第9章 线性系统理论

1、DIP常用于描述电路和光学系统的常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波、空间分辨率的研究提供坚实行为，为采样、滤波、空间分辨率的研究提供坚实的数学基础。的数学基础。若若x1(t) y1(t)，x2(t) y2(t)，则当且仅当则当且仅当x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)时，系统是线性的。显然，对时，系统是线性的。显然，对有理数有理数a，ax1(t) ay1(t)若若x(t) y(t)，则当则当x(tT) y(tT)时时，系统是移不变的。，系统是移不变的。若输入图像相对于其原点有一平若输入图像相对于其原点有一平移，则输出图像除了相同的平移外，其他不变。移，则输出图像除了相同的平

2、移外，其他不变。DIP( )cossinj tx tetjt可表示为向量，其中：可表示为向量，其中：22,1f j Re(x)1Im(x) t调谐信号在复平面的向量表示调谐信号在复平面的向量表示DIP输入输入:响应响应:其中其中:1( )j tx te11( )( , )( )( , )j ty tKt x tKt e111( )( )( , )( )j ty ty tKtx te平移平移x(t)，得到：得到：其响应：其响应：()21( )( )jt Tj Tj tj Tx teeeex t()21( )( ,)( ,)( )jt Tj Ty tKtT eKtT ex t线性系统的传递函数与时

3、间无关：线性系统的传递函数与时间无关：21( )( )( )j Ty teKx tDIP用线性系统来描述物理系统时，输入和输出都用用线性系统来描述物理系统时，输入和输出都用实值函数来表示。实值函数来表示。实值函数只能产生实值输出实值函数只能产生实值输出。去掉复输入的虚部。去掉复输入的虚部只会去掉复输出的虚部。只会去掉复输出的虚部。( )( )Re( )Re( )x ty tx ty t也就是说，也就是说，调谐信号的实部和虚部互相独立地通过系调谐信号的实部和虚部互相独立地通过系统统。这可以由来解释。这可以由来解释。cossinj tetjtDIP()( )( )jKAe 设输入信号：设输入信号：

4、系统响应：系统响应：则则为：为：( )cosRej tx tte()( )Re( )Re( ) cos()sin()( )cos()jty tAeAtjtAt()( )( )( )j tjj tjtKeAe eAe上式说明：上式说明：cos t通过线性系统后，其通过线性系统后，其增加增加A( )倍倍，并带来，并带来 。DIP1、调谐输入总产生同频率的调谐输出。、调谐输入总产生同频率的调谐输出。2、系统的传递函数是仅依赖于频率的复值函数，包、系统的传递函数是仅依赖于频率的复值函数，包含了系统的全部信息。含了系统的全部信息。3、传递函数对一调谐输入只产生两种影响，即、传递函数对一调谐输入只产生两种

5、影响，即幅度幅度的变化的变化和和相位的平移相位的平移（时间原点的平移）。（时间原点的平移）。DIP( )() ( )y tg txd得到卷积积分：得到卷积积分：( )( , ) ( )y tf txd线性叠加积分：表达了线性叠加积分：表达了x(t)和和y(t)的关系的关系()( , ) ()y tTf txT d引入移不变约束，即：引入移不变约束，即：()()x tTy tT对对t和和 同时加上同时加上T：( )(,) ( )y tf tTT xd( , )(,)f tf tTT上式说明，当两变量增加同样的量上式说明，当两变量增加同样的量T时，时，f(t, )原值不变，原值不变，也就是说，也就

6、是说，只要只要t与与 的差不变，的差不变， f(t, )的函数值就不变。的函数值就不变。定义定义t与与 的差函数的差函数：()( , )g tf tDIP有两种方法来有两种方法来1、用复值传递函数：、用复值传递函数：它与调谐输入相乘就得它与调谐输入相乘就得到对应的调谐输出。（到对应的调谐输出。（频域分析频域分析）2、用实数值的冲激响应：、用实数值的冲激响应：它与输入信号的卷它与输入信号的卷积给出对应输出。（积给出对应输出。（时空域分析时空域分析）上式说明：线性移不变系统的输出可通过输入信号上式说明：线性移不变系统的输出可通过输入信号与一与一表征系统特性的函数表征系统特性的函数g(t)的卷积来获

7、得，这一的卷积来获得，这一表征函数表征函数叫作系统的叫作系统的。( )() ( )y tg txd卷积积分：卷积积分：DIP将函数将函数g关于其原点反折，并向右移动距离关于其原点反折，并向右移动距离t，计算计算x和和g在各点的积，在各点的积，将此积进行积分，得到在将此积进行积分，得到在t处的输出值。并对每个处的输出值。并对每个t值重复所有过程。值重复所有过程。ygx x( )输入函数：输入函数： g( )卷积函数：卷积函数： g(0- )g( )反折：反折： g(t- )平移平移t：t g(t- )函数重叠函数重叠：tx( ) 函数之积函数之积：tDIP交换：交换：分配：分配：结合：结合：求导

8、：求导：fggf()fghfgfh()()fghfgh()dfgfgfgdtDIP长度为长度为m的序列的序列f(i)与长度为与长度为n的序列的序列g(i)的卷积：的卷积：上式给出一个长度上式给出一个长度N=m+n-1的输出序列。的输出序列。( )( )( )( ) ()jh if ig if j g ij认定认定f(i)是周期至少为是周期至少为N的无限长周期序列的一的无限长周期序列的一部分。由于部分。由于f(i)的长度小于的长度小于N，则其空余部分须补则其空余部分须补0至至N，得到无限长序列的一个周期。得到无限长序列的一个周期。DIP( )1( )0pf iimfimiN 对对g(i)和和h(

9、i)重复上述操作，使三个序列具有相重复上述操作，使三个序列具有相同的长度。同的长度。再令再令f为为N1的列向量，其元素为的列向量，其元素为fp(i)，则一则一维离散卷积为维离散卷积为(1)()(2)(1)(2)(1)(3)(2)()(1)(1)()ppppppppppppggNgfgggfgNgNgfN hG fG为为，每一行，每一行，并由其上一行右循，并由其上一行右循环移位得到。每一行产生输出序列中的一个元素。环移位得到。每一行产生输出序列中的一个元素。DIP连续二维卷积可比连续二维卷积可比照前述的一维图示：照前述的一维图示：g(0-u,0-v)是是g(u,v)绕其绕其原点旋转原点旋转180

10、o，而而g(x-u,y-v)将将旋转后的旋转后的g的原点移至点的原点移至点(x,y)。随随后这两个函数逐点相乘后这两个函数逐点相乘，再将得到的积函数作，再将得到的积函数作二维积分。二维积分。( , )( , ) (,)h x yfgf u v g xu yv dudv 图例中：图例中：222()/2( , )xyf x yAe11,1( , )0 x yg x yelse DIP( , )( , )( , )( , ) (,)mnH i jF i jG i jF m n G im jnHF G将数组将数组G旋转旋转180o，并并将其原点移至将其原点移至(i, j)。随后将随后将这两个数组逐这两

11、个数组逐个元素相乘，个元素相乘，再将得到的积再将得到的积求和。求和。DIP例：求两个例：求两个22数组的二维卷积：数组的二维卷积：1211,3422FG12342-21-112342-21-112342-21-112342-21-112342-21-112342-21-112342-21-112342-21-112342-21-1将将数组数组G旋转旋转180o，并将其原点移至并将其原点移至(i, j)。随后将这两个随后将这两个数组逐个元素相乘（数组逐个元素相乘（），再将得到的积求和。），再将得到的积求和。2-21-1180o-1-1-5-328-6-28112538628 HF GDIP设数组

12、设数组F、G在在x方向是周期的，周期长度至少等方向是周期的，周期长度至少等于这两个数组水平长度之和，于这两个数组水平长度之和，y方向也作如此假设。方向也作如此假设。于是，于是，F大小为大小为m1n1 ，G大小为大小为m2n2，填充填充0后，后，扩展到扩展到MN，其中其中M m1+m2-1，N n1+n2-1。扩展后的新矩阵为扩展后的新矩阵为Fp和和Gp。以下假定以下假定MN将将，然然后再将后再将，共产生，共产生N个个Gi （1 i N）。）。DIP引入引入：（即大矩阵由（即大矩阵由多个小矩阵组成）。多个小矩阵组成）。：于是生成由于是生成由NN个块组成的个块组成的N2N2的块循环矩的块循环矩阵阵

13、Gb，其中的每一块即上述的其中的每一块即上述的Gi，（，（1 i N） 。 1221311NNNbGGGGGGGGGGDIP于是离散二维卷积可写于是离散二维卷积可写成简单矩阵的形式：成简单矩阵的形式：pbphGf例：求两个例：求两个22数组的二维卷积矩阵：数组的二维卷积矩阵：1211,3422FGF、G扩展到扩展到N n1+n2-12213，求求Fp、Gp：120110340 ,220000000pp FG将将Gp的每一行生成的每一行生成NN循环阵：循环阵：123101202000110 ,220,000011022000GGG132213321bGGGGGGGGGGDIP1010002021

14、11100002202101100002202202101000352201100004302201100008000202101060002201100200002201108pbphGf 112538628 HF GDIP去除不需要的，但已对图像施加了去除不需要的，但已对图像施加了的线性系统的影响，如透镜系统本身或因运动而造成的线性系统的影响，如透镜系统本身或因运动而造成的模糊。的模糊。去除线性叠加在图像上的噪声。去除线性叠加在图像上的噪声。以削弱景物中的其他为代价来增以削弱景物中的其他为代价来增强指定特征（如边、点）的对比度。强指定特征（如边、点）的对比度。DIP用于矩形采样窗口或平滑函

15、数模型。用于矩形采样窗口或平滑函数模型。线性系统理论和图像处理应用中常用到线性系统理论和图像处理应用中常用到5个函数。个函数。111,2211( ),220,xxxelse Aa/2-a/2A (x/a)DIP应用与矩形脉冲类似，两个相同的矩形应用与矩形脉冲类似，两个相同的矩形脉冲的卷积即是三角脉冲。脉冲的卷积即是三角脉冲。1,1( )0,1xxxx Bb-bB (x/b)DIP函数下的面积为：函数下的面积为：22/2xe22/2212xedx在概率论中，均值为在概率论中，均值为x0的正态分布为：的正态分布为：220() /221( )2x xp xe即将高斯函数调整到单位面积。即将高斯函数调

16、整到单位面积。其中其中 叫标准差叫标准差， 2叫方差叫方差。22/2xe 2 2 0高斯函数的卷积仍为高斯函数。高斯函数的卷积仍为高斯函数。222222312() /2() /2() /2x cx ax bAeBeABe其中：其中：222312,cab可见，卷积后的高斯函数变宽，其标准差是两个可见，卷积后的高斯函数变宽，其标准差是两个高斯函数方差之和的平方根，相对于原点的偏移是两高斯函数方差之和的平方根，相对于原点的偏移是两原函数偏移之和，峰值幅度是两原峰值的积。原函数偏移之和，峰值幅度是两原峰值的积。DIP单位冲激函数单位冲激函数 (x)通过其积分性质来定义：通过其积分性质来定义：0( )(

17、 )1,00 xx dxx dxx且任意小, ( )01( )lim( )axxaa单位冲激函数单位冲激函数 (x)可用一个窄的矩形脉冲的极限来描述：可用一个窄的矩形脉冲的极限来描述：1/aa/2-a/2 (x)x( )Ax dxA( ) ( )(0)f xx dxfDIP000( ) ()() ( )()f xxx dxf xxx dxf x函数与平移后的冲激相乘求积分，得到该函数在函数与平移后的冲激相乘求积分，得到该函数在冲激处的函数值。冲激处的函数值。对于横坐标的尺度变换，对于横坐标的尺度变换， (x)有性质有性质1()( )axxa0( )( )( ) ()()( )xf xf xdf

18、 xf x 该式说明单位冲激函数该式说明单位冲激函数 (x)是卷积操作下的全通函数。是卷积操作下的全通函数。DIP阶跃函数是单位冲激函数的积分：阶跃函数是单位冲激函数的积分：1,01( ),020,0 xu xxx0( ) ( )( )u x f x dxf x dx1x00u(x-x0)x00001,()()0,xxu xxx dxx 单位冲激函数是阶跃函数的导数：单位冲激函数是阶跃函数的导数：( )( )( )du xu xxdxDIP右图的右图的f(x)受到噪声干受到噪声干扰，扰，g(x)为用于平滑滤为用于平滑滤波的冲激响应波的冲激响应。在卷积进行中，矩形脉在卷积进行中，矩形脉冲从左移到右，产生函冲从左移到右，产生函数数h(x