三角函数和解三角形高考模拟考试题精选(含详细答案解析)

1、WORD格式可编辑三角函数与解三角形高考试题精选一.解答题(共31小题)1 .在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)上辿殳. cosB cosA(I )证明：a+b=2c；(H )求cosC的最小值.2 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知asinA=4bsinB ac=75(a2 - b2 - c2).(I )求cosA的值；(H)求 sin (2B-A)的值.3 . ABC的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 2cosc (acosB+bcosA) =c.(I )求 C；(H)若c=/r, z

2、ABC的面积为量求 ABC的周长.24 .在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知cosA工，sinB=cosC. 3(1)求tanC的值；(2)若2=&,求 ABC的面积.5 .在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且但里里. a b c(I )证明：sinAsinB=sinC(H )若 b2+c2 - a2=§bc,求 tanB.56 .在 ABC中，已知 AB=2, AC=3, A=60°.(1)求BC的长；(2)求sin2c的值.7 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知 ABC的面

3、积为3V15 b - c=2, cosA=-(I )求a和sinC的值；(H)求 cos (2A+)的值.68 . ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.向量r(a,夷b)与i = (cosA,sinB)平行.(I )求 A;(H)若 a=5, b=2,求 ABC 的面积.9 .设 ABC的内角A, B, C所对边的长分别为 a, b, c,且b=3, c=1, AABC 的面积为V2,求cosA与a的值.10 .如图，在平面四边形 ABCD中,DA,AB, DE=1, EC=7, EA=Z / ADC= ,3/ BEC三. 3(I )求 sin/CED的值；(H)求BE的长

4、.cA111 .在AABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知b+c=2acosB(I )证明：A=2B;2(H)若 ABC的面积S总一，求角A的大小.412 .在AABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知A二，b2-a2二c2.(1)求tanC的值;(2)若AABC的面积为3,求b的值.13 .在AABC中，内角 A B、C所对的边分别是 a、b、c,且a+b+c=8.(I )若 a=2, b,求 cosC的值；2(H)若 sinAcoS"+sinBcos4=2sinC,且AABC的面积 S=sinC,求 a和 b 的值.22214 . A

5、ABC的内角A, B, C所对应的边分别为a, b, c.(I )若 a, b, c成等差数歹U,证明：sinA+sinC=2sin (A+C);(H)若a, b, c成等比数列，求cosB的最小化15 . AABC的内角A、B、C所对的边分别为a, b, c.(I )若 a, b, c成等差数歹U,证明：sinA+sinC=2sin (A+C);(H)若a, b, c成等比数列，且c=2a,求cosB的值.16 .四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1, BC=3 CD=DA=2(1)求 C 和 BD;(2)求四边形ABCD的面积.17 . zABC的内角A, B, C的对边分别为a, b

6、, c,已知sin (A+C) =8sin2且.2(1)求 cosB;(2)若a+c=6, ABC的面积为2,求b.18 .在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知b+c=2acosB(1)证明：A=2B;(2)若cosB上，求cosC的值.319 .设4ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, a=btanA,且B为钝角.(I )证明：B-A/L;2(H)求sinA+sinC的取值范围.20 . AABC中，A A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知 cosb£1 , sin (A+B)V1=,ac=2Vs,求 sinA 和 c 的值.

7、 921 .设 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, a=btanA.(I )证明:sinB=cosA(H )若 sinC- sinAcosB=-,且 B 为钝角，求 A, B, C.22 . AABC中，D是BC上的点，AD平分/BAC, ABD面积是 ADC面积的2 倍.(1)求”哈sinC(2)若AD=1, DC空，求BD和AC的长.23 .已知 a, b, c分别是 ABC内角 A, B, C 的对边，sin2B=2sinAsinC(I )若 a=b,求 cosB；(H)设 B=90°,且 a=/2,求 ABC的面积.24 . AABC中，D 是 BC上的点

8、，AD平分/ BAC, BD=2DC(I )求 fin/B . sinZ.C(H)若/ BAC=60,求/ B.25 .在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a c区b,sinB=AisinC,6(I )求cosA的值；(H)求 cos (2A-)的值.626 . ABC中，角A, B, C所对的边分另为a, b, c.已知a=3, cosA*，B=A+ . 32(I )求b的值；(H)求 ABC的面积.27 .在 ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b, c.(1)若 sin (A+) =2cosA,求 A 的值. 6(2)若 cosA=l, b=3c,求 sin

9、C 的值.328 .在 ABC中，A A, B, C的对边是 a, b, c,已知 3acosA=ccos+bcosC(1)求cosA的值(2)若 a=1, cosB+cosC=-,求边 c 的值.329 .在 ABC中，内角 A, B, C的对边分别为a, b, c,且bsinA/a?cosB(1)求角B的大小；(2)若b=3, sinC=2sinA分别求a和c的值.30 .在 ABC中，a=3, b=2/6, / B=2/ A.(I )求cosA的值；(H)求c的化三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析.解答题（共31小题）1.在 ABC中，角 A, B, C的对边分别为 a,b

10、,c,已知 2(tanA+tanB) =+ cosB cosA（I ）证明：a+b=2c；（H ）求cosC的最小值.【解答】解：（I）证明：由zGanA+tarF）吊产1得:COSD cosAsinA sinB、cosA cosBsinAsinB+;cosAcosB cosAcosB专业知识整理分享 .两边同乘以 cosAcosB5,2 (sinAcosE+cosAsinB =sinA+sinB； . 2sin (A+B) =sinA+sinB;即 sinA+sinB=2sinC (1)；根据正弦定理,sinA sinB sinC二 2R；sinA="zz_J sinB=-r, s

11、inC二2，带入(1)得：；a+b=2c；(n) a+b=2c；(a+b) 2=a2+b2+2ab=4c2;a2+b2=4c2 - 2ab,且4c214ab,当且仅当a=b时取等号;又 a, b>0；2ab由余弦定理，g考吟二T法;2ab 2ab 2 ab 2cosC的最小值为工.22 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知asinA=4bsinB ac=75 (a2 - b2 - c2).(I )求cosA的值；(H)求 sin (2B-A)的值.【解答】(I )解：由, sinA sinB又 asinA=4bsinB 彳3 4bsinB=asinA两式作

12、比得：. a=2b.4b a得 asinB=bsinAac，由余弦定理，得86A二2bcac由b'-c')，得 b,c-ssinA4b 5(H)解：由(I),可得与inA二旦£，代入asinA=4bsinB得美出二5由(I )知，A为钝角，则B为锐角，., cosB =71-sin2B,于是6in2B=2KHBcsB*，cos2B=1-2si 故sin(2B-A)=5in2BcdsA-cQs2BsinA* XX 2卢 555553 . ABC的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 2cosc (acosB+bcosA)(I )求 C；(H)若c=V

13、r, 4ABC的面积为且“求 ABC的周长.2【解答】 解：(I)二.在4ABC中，0<C<兀，. sinCw0已知等式利用正弦定理化简得：2cosc (sinAcos&sinBcosA) =sinC,整理得：2cosCsin (A+B) =sinC,即 2cosCsin (兀一(A+B) =sinC2cosCsinC=sinCcosC=",(H)由余弦定理得7=a2+b2 - 2ab?,Lj(a+b) 2-3ab=7,S= absinC= ab=' 242ab=6,(a+b) 2-18=7,a+b=5,.ABC的周长为5+77.4 .在 ABC中，内角A

14、, B, C的对边分另1J为a, b, c.已知cosA, sinBVscosC. 1-1(1)求tanC的值;(2)若a/历，求AABC的面积.【解答】解：(1) ; A为三角形的内角，cosAN,3，sinA叫-Ma”又 cosC=sinB=sin (A+C) =sinAcos(+cosAsinC= cosC+sinC,33整理得： - cosC=:sinC, 33tanC=75;(2)由 tanC=V得：cosC=j_=1=J_1_= ,V sec2C Vl+tan2C ' i+5 6'sinC=.-.'/=，sinB= cosC=-,6.c 近,-'a=

15、/2,由正弦定理= 得:c=aV, =q=V3,sinA sinC sinA则 SABC=z-acsinB=-x V2X Vsx£pi= .22625.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且*&+£吟总里. a b c(I )证明：sinAsinB=sinC(H )若 b2+c - a2且bc,求 tanB.5【解答】(I)证明：在 ABC中，:酒A心里L刍尤, a b c由正弦定理得：华&+可四sinA sinB sinC cosAsinB+cosBsinA=sin(xB)_.= I' ,sinAsinB sinAsinB.

16、 sin (A+B) =sinC.,整理可得：sinAsinB=sinC(H )解：b2+c2 - a2=-bc,由余弦定理可得cosA.55sinA,=5 sinA 4A JsinB 4匹工+二匚二二=1.sinA sinB sinC tanB=4.6 .在 ABC中，已知 AB=2, AC=3, A=60°.(1)求BC的长；(2)求sin2c的值.【解答】 解：(1)由余弦定理可得：Bd=A3+Ad2AB?ACcosA=49 2X2X3X - =7,2所以bc=A.(2)由正弦定理可得：虹_ K ,则 sinC型 inA=25 呼0' =, sinC sinABC Si

17、nA 行 7V AB<BC, BC= ", AB=2,角A=60°,在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，书>2,.二角C<角A,角C为锐角.sinC>0, cosO0则cosC4d区=洋工.因止匕 sin2c=2sinCcosC=2 恒)< 2听=虱/.7777 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知 ABC的面积为3V15 b - c=2, cosA=-二.4(I )求a和sinC的值;(H)求 cos (2A+2L)的值.【解答】解：(I)在三角形ABC中，由cosA=-1,可得sinA=G5, zABC

18、的 44面积为3%成，可得：ybcsinA=3V15,可得 bc=24,又 b c=2,解得 b=6, c=4,由 a2=b2+c2 2bccosA,可得 a=8,-=-, 解得 sinC4i；sinA sinC8( n ) cos (2A+) =cos2Acos 66sin2Asi号卑(2ccis%T)4x25inAccisA= b dzlb8 . ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.向量7= (a, V5b)与飞= (cosA, sinB)平行.(I )求 A;(H)若 a=/7, b=2,求 ABC 的面积.【解答】解：(I )因为向量n= (a, V3b)与门=(c

19、osA, sinB)平行，所以 asinB- ；. 口 =0,由正弦定理可知：sinAsinB- 、sinBcosA=0 因为 sinB *0,所以tanA=73,可得A=?;(H ) a=J7, b=2,由余弦定理可得：a2=b2+c2 2bccosA,可得 7=4+c2 - 2c,解 得 c=3, ABC的面积为：bcsi nA=3 9 .设 ABC的内角A, B, C所对边的长分别为 a, b, c,且b=3, c=1, AABC 的面积为V2,求cosA与a的值.【解答】解：V b=3, c=1, AABC的面积为血，-yp3*l*sinA=/2, .sinA=i '二, 3又

20、. sin2A+cos2A=1cosA=± 工，3升1-231（±段）=2'年或2加由余弦定理可得a=10 .如图，在平面四边形 ABCD中,DA,AB, DE=1, ECW, EA=2 / ADC=2L ,3/ BEC三.3(I )求 sin/CED的值;（H）求BE的长.在4CDE中，由余弓g定理得 Ed=CE2+ED2-2CD?DEcoS CDE 即 7=Ctf+1+CD,则 CD?+CD- 6=0,解得CD=2或CD=- 3,（舍去），在4CDE中，由正弦定理得ECCDsinZEDC -sinCl '2兀 CD-sin贝U sin 8二-EC即 si

21、n/CED=.72X返l2 2 V21（H）由题设知0Va< 一3971而/AEB=.,3cos,由（7显近、，匹而2 x 77 -ir2兀 ，. 2兀.=coscos +sinsin 5M33KA 9在EAB中，cos/ AEB若2gBE BE故 BE=y atte " r -cosZAEB 77"1711 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知b+c=2acosB(I )证明：A=2B;2(H)若 ABC的面积S3一，求角A的大小.4【解答】(I )证明：丁 b+c=2acosBsinB+sinC=2sinAcosB sinB+sin

22、 (A+B) =2sinAcosBsinB+sinAcosBcosAsinB=2sinAcosBsinB=sinAcosB cosAsinB=sin(A B). A, B是三角形中的角,B=A- B,A=2B;2(H)解：. ABC的面积 sm,412 bcsinA= ,242bcsinA=c2,2sinBsinC=sinA=sin2BsinC=cosBB+C=90,或 C=Bf90°, A=90°或 A=45 .12.在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知A=% , b2-a2=i-c2. T；&(1)求tanC的值;(2)若 ABC的

23、面积为3,求b的值.【解答】解：(1) .一Aq，由余弦定理可得：abS+c2-2bccos-,b2-a2= /2bc- c ,又 b2a2=c2. &bcc2c2.V2b=-c.可得b二1团一,2 , k2. cosC=2ab.ce（0,冗），sinC=/l-co s2C=A- -tanC= ：I =2.或由 A=2L b2 a2c2.42可得：sln2B- sln2A= sin2C, 2 .sin2B J sin2C, 2 2 . - cos2B=_sin2C, 222c - - sin,-=sin C, 占 一 sin；二、：=s1n2C,sin2C=sinC, . tanC=2

24、3(2), S诋亍bGn' x-4cx-3, 解得c=2&.13.在AABC中，内角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c,且a+b+c=8.(I )若 a=2, b,求 cosC的值； 2(H )若 sinAcos-y+sinBcosy=2sinC,且 ABC的面积 S=sinC,求 a 和 b 的值. R 一【斛答】 斛：(I ) = a=2, b=,且 a+b+c=8, 二 c=8- ( a+b)=工, 2由余弦定理得:2 . .22cosC=一一 2ab22 +弘犷2X2Xy(H)由 sinAcog +sinBcog =2sinC可得：sinA? '+sinB?

25、 ' =2sinC, 2222整理得：sinA+sinAcosBsinB+sinBcosA=4sinCsinAcosE+cosAsinB=sin (A+B) =sinGsinA+sinB=3sinC利用正弦定理化简得：a+b=3c,= a+b+c=8, a+b=6 ，: S=-absinC=-sinC, 22ab=9,联立解得：a=b=3.14. ABC的内角A, B, C所对应的边分别为a, b, c.(I )若 a, b, c成等差数歹U,证明：sinA+sinC=2sin (A+C);(H)若a, b, c成等比数列，求cosB的最小化【解答】解：(I)a, b, c成等差数列，

26、2b=a+c,利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC,: sinB=sir兀(A+C) =sin (A+C),sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C);(H) a, b, c成等比数列,222_ a+c-ac 2ac-ac 12ac二 bcosB1 .： 2ac当且仅当a=c时等号成立,cosB的最小值为一. =ac,29 .15. 4ABC的内角A、B、C所对的边分别为a, b, c.(I )若 a, b, c成等差数歹U,证明：sinA+sinC=2sin (A+C);(H)若a, b, c成等比数列，且c=2a,求cosB的值.【解答】解：(I);a, b, c成等

27、差数列，a+c=2b,由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB: sinB=sir任一(A+C) =sin (A+C),则 sinA+sinC=2sin (A+C);(n) .a, b, c成等比数列，二 b2=ac,将 c=2a代入得：b2=2a2,即 b=&a,222222由余弦定理得：cosB +心f =&-2色 &2ac4a2416.四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1, BC=3 CD=DA=2(1)求 C 和 BD;(2)求四边形ABCD的面积.【解答】 解：(1)在 BCD中，BC=3 CD=Z由余弦定理得：BC2=BC2+CC2 - 2BC?CD

28、cosC=13 12cosCD,在 ABD中，AB=1, DA=2, A+C=tt,由余弦定理得：BC2=AB2+AD2 2AB?ADcosA=5- 4cosA=5McosCD,由得：cosC=-,WJC=60, bdT7；(2) - cosC=, cosA= , 22sinC=sinA=,2贝U S-1 AB?DAsin/+!-BC?CDsinC= x 1 x 2X "+1 x 3x 2x亚-275. 2222 22D17. zABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知sin (A+C) =8sin2且.2(1)求 cosB;(2)若a+c=6, ABC的面积为2,

29、求b.【解答】解：(1) sin (A+C) =8sin2且，2 二 sinB=4 (1 cosB),sin2B+cos2B=1, .16 (1-cosB) 2+cos2B=1, .16 (1-cosB) 2+cos2B-1=0, .16 (cosB- 1) 2+ (cosB- 1) (cosBM) =0,(17cosB 15) (cosB- 1) =0,cosB=-;17(2)由(1)可知sinB哈,&abc=ac?sinB=2,aFb2=a2+c2- 2accosB=a+c2- 2X x 217=a2+c2 - 15= (a+c) 2 - 2ac- 15=36 - 17-15=4,

30、二 b=2.18.在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知b+c=2acosB(1)证明：A=2B;(2)若 cosB=1,求 cosC的值.【解答】(1)证明：: b+c=2acosBsinB+sinC=2sinAcosB: sinC=sin (A+B) =sinAcosRcosAsinB . sinB=sinAcos9 cosAsinB=sin(A- B),由 A, B (0,九)，0<A- B< 兀，.B=A- B,或 B=l (A- B),化为 A=2B,或 A=tt (舍去).A=2B.(II)解：cosB=|，sinB=/i-C0S2B=-c

31、osA=cos2B=2co知1 = , sinAjy口 Ja'； § -cosC=- cos (A+B) =- cosAcosE+sinAsinB=- x j，)+x W = 223' 9 ' 392719.设AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, a=btanA,且B为钝角.(I )证明：B-AL; 2(H)求sinA+sinC的取值范围.【解答】解：(I)由a=btanA和正弦定理可得期&=1总电， cosA b sinBsinB=cosA 即 sinB=sin (+A)又B为钝角，匹+AC (2L,兀)，22 .B+A, a B- A工

32、； 22(H)由(I)知 C=tt- (A+B) =tt- (A+A) 斗一2A> 0,_ JT_IT _ AC (0,),sinA+sinC=sinA+sin (一2A) 422 .=sinA+cos2A=sinA+1 2sin A=-2 (sinA-j-) 2心，. AC (0,匹)，.0<sinA<返，42由二次函数可知 返 <-2 (sinA-) 2+且02248 8 sinA+sinC的取值范围为(字号20. zXABC中，A A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知 cosB=&, sin (A+B)=,ac=2。,求 sinA 和 c 的

33、值.9sin (A+B) =2dL, ac=2;r3,所以 sinB=-, sinAcosBcosAsinB=,【解答】解：因为 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c已知cosB=/I,939所以sinA+VcosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，3由解得 27sin2A- 6 二sinA16=0,解得 sinA="J 2 或者 sinA=- (舍去)；39由正弦定理，-=一-由可知 sin (A+B) =sinC=, sinA=R2 , sinA sinC93所以a=2对c,又ac=2正，所以c=1.21.设 ABC的内角A, B, C的对边分别为a,

34、 b, c, a=btanA.(I )证明:sinB=cosA(H )若 sinC- sinAcosB上，且 B 为钝角，求 A, B, C.【解答】解：（I）证明：: a=btanA.=tanA b,由正弦定理：且乌还又tanA区地. 也=. sinB 8sA: sinAw0, . sinB=cosA 得证.(H) . sinC=sin l (A+B) =sin (A+B) =sinAcosBncosAsinB, sinC- sinAcosB=cosAsinB=,由(1) sinB=cosAsinB=,4，.B为专屯角,又cosA=sinB=- 2a=2L, 6 C=l A- B=j6综上，

35、A=C=二，B=二一6322. 4ABC中，D是BC上的点，AD平分/BAC, ABD面积是 ADC面积的2倍.(1)求且吏;sinL(2)若AD=1, DC重，求BD和AC的长.2【解答】解：(1)如图，过A作A已BC于E,.sAABD iBDXAESAADC yDCXAE=2BD=2DC . AD 平分 / BAC . / BAD=/ DAC在 ABD中,BDADsin-ZBAD sinZB '. .sin/B=D ："在 ADC中,DCADsin-ZDAC sinZC 'sin/ CBD_ADXsinZDAC .DC.翟卷嗡春一,分(2)由(1)知，BD=2DC

36、=2< 去过 D作 DM，AB于 M,作 DNXACT N, . AD 平分 / BAC,DM=DN,Q± AB X 训2,ADC yAC x DNAB=2AC令 AC=x,贝U AB=2x vZ BAD=Z DACcos/ BAD=co更 DAC由余弦定理可得:(2乂产+12-(戊)2X2旦 xi2Xzxix=1, . AC=1,.BD的长为把，AC的长为1.23.已知 a, b, c分别是 ABC内角 A, B, C 的对边，sin2B=2sinAsinC (I )若 a=b,求 cosB；(H)设 B=90°,且 a=72,求 ABC的面积.【解答】解：(I)

37、. sin2B=2sinAsinC由正弦定理可得：7rd > 0, sinA sinB sinC k代入可得(bk) 2=2ak?ck, b2=2ac,= a=b,a=2c,2 ,1 222 , 2_k2 a -a 1由余弦定理可得：cosB旦华工=4.2或2ax焉4(II)由(I)可得：b2=2ac,B=90 ,且 a=&,a2+c2=b2=2ac,解得 a=c=&.& ABC=2二.=1 24. zABC中，D 是 BC上的点，AD平分/ BAC, BD=2DC(i)求典今L. sinZC(H)若/ BAC=60,求/ B.【解答】解：(I )如图，由正弦定理

38、得：皿二即.AP = DCsinNB sin/BAD si n-ZC sin-ZCAD. AD 平分/BAC, BD=2DC. sin/B £sinZC -BD 2(H)C=180 (/BAG/ B), / BAC=60,sinNC=sin(NBAC+NB)=ccisNB+；sin/B， 乙-w由(I )知 2sin/ B=sinZ C, .tan / B密，即/ B=30°.325.在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-,sinB= _sinC,(I )求cosA的值;IT(H)求 cos (2A- 一)的值.6【解答】解：（I）将sinB=/si

39、nC,利用正弦定理化简得:b=&c,，得：a c=c, 即 a=2c,3巴广”=62bc2限 24 ?(H) V cosA逐，A为三角形内角,4sinA=jJn=：，cos2 A=28融-1 = - , 4sin2A=2sinAcosA=,4贝 cos (2A )=cos2Acos-+sin2AsinZL= -L x 2+2/lE x 工=.砥.64242826 . ABC中，角 A, B, C所对的边分另U为 a, b, c.已知 a=3, cosA* , B=A+ . 32(I )求b的值;(H)求 ABC的面积.【解答】解：(I) V cosA=3二 sinA=b=a+A. 2sinB=sin (A+) =cosA=A, 23由正弦定理知TJ一, sinA sinBs3b=-?sinB=-xsinA V 33(U) sinB=, B=A+>A322二 cosB=-9sinC=sin(九-A- B) =sin (A+B) =sinAcosE+cosAsinB= x (一冬J +x<