第二、三节 旋转体体积与功.

1、 二、旋转体的体积二、旋转体的体积 这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴. 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，面内一条直线旋转一周而成的立体，及球体都是旋转体及球体都是旋转体.如图所示圆柱体、圆台体、圆锥、如图所示圆柱体、圆台体、圆锥、 yoabx)(xfy xdxfVba 2)( 所以所以 dxxfdV2)( 积分变量为积分变量为,x积分区间为积分区间为 ,ba相应的窄曲边梯形相应的窄曲边梯形绕绕 x轴旋转而成的薄片的体积用圆柱体的体积近似代替，轴旋转而成的薄片的体积用圆柱体的体积近似代替，此圆柱体的体积即此圆柱体的体积即体积元素体积元素

2、为：为：xdxx 在在上任取小区间上任取小区间 ,dxxx ba,0 y, bx, ax),x(fy求由求由周而成的周而成的立体的体积立体的体积.围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕 x轴旋轴旋转一转一 dcdyyV2)( xyo)(yx cdy)(yx 由曲线由曲线和直线和直线dy,cy 与与 y 轴所围成的曲边梯形，绕轴所围成的曲边梯形，绕 y 轴轴旋转一周而成的旋转体的体积为：旋转一周而成的旋转体的体积为：同理，同理，解解rohxyP(h,r)建立坐标系如图建立坐标系如图 旋转体为圆锥体，其体积为：旋转体为圆锥体，其体积为：3032322hrhxhr hdxxhrV02x例例1xyhxhrx

3、hry绕所围图形，），（求由直线00,.的体积轴旋转产生产生旋转体例例2yxyxxxy轴、分别绕所围图形，与直线求由曲线0212.的体积轴旋转产生产生旋转体解解22xaaby 上半个椭圆的方程为：上半个椭圆的方程为：xyo例例3 计算由椭圆计算由椭圆12222 byax（叫做（叫做椭球体椭球体）的体积）的体积.所围成的所围成的图形绕图形绕 x 轴旋转而成的旋转体轴旋转而成的旋转体及及 x 轴围成的图形绕轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转立体轴旋转而成的旋转立体.椭球体可以看作是由上半个椭圆椭球体可以看作是由上半个椭圆23222343abaaxxaab aadxyV2 aadxxaab)(22

4、22 当当 a=b时，椭球体时，椭球体就成为球体就成为球体,体积为体积为334aV 若绕若绕 y 轴旋转轴旋转baV234 a2a a 2a2 xyy xyo例例4 计算由摆线计算由摆线 tayttaxcos1sin图形绕图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积.的一拱、直线的一拱、直线 y = 0所围成的所围成的图形绕图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为轴旋转而成的旋转体的体积为 解解 axdxyV202 2022cos1cos1dttata 20323)coscos3cos31(dtttta 2022020203sinsin122cos13cos3tdtdtttdtdt

5、a022302332 aa325a 当图形当图形绕绕 y 轴轴旋转时，旋转时，a2a a 2a2 xyy xyo aydyxV2022 222sinsintdtatta adyx2021 022sinsintdtatta所成的所成的旋转体的体积为旋转体的体积为2x1x注意注意 )2sin2sin(21sin2sin262020202023 tdttttdttta 2032022023sinsin2sintdttdtttdtta 022cos12)(cos202023 dttttdta 202020220232cos)(coscostdtttdtttdtta 202020223)2(sin212

6、1)(sin24ttdtttda336a 2023sin)sin(tdtttasFW 取取 x为积分变量，为积分变量，它的变化区间为它的变化区间为a, b， 在此区间上任取小在此区间上任取小区间区间x, x+dx,力为恒力所作的功，力为恒力所作的功，在此小区间上变力所作的功近似等于以在此小区间上变力所作的功近似等于以x点的点的 dxxFdW badxxFW)(xx+dxOab XF(x)变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功恒力作功：恒力作功：这个小区间功的近似值即为功元素，即这个小区间功的近似值即为功元素，即功元素为：功元素为：于是所求的功为于是所求的功为求它把物体由求它把物体由 a 移动到移

7、动到 b 所作的功所作的功.设有一变力设有一变力F(x)随位移随位移x而变，而变， 任一点任一点r 处的电场力为：处的电场力为：2rqkF 则则功元素功元素为为: drrkqdW2 drrkqWba 2荷从荷从 r =a沿沿r 轴移动到轴移动到r =b 时，求电场力对它所作的功时，求电场力对它所作的功. 把一个带把一个带 +q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在r 轴上坐标原点轴上坐标原点 O 处，有处，有一个单位正电荷放在距离原点一个单位正电荷放在距离原点O 为为r 的地方，当这个单位正电的地方，当这个单位正电例例1由物理学知：由物理学知：221rQQkF 在在上任取小区间上任取小区间 ba,

8、 ,drrr ORabrr +dr1 q 解解所以电场力所作的功为：所以电场力所作的功为： bakqrkqba111注注 求计算静电场中求计算静电场中某点的电位某点的电位，就是计算将单位正电荷从该，就是计算将单位正电荷从该点处（点处（r =a）移到无穷远处时电场力所作的功移到无穷远处时电场力所作的功.akqxkqdxxkqVaa 2即即称为静电场中称为静电场中a处的电位处的电位.例例2 在底面积为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量气体的圆柱形容器中盛有一定量气体.在等温在等温移到点移到点 b 处，计算在移动过程中，气体压力所作的功处，计算在移动过程中，气体压力所作的功. 条件下，由于气体

9、的膨胀，把容器中的一个活塞从点条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞从点 a 处推处推解解 先利用题设把力表示为活塞先利用题设把力表示为活塞位置位置x的函数，即先求力的的函数，即先求力的函数表达式函数表达式.abxo Sx又因为又因为,xSV 所以有所以有xSkP 由物理学知道，由物理学知道， 一定量的气体在等温条件下，一定量的气体在等温条件下， 压强压强 p 与体积与体积V 成反比，成反比，即即VkP （其中（其中k为比例系数）为比例系数）当活塞离当活塞离O点点 x 处时，处时，气体作用在活塞上的力为：气体作用在活塞上的力为：pSF xkSxSk abxo Sx故所求的功为：故所求的功为

10、：则则功元素功元素为：为：dxxkdW 在在上任取小区间上任取小区间 ba, ,dxxx badxxkW abkxkbalnln 例例3 一圆柱形的贮水桶高为一圆柱形的贮水桶高为 5 m，底圆半径为底圆半径为3 m，桶内盛桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？把重量为把重量为G 的物体提高高度为的物体提高高度为h需作的功是：需作的功是：GhW 解解HRoxx+dx（即功元素）为（即功元素）为,dxxx xdxxVdW )3(2 于是所求的功为：于是所求的功为：0522 .882 .88250 xxdxW ）（水水的的比比重重3/8 . 9mkN 相应相应于于