工程光学习题解答第十二章光的衍射

1、第十二章光的衍射1.波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求(1)衍射图样中央亮纹的半宽度；(2)第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；(3)第一亮纹和第二亮纹的强度。解：(1)零强度点有asinn(n1,2,3).中央亮纹的角半宽度为2亮纹半宽度r°f0.01m50105001030.02510(2)第一亮纹，有一asin14.4934.4931a4.4935001093.140.025100.0286rad-一一2一一一.一r1f150100.02860.0143m14.3mm同理r224.6mm2.

2、平行光斜入射到单缝上，证明(1 )单缝夫琅和费衍射强度公式为2(3)衍射光强III。叱,其中asin当asinn时为暗纹，tg为亮纹对应级数|10001122asin(sinsini)II0式中，I0是中央亮纹中心强度；a是缝宽；是a(sinsini)衍射角，i是入射角(见图12-50)(2)中央亮纹的角半宽度为acosi，对于中央亮斑sinsini一a3 .在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm,所用透镜的焦距为30mm,光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少解：设直径为a,则有fdaf632.81090.03a-30.0126mmd1.51034 .利用第三节的

3、结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强a度公式，并求出当b万时，（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。解:同样，解12-51P点振明飒6图22J1kbEbpb2c'kb因此圆环在P点产生的振幅为E EaEb22 .a J1 ka c'ka2b J1 kbkbP点强度为I E22c'22 .a J1 kakab2J1 I kb2kb对于衍射场中心,b242 ,2 ac'b42. 2a bc a2 b2 2(1)9ca16(2)Ia 016第一暗纹有2 .a J1 kaka2b J

4、1 kbkbaJi ka1 aJ12查表可有ka3.144ka3.1443.144 0.51 2 a a4.（1） 一束直径为2mm的氨速激光（632.8nm)自地面射向月球，已知地面和月球相距3.76 103km,问在月球上得到的光斑有多大（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为 4m的光束, 在月球上的光斑为多大该用多大倍数的望远镜将扩束后的光束再射向月球,解：（1）圆孔衍射角半宽度为0.61，传到月球上时光斑直径为0.61D 2 l 2 a0.61 632.8 10 91 10 33.76 1 08 2 90.3km（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。直径D' 2

5、 'l 2 06 l 20.61632.810983.7610145.2m5.若望远镜能分辨角距离为 3 10 7 rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率解：D一一一一一 一 9 一0.610.61 550 1023 10 72.24m6.7.人眼分辨率为1'一 一 42.9 10 rad103 10 74B900若要使照相机感光胶片能分辨2时线；（2）照相机镜头的相对孔径解：（1）胶片分辨率为 D 1.22d台显微镜的数值孔径为的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当D/f至少有多大（光波波长为 550nm）N上 2

6、 10 3N B-1490500线/毫米0.340.85,问（1）它用于波长400nm时的最小分辨距离是多少（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到,分辨率提高了多少倍（3）显微镜的放大率应设计成多大（设人眼的最小分辨率为1 )。解：（1）0.61nsin u90.61 400 10U. 4 D0.8510提高(3)0.85人眼在明视距离处能够分辨的长度为10 2mme250mm2502.91047.25，放大率至少为27.25102mm34250.2910mm1.78.在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长632.8nm,透镜焦距f50cm,观察到两相邻亮条纹之间的距离e1.5mm,并且第四级亮

7、纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1,2,3级亮纹的相对强度。解：（1）双缝衍射亮纹条件为dsinm,m0,1,2取微分有dcos令m1,且cos1,则Bd又Qeffd632.8 10 9 0.531.5 1030.21 10 m(2)衍射极小位置为asinnad,n1,2m0,1,2nm取n1,m4d0.05mm4dsin（3）对于第一级亮纹有rr2即dsin又Qd4aasinasin第一级亮纹的相对强度”10sin20. 22 sin 一-2_sin 一_40.81sin 一2I30.4,0.09I09.在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm,折射率为的玻璃片。设双缝间距为1.5

8、m,缝宽为0.5m,用波长500nm的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。解：衍射图样不变，干涉位置变为dsinnn0dm10.一块光栅的宽度为10cm,每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500nm。问（1）它产生的波长632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少（2）若入射光是波长为632.8nm和波长之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少1mm 1mm2 106m500对于一级主极大有d sin1 18.43r1Nd cos3.34 10 3mm3同理r24.0810mm Q d sin，线色散ml m f d cos.1,2级衍

9、射线色散为0.26mm/ nml500mm10.002mmcos18.430.64mm/nm2而0.5nm谱线间距l1-0.26mm/nm0.50.13mm1l20.32mm设计一块光栅，要求（1）使波长色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级， 0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后, 的几条谱线军：为使 600nm的二级谱线的衍射角m 2 600 10 9d 2.4 1600nm的第2级谱线的衍射角300 , （2）（4）在波长600nm的2级谱线处能分辨问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm30 ,则光栅常数d应满足6 msinsin30色散m二d越小色散越大ddcos.d2.4106m若

10、第三级缺级，应有a-0.8106md一600,由条件（4）N15000m0.022.光栅总长度LNd36mmd sin可看到最局级条纹为m d 2.4 10 6,-94600 10可看到0,1,2级，3级缺级，共5条条纹。12.为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氢就激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz）,光栅需要有多宽解：632.8nm对应的频率为4.7411014Hz4501064荷632.8610nm4.74110632.86.光栅总条纹数为N41.005106m610461.长度为LNd1.005106879mm120022一sinsi

11、nN13. 证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为IIo式sin,ad中sinsini,sinsini为衍射角；i为入射角，见图12-53, N为光栅缝数。（2）若光栅常数 d,光栅形成主级大的条件可以写为d cosi图12-53习题18图22证明：（1）与垂直入射相比，有dsinsinisinsinia.同理sinsini（2）光栅形成主极大有dsinsini14.2dcos2Qd?icos2.有dcosi,i0icosi,sin212-54所示，缝数为2N,缝宽为a,缝间不透明部分的宽度有一多缝衍射屏如图依次为a和3a。试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。6as

12、insin其中一asin19图A习题单缝产生的复振幅为图12-54，多光束产生干涉有sini2ei3esinsin设复数M1eiei11ei.Nsin2iNeeiexpiN11ei21expiN1一24cos22透射光强I4Iosin.Nsin241cos12bsinsinI4I0cos2sin6N15. 一块闪耀光栅宽260mm,每毫米有300个亥U槽，闪耀角为77012。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大（3）试问空气间隔为1cm,精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。解：（1）光栅刻痕数为N7.810

13、4d12mmsin7712'闪耀级数为m一"一3006B13500106mm，分辨本领为mN106,ye500,(2)自由光谱范围为38.5nmm132h6(3) F-P标准具的分辨为A0.97ms0.97sB106自由光谱范围为250027 0.0125nm2h 2 10比光栅小得多16. 一透射式阶梯光栅由20块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板t1cm,玻璃折射率n1.5,阶梯高度d0.1cm。以波长500nm的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级次；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。解：（1）由于阶梯高度d

14、与相比极大，所以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光程差为nlcosldsinn1ldn1l4对应0处，m0104(2) Qn1ld设n与相比变化很小，即,0m2.,10rad/nmd分辨本领AmN10420210517. 设光栅的振幅透射系数为t(x)tgtcos2%xtcos(2f°x),这块光栅的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑各斑的中心强度与零级的比值是多少18. 在宽度为b的狭缝上放一折射率为n、折射角为的小光楔，由平面单色波垂直照射(见图12-55),求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。19. 图12-56为一透射型闪耀光栅，周期为d,闪耀角为，由平面波垂

15、直入射(1)求夫琅和费衍射图样的光强分布。(2)求光栅对m1级光谱闪耀时应满足的条件。(3)试分析对m1级闪耀时，光谱强度分布的特点。图 12-56习题24图20. 如图12-58所示，单色点光源（波长500nm）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环。考察点P离光阑1m（SP连线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问在P点的光强和没有光阑时的光强之比是多少P图12-58习题28图解：半径为1mm的圆孔包含波带数为22Rr01mm1000mm1000mmJ6-4r0R1000mm1000mm50010mm半径为0.5mm的圆屏挡住的J'1圆环通过波

16、带数为3,由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在P点产生振1 ，、，一，1、，幅，无光阑时P点振幅为第一波带产生振幅的一，所以放置光阑前后光强变化42倍。21.波长563.3nm的平行光正入射直径D2.6mm的圆孔，与孔相距r01m处放一屏幕。问（1）屏幕上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离解：在P点包含的波带数为2 R r0r°Rr。3 21.3 1093 R1 563.3 10 9，中心为亮点321.3103r。-J91.5m563.310r。321.31090.75m4563.31022.试写出图

17、中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式b=4a)。(2) .用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜布。(3) .求在透镜L后焦面内沿x轴的光强度分布。(设缝宽为a,缝距为b,且L后焦面内沿x轴的复振幅分干涉主亮纹间距其它t()0,或(H)。t(rect(2)复振幅分布为：a2)rect(2)E(x)1.expik(fif2)2fE()eikldE(x)1expik(fif2x27)E()eikl1-expik(fx22f)2a./a、sin(-x)axfbcos(-x)(3)光强度分布为:I(x)4I0asin(-px)2,cos(x)2eiklx1dxia2ikliklikla2iklxe1d(iklx1)a2ikla2exdxikla2iklaiklae2e2ikli2sin(kla)sin(kla*/la、sin(一)lakl