受安培力作用，它们怎样计算？为了求出金属棒的速度，需要 用力学的哪种解题途径：用牛顿运动定律？动量观点？能量观点？师：本题与例1的区别是，在分析金属棒受什么力时首先思维受阻：除 了重力外，还受安培力吗？即电路中有电流吗？有的学生认为，虽然金属 棒由于“切割”而产生感应电动势 '但电容器使电路不闭合故而摻Elv二屮二它门二备辽八？上I： 订 为了判 断有无电流，本题应先进行电路的组成分析，画出等效电路图.图 3-9-5（学

19、生画图，见图 3-9-5 .）问：电路中有电流吗？（这一问题对大多数学生来说，根据画的电路图都能意识到有电容器充 电电流，方向为逆时针.）再问：这一充电电流强度I应怎样计算？（运用什么物理概念或规律？）有的学生会照常规写山"R十r但很快会发现虫翹个屯路的屯阻不计”这一条件，因而思维又发生障碍.追问：这个电路是纯电阻电路吗？能否应用欧姆定律求电流强度? 让学生认清用欧姆定律根本就是“张冠李戴”的.引导：既然是给电容器充电形成电流，那么电流强度与给电容器极板上 充上的电量Q有什么关系？有的学空经引导又会想到用定义式I = °t-师：让学生判断，分析确定金属棒受的合外力怎样变化时，要考虑安培 力的变化情况，所需确定的是瞬时电流，还是平均电流？（瞬时电流Q 1=-是瞬时