2019年中考数学挑战压轴题(含答案)

1、2019年中考数学挑战压轴题(含答案)2019挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1 .如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P (0, 2) 顺时针旋转45。后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点.(1)求直线AB的函数表达式；(2)如图，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；(3)如图，若点 Q在y轴左侧，且点T (0, t) (t<2)是射线PO上一点， 当以P、B、Q为顶点的三角形与 PAT相似时，求所有满足条件的t的值.2 .如图，已知BC是半圆。的直径，BC=8,过线段BO上一动点D,作AD， BC交半圆。

2、于点A ,联结AO ,过点B作BH，AO ,垂足为点H , BH的延长 线交半圆。于点F.(1)求证：AH=BD ;(2)设BD=x, BE?BF=y,求y关于x的函数关系式；(3)如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G,当4FAE与4FBG相似 时，求BD的长度.国1割3 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线AB过点A (3, 0)、B (0, m) (m> 0), tan/ BAO=2 .(1)求直线AB的表达式；(2)反比例函数y=5的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点(BD< xBC),当AD=2DB时，求ki的值；(3)设线段AB的中点为E,过点E作x轴的

3、垂线，垂足为点 M,交反比例函数丫=且的图象于点F,分别联结OE、OF,当OEFs/XOBE时，请直接写出 x4.如图，在RtAABC中，/ ACB=90 , AC=1 , BC=7,点D是边CA延长线的 一点，AEXBD,垂足为点E, AE的延长线交CA的平行线BF于点F,连结CE 交AB于点G.(1)当点E是BD的中点时，求tan/ AFB的值；(2) CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的 值；如果变化，请说明理由；(3)当4BGE和4BAF相似时，求线段 AF的长.5.如图，平面直角坐标系 xOy中，已知B (-1, 0), 一次函数y=-x+5的图

4、象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A、 点B.(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是该二次函数图象的顶点，求 APC的面积；(3)如果点Q在线段AC上，且 ABC与4AOQ相似，求点Q的坐标.6 .已知：半圆O的直径AB=6,点C在半圆。上，且tan/ ABC=2也，点D为 弧AC上一点，联结DC (如图)(1)求BC的长；(2)若射线DC交射线AB于点M ,且 MBC与4MOC相似，求CD的长；(3)联结OD,当OD/ BC时，作/ DOB的平分线交线段 DC于点N,求ON 的长.第17页(共170页)7 .如图，已知二次函数y=x2+bx+c

5、(b, c为常数)的图象经过点 A (3, - 1), 点C (0, - 4),顶点为点M ,过点A作AB / x轴，交y轴与点D ,交该二次 函数图象于点B,连结BC.(1)求该二次函数的解析式及点 M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移 m (m>0)个单位，使平移后得到的二次函 数图象的顶点落在 ABC的内部(不包含 ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P时直线AC上的动点，若点P,点C,点M所构成的三角形与 BCD 相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).因动点产生的等腰三角形问题8 .如图1,在4ABC中，/ACB=90 , / BAC=60，点

6、E是/BAC角平分线上 一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB, 点F是BD的中点，DH LAC,垂足为H,连接EF, HF.(1)如图1,若点H是AC的中点，AC=2禽，求AB, BD的长；(2)如图1,求证：HF=EF;(3)如图2,连接CF, CE.猜想： CEF是否是等边三角形？若是，请证明；即9 .已知，一条抛物线的顶点为 E ( - 1, 4),且过点A (-3, 0),与y轴交于 点C,点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为 m,且-3Vm<-1,过点D 作DK，x轴，垂足为K, DK分别交线段AE、AC于点G、H.(1)求这条抛物线的解析式；

7、(2)求证：GH=HK;(3)当4CGH是等腰三角形时，求 m的值.10 .如图，已知在 RtAABC 中，/ACB=90 , AB=5, sinA=1，点 P 是边 BC |5|上的一点，PE±AB,垂足为E,以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交 于点Q,线段CQ与边AB交于点D.(1)求AD的长；(2)设CP=x, zPCQ的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)过点C作CFLAB,垂足为F,联结PF、QF,如果 PQF是以PF为腰的11 .如图(1),直线y=-黑+n交x轴于点A,交y轴于点C (0, 4),抛物线 y=Wx2+bx+c经过点A,交y轴于点

8、B (0, - 2).点P为抛物线上一个动点，过 点P作x轴的垂线PD,过点B作BDLPD于点D,连接PB,设点P的横坐标 为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当4BDP为等腰直角三角形时，求线段 PD的长；(3)如图(2),将4BDP绕点B逆时针旋转，得到 BD P；当旋”角/ PBP二 /OAC,且点P的对应点P'落在坐标轴上时，请直接写出点 P的坐标.图1图2留用图12 .综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx - 8与x轴交于A , B两点， 与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为 D,与抛物线 的对称轴交于点E,连接CE,已知点A

9、, D的坐标分别为(-2, 0), (6, -8).(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F,使FOEzXFCE?若存在，请直接写出点 F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0, m),直线PB与直线 l交于点Q,试探究：当m为何值时， OPQ是等腰三角形.y八因动点产生的直角三角形问题13 .已知，如图 1,在梯形 ABCD 中，AD/BC, / BCD=90 , BC=11, CD=6, tan/ABC=2，点 E在 AD 边上，且 AE=3ED , EF/ AB 交 BC 于点 F,点 M、N

10、分别在射线FE和线段CD上.(1)求线段CF的长；(2)如图 2,当点 M 在线段 FE 上，且 AM，MN ,设 FM?cos/ EFC=x, CN=y, 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)如果 AMN为等腰直角三角形，求线段 FM的长.14 .如图，在矩形ABCD中，点。为坐标原点，点B的坐标为(4, 3),点A、C在坐标轴上，点 P在BC边上，直线1i： y=2x+3,直线 y=2x - 3.(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若 APM是等腰直角三角形， 求点M的坐标；(3)我们把直线1i和直线l2上的点所组

11、成的图形为图形 F,已知矩形ANPQ的 顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x,请直接写出x的取值范围(不用说明理由)因动点产生的平行四边形问题15 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a (a<0)与x轴 交于A, B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l: y=kx+b与y轴交于 点C,与抛物线的另一个交点为 D,且CD=4AC .(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k, b用含a的式子 表小)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点，若 ACE的面积的最大值为立，求 4a的值；(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点

12、Q在抛物线上，以点A, D, P, Q为顶 点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P的坐标；若不能，请说明理由.备用图16.如图，在矩形 OABC中，OA=5, AB=4,点D为边AB上一点，将4 BCD 沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC, OA所在的 直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.(1)求点E坐标及经过O, D, C三点的抛物线的解析式；(2) 一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时 动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达 点B时，两点同时停止运动.设运动时间为 t秒，当t为何值时，DP=DQ;(3)若点

13、N在(2)中的抛物线的对称轴上，点 M在抛物线上，是否存在这样 的点M与点N,使得以M, N, C, E为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.17 .如图，抛物线y= - x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)， 与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD与y轴交于 点E.(1)求直线AD的解析式；(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点 F,过点F作FGXAD于点G, 作FH平行于x轴交直线AD于点H,求 FGH周长的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A , M, P, Q为

14、顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直 线对称，求点T的坐标.18 .如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q,以AQ为 边作 RtAABQ ,使/ BAQ=90 , AQ : AB=3 : 4,作 ABQ 的外接圆。.点 C 在点P右侧，PC=4,过点C作直线mil,过点。作ODm于点D,交AB右 侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=CD,以DE, DF为邻边作矩形2DEGF.设 AQ=3x.(1)用关于x的代数式表示BQ, DF.(2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长.(3)在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形D

15、EGF是正方形？作直线BG交。于点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案).19 .在平面直角坐标系xOy (如图)中，经过点A ( T, 0)的抛物线y= - x2+bx+3 与y轴交于点C,点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称.(1)求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；(2)如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F, 且F在E的右边，过点E作EGLAD与点G,设E的横坐标为m, 4EFG的周 长为l,试用m表示l;(3)点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果 以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点

16、Q的坐标.,rC 月 020 .如图，直线y=mx+4与反比例函数y上(k>0)的图象交于点A、B,与x 轴、y 轴分别交于 D、C, tan/CDO=2, AC: CD=1: 2.(1)求反比例函数解析式；(2)联结BO,求/ DBO的正切值；(3)点M在直线x= - 1上，点N在反比例函数图象上，如果以点 A、B、M、 N为顶点的四边形是平行四边形，求点 N的坐标.21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2, 9),与 y轴交于点A (0, 5),与x轴交于点E、B.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线

17、于点C,点P为抛物线上的一点(点 P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时，四边形 APCD的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的 四边形是平行四边形，且 AE为其一边，求点M、N的坐标.因动点产生的梯形问题22 .如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=Lr+bx+c的图象与y轴交 3于点A,与双曲线y=g有一个公共点B,它的横坐标为4,过点B作直线l /lx轴，与该二次函数图象交于另一个点 C,直线AC在y轴上的截距是-6.(1)求二次函数的解析式；(2)求直线AC的表达式；(3)平面内是否存在点D,使

18、A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由.%O23 .如图，矩形OMPN的顶点。在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6, ON=3,反比例函数丫3的图象与PN交于C,与PM交于D,过点C ¥作CA ±x轴于点A ,过点D作DB，y轴于点B, AC与BD交于点G.(1)求证：AB / CD;(2)在直角坐标平面内是否若存在点 E,使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点 E的坐标；若不存在请说明理由.因动点产生的面积问题 24 .如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点 C为顶点的抛物

19、 线经过点A,点P是抛物线上点A, C间的一个动点(含端点)，过点P作PF1 BC于点F,点D、E的坐标分别为(0, 6), (-4, 0),连接PD、PE、DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为 定值，进而猜想：对于任意一点P, PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否 正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将 使4PDE的面积为整数”的点P记作 好点”, 则存在多个 好点”，且使4PDE的周长最小的点P也是一个 好点” .请直接写出 所有 好点”的个数，并求出 PDE周长最小时 好点”的坐标.25 .如图，四

20、边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点(与 点O、A不重合),连接CP,过点P作PMLCP交AB于点D,且PM=CP,过 点M作MN / OA,交BO于点N,连接ND、BM ,设OP=t.(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由.26 .在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2X2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB 与AG在同一直线上.(1)小明发现DGLBE,请你帮他说明理由.(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在

21、线段 DG上时，请你帮他求出此时 BE的长.(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段 DG与线段 BE将相交，交点为H,写出4GHE与4BHD面积之和的最大值，并简要说明 理由.27 .在平面直角坐标系中，。为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A,与直线 y=-x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A, B, C三点的抛物线的解析式；(2) P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为 Q.当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；若点P的横坐标为t (- 1<t<1),当t为何值时，四边形PBQC面积最大？ 并说明理由.28.如图，在平面直角坐标系中，点

22、 A (10, 0),以OA为直径在第一象限内作 半圆，B为半圆上一点，连接 AB并延长至C,使BC=AB,过C作CDx轴于 点D,交线段OB于点E,已知CD=8,抛物线经过 O、E、A三点.(1) /OBA=:(2)求抛物线的函数表达式.(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时，相应的点P有且只有3个?29.如图1,关于x的二次函数y=-x2+bx+c经过点A (-3, 0),点C (0, 3)点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2) DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等

23、？若存在求出点 P, 若不存在请说明理由；(3)如图2, DE的左侧抛物线上是否存在点 F,使2S/、fbc=3Saebc?若存在求 出点F的坐标，若不存在请说明理由.图1图230 .已知抛物线y=mx2+ (1-2m) x+1 - 3m与x轴相交于不同的两点 A、B(1)求m的取值范围；(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P,并求出点P的坐标；(3)当二 m08时，由(2)求出的点P和点A, B构成的 ABP的面积是否 有最值？若有，求出该最值及相对应的 m值.31 .问题提出(1)如图，已知 ABC,请画出 ABC关于直线AC对称的三角形. 问题探究(2)如图，在矩形 ABCD中，

24、AB=4, AD=6 , AE=4, AF=2,是否在边 BC、 CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长 的最小值；若不存在，请说明理由.问题解决(3)如图，有一矩形板材ABCD, AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出 一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使/ EFG=90 , EF=FG=/s米，/EHG=45 ,经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF<BF, 并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问 能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积

25、；若不能，请说明理由.32 .如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半 轴和x轴的正半轴上，OC=8, OE=17,抛物线y端x2 3x+m与y轴相交于点 A,抛物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.(1)将矩形OCDE沿AB折叠，点。恰好落在边CD上的点F处.点B的坐标为(、), BK的长是, CK的长是; 求点F的坐标；请直接写出抛物线的函数表达式；(2)将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点。恰好落在边CD上的点G 处，连接OG,折痕与OG相交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点 H重合)，连接MG, MO,过点G作GPXOM于点P,交EH于点

26、N,连接ON, 点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止， MOG和42019年中考数学挑战压轴题(含答案)NOG的面积分别表示为Si和S2,在点M的运动过程中，Si?S2 (即Si与S2的积) 的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值. 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.不取33 .如图，已知？ ABCD 的三个顶点 A (n, 0)、B (m, 0)、D (0, 2n) (m>n >0),作？ ABCD关于直线AD的对称图形ABiCiD(1)若m=3,试求四边形CCiBiB面积S的最大值;(2)若点Bi恰好落在

27、y轴上，试求旦的值.因动点产生的相切问题34 .如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A (-i, 0)和点B,与y轴相交于点C (0, 3),抛物线的对称轴为直线1.(D求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；(2)如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D,点C关于直线l 的对称点为N,试证明四边形CDAN是平行四边形；(3)点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD 相切，求点P的坐标./DA1 0 E工I |35 .如图，在 RtAABC 中，/ C=90° , AC=14, tanA且，点 D

28、 是边 AC 上一点,AD=8 ,点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点 D,点F 是边AC上一动点(点F不与A、C重合)，作FGXEF,交射线BC于点G.(1)用直尺圆规作出圆心E,并求圆E的半径长(保留作图痕迹)；(2)当点G的边BC上时，设AF=x, CG=y,求y关于x的函数解析式，并写 出它的定义域；(3)联结EG,当4EFG与4FCG相似时，推理判断以点 G为圆心、CG为半 径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系.BA36 .如图，线段PA=1,点D是线段PA延长线上的点，AD=a (a> 1),点。是 线段AP延长线上的点，OA2=OP?OD,以。为圆心，O

29、A为半径作扇形OAB, /BOA=90 .点C是弧AB上的点，联结PC、DC.(1)联结BD交弧AB于E,当a=2时，求BE的长；(2)当以PC为半径的。P和以CD为半径的。C相切时，求a的值；(3)当直线DC经过点B,且满足PC?OA=BC?OP时，求扇形OAB的半径长.37 .如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, AD=8cm,点P从点B出发，沿对角线 BD向点D匀速运动，速度为4cm/s,过点P作PQXBD交BC于点Q,以PQ 为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上，点。从点D出发，沿DC 向点C匀速运动，速度为3cm/s,以。为圆心，0.8cm为半径作。，点P与点 。同时出发

30、，设它们的运动时间为t (单位：s) (0<t<A).|5(1)如图1,连接DQ平分/ BDC时，t的值为;(2)如图2,连接CM,若4CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；(3)请你继续进行探究，并解答下列问题：证明：在运动过程中，点 O始终在QM所在直线的左侧；如图3,在运动过程中，当QM与。相切时，求t的值；并判断此时PM与 。是否也相切？说明理由.38 .如图，抛物线y=-jx2+mx+n的图象经过点A (2, 3),对称轴为直线x=1 , 一次函数y=kx+b的图象经过点A,交x轴于点P,交抛物线于另一点B,点A、 B位于点P的同侧.(1)求抛物线的解析式；(2)若P

31、A: PB=3: 1,求一次函数的解析式；(3)在(2)的条件下，当k>0时，抛物线的对称轴上是否存在点 C,使得。C 同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请 说明理由.备用图因动点产生的线段和差问题39 .如图，抛物线y=x2-4x与x轴交于O, A两点，P为抛物线上一点，过点P 的直线y=x+m与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 ；(2)若两个三角形面积满足 Sapoq=-Sapaq,求m的值；(3)当点P在x轴下方的抛物线上时，过点 C (2, 2)的直线AC与直线PQ 交于点D,求：PD+DQ的最大值；P

32、D?DQ的最大值.40 .抛物线 y=ax2+bx+4 (a* 0)过点 A (1, - 1), B (5, -1),与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1,连接CB,以CB为边作？ CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且？CBPQ的面积为30,求点P的坐标；(3)如图2,。1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为而上的一动点(不与点A, E重合)，/ MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N,求线段BN 长度的最大值.41 .如图，在每一个四边形 ABCD中，均有 AD/BC, CDXBC, / ABC=60 ,AD=8, BC=12.(1

33、)如图，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则4BMC的面积为;(2)如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出 BNC周 长的最小值；(3)如图，在四边形 ABCD的边AD上，是否存在一点 P,使得cos/ BPC 的值最小？若存在，求出此时 cos/ BPC的值；若不存在，请说明理由.图图图42 .如图，把 EFP按图示方式放置在菱形 ABCD中，使得顶点E、F、P分别 在线段 AB、AD、AC 上，已知 EP=FP=4, EF=4/3, /BAD=60 , H AB >4/3. (1)求/ EPF的大小；(2)若 AP=6,求 AE+AF 的值；(3)若 EFP的三个顶

34、点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接 写出AP长的最大值和最小值.第21页(共170页)2019年中考数学挑战压轴题（含答案）43.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= -2-x2-tx+2与x轴交于B、C两 33点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A,抛物线的顶点为D.（1）填空：点A的坐标为（,）,点B的坐标为（,）,点C的坐标为（, ）,点D的坐标为（, ）;（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标；在的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直 接写出线段EF的长；若点Q是线段

35、AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出 PQR周长的最小值.44.如图，矩形 ABCD中，AB=4, AD=3 , M是边CD上点，将 ADM沿直线AM对折，得至1 ANM .（1）当AN平分/ MAB时，求DM的长;（2）连接BN,当DM=1时，求4ABN的面积;（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.D制用国45 .如图，半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径，向点。方向作半圆 M ,其中P点在而上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.发现：正的长与质的长之和为定值1,求1: 思考：点M与AB的最大距离为 ,此时点P

36、, A间的距离为;点M与AB的最小距离为 ，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为探究：当半圆M与AB相切时，求靠的长.46 . （1）发现：如图1,点A为线段BC外一动点，且BC=a, AB=b .填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a, b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3, AB=1 ,如图2所示，分别以 AB, AC为边，作等边三角形 ABD和等边三角形ACE,连接CD, BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（2, 0）,点B的坐 标为（5,

37、 0）,点P为线段AB外一动点，且 PA=2, PM=PB, / BPM=9 0 ,请 直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.（却）（图2）（图可僮用勃47 .如图，直线l: y= - 3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4 （a< 0）经过点 B.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点 M在第一象限内，连接 AM、 BM,设点M的横坐标为m, AABM的面积为S,求S与m的函数表达式，并 求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M .第23页（共170页）2019年中考数

38、学挑战压轴题（含答案）写出点M的坐标；将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l ；当直线l与直线AM重合时停 止旋转，在旋转过程中，直线l与线段BM交于点C,设点B、M到直线l的距 离分别为di、d2,当di+d2最大时，求直线l旋转的角度(即/ BAC的度数).音用国48 .如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2 - 1的图象M沿x轴翻 折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二 次函数图象N.(1)求N的函数表达式；(2)设点P (m, n)是以点C (1, 4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次 函数的图象M与x轴相交于两点A、B,求PA2+PB2

39、的最大值；(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点.求 M与N所围 成封闭图形内(包括边界)整点的个数.49 .如图，顶点为A (V3, 1)的抛物线经过坐标原点 O,与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证： OCDAOAB;P点的坐标.（3）在x轴上找一点P,使得 PCD的周长最小，求出第#页（共170页）2019年中考数学挑战压轴题(含答案)2017挑战压轴题 中考数学精讲解读篇参考答案与试题解析一.解答题(共36小题)1.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P (0, 2)

40、顺时针旋转45。后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点.(1)求直线AB的函数表达式；(2)如图，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；(3)如图，若点 Q在y轴左侧，且点T (0, t) (t<2)是射线PO上一点， 当以P、B、Q为顶点的三角形与 PAT相似时，求所有满足条件的t的值.图圉管用图【分析】(1)根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线 AB的解 析式；(2)如图，过点Q作x轴的垂线QC,交AB于点C,再过点Q作直线AB 的垂线，垂足为D,构建等腰直角 QDC,利用二次函数图象上点的坐标特征和 二次函数最值的求法进行解答；(3)根据相

41、似三角形的对应角相等推知： PBQ中必有一个内角为45°需要 分类讨论：/ PBQ=45和/PQB=45 ;然后对这两种情况下的 PAT是否是直角 三角形分别进行解答.另外，以 P、B、Q为顶点的三角形与 PAT相似也有两 种情况： Q' PBPAT、BP PAT.【解答】解：(1)如图，设直线AB与x轴的交点为M. / OPA=45 , .OM=OP=2,即 M (-2, 0).设直线AB的解析式为y=kx+b (k*0),将M (-2, 0), P (0, 2)两点坐标代入，得p=kxo+b解得JkI.lb=2故直线AB的解析式为y=x+2;(2)如图，过点Q作x轴的垂线

42、QC,交AB于点C,再过点Q作直线AB 的垂线，垂足为D,根据条件可知 QDC为等腰直角三角形，则 Qd£2qC.2设 Q (m, m2),则 C (m, m+2). . QC=m+2 - m2= - ( m -y) 2+1_,QD#QC# (m-1) 2+i.故当m= 一时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为逗;28(3) V Z APT=45 ,.PBQ中必有一个内角为45°,由图知，/ BPQ=45不合题意.如图，若/PBQ=45 ,过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q'、F.此时满足/ PBQ =45. Q (2, 4), F (0, 4),此时

43、 BPQ是等腰直角三角形，由题意知 PAT也是等腰直角三角形. 当/ PTA=90时，得到：PT=AT=1 ,此时t=1；(ii)当 / PAT=90 时，得到：PT=2,此时 t=0.如图，若/ PQB=45 ,中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q'都在圆F上，设圆F与y轴左侧 的抛物线交于另一点Q' .则/PQ' B=/ PQ B=45(同弧所对的圆周角相等)，即这里的交点Q'也是符合要 第29页(共170页)2019年中考数学挑战压轴题(含答案)求.设 Q' (n, n2) (- 2<n<0),由 FQ

44、=2,得 n2+ (4 - n2) 2=22,即 n4- 7n2+12=0.解得 n2=3 或 n2=4,而-2<n<0,故 n=-V3,即 Q" ( - V3 , 3).可证 PFQ为等边三角形，所以/ PFQ =60；又 PQ =PQ, 所以/ PBQ 二L/PFQ =30°.2则在PQ' B 中，Z PQ B=45, Z PBQ =30°.(i)若Q' PBAPAT,则过点A作y轴的垂线，垂足为E.WJ ET=V3AE=/1, OE=1,所以 OT=6- 1,解得t=1 -6；(ii)若Q' BFAPAT,则过点T作直线A

45、B垂线，垂足为G. 设 TG=a,贝U PG=TG=a, AG=V3TG=V3a, APS,：/la+aR反解得 PT='/2a=V3- 1,OT=OP-PT=3-V3, t=3-h/3.综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1 - 或t=3 -V3 .2.如图，已知BC是半圆。的直径，BC=8,过线段BO上一动点D,作AD， BC交半圆。于点A ,联结AO ,过点B作BH，AO ,垂足为点H , BH的延长 线交半圆。于点F.(1)求证：AH=BD ;(2)设BD=x, BE?BF=y,求y关于x的函数关系式；(3)如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G,当4FAE与4F

46、BG相似 时，求BD的长度.【分析】(1)由ADBC, BHXAO,利用垂直的定义得到一对直角相等，再由 一对公共角，且半径相等，利用 AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利 用全等三角形对应边相等得到 OH=OD ,利用等式的性质化简即可得证；(2)连接AB, AF,如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到 三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；(3)连接OF,如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形 AFO与 三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可.【

47、解答】(1)证明：: ADBC, BHXAO, ./ADO=/ BHO=90 ,在AADO与ABHO中，ZAD0=ZBH0Zaod=Zboh,OA=OB.ADOABHO (AAS), .OH=OD,又 = OA=OB, . AH=BD ;(2)解：连接AB、AF,如图1所示，.AO是半径，AO,弦BF, . AB=AF , ./ABF=/AFB,在 RtAADB 与 RtA BHA 中，'AH二 BD:AB=BA'RtAADBRtABHA (HL),丁. / ABF= / BAD , ./ BAD=/AFB,又. / ABF=/EBA,BE = BA -第31页(共170页)2

48、019年中考数学挑战压轴题(含答案). ba2=be?bf,V BE?BF=y, y=BA2,/ADO=/ADB=90 ,. . ad2=ao2- do2, ad2=ab2- BD2,.,.ao2-do2=ab2-bd2, .直径 BC=8, BD=x, AB2=8x,贝 y=8x (0<x<4);方法二：v BE?BF=y, BF=2BH,BE?BH=-y . BEDs/X BOH,西则OB BHob?bd=be?bh,4x=-y,y=8x (0< x< 4);（3）解：连接OF,如图2所示, /GFB 是公共角，/ FAE>/G, 当 FAEs/XFBG 时，

49、/AEF=/G,vZ BHA= / ADO=90 , ./AEF+/DAO=90 , /AOD+/DAO=90 , ./AEF=/AOD,.G=/AOD,AG=AO=4 ./AOD=/AOF,. G=/AOF,又二/ GFO是公共角, .FAOs/XFOG,. 密奥OF FGAB2=8x, AB=AF , .AF=2 匹，. 渔=4, q 4+2V21解得：x=3 土而，3+>4,舍去， .BD=3-VI 3.如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线AB过点A (3, 0)、B (0, m) (m > 0), tan/ BAO=2 .(1)求直线AB的表达式；(2)反比例函数y=5的

50、图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点(BD< xBC),当AD=2DB时，求ki的值；(3)设线段AB的中点为E,过点E作x轴的垂线，垂足为点 M,交反比例函数丫二乜的图象于点F,分别联结OE、 x满足条件的所有k2的值.OF,当OEFs/XOBE时，请直接写出【分析】(1)先通过解直角三角形求得 得直线AB的解析式；(2fDEOA，根据题意得出瞪A的坐标，然后根据待定系数法即可求4二,求得DE,即D的横坐标，代入Ad JAB的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得ki;(3)根据勾股定理求得AB、OE,进一步求得BE,然后根据相似三角形的性质 求得EF的长，

51、从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上 点的坐标特征即可求得k2.【解答】解：(1) . A (3, 0)、B (0, m) (m>0), .OA=3, OB=m,tan/ BAO=J=2,OAm=6,设直线AB的解析式为y=kx+b,代入 A (3, 0)、B (0, 6)得：产北+bI, 6 二 b解得：b=6, k= - 2 直线AB的解析式为y=-2x+6;(2)如图 1, v AD=2DB , ._=_AB 3'作 DE / OA, 典里国OA AB 3 'DEOA=1 ,3D的横坐标为1,代入 y= - 2x+6 得，y=4, D (1, 4

52、),二 k1=1 X 4=4;(3)如图 2, v A (3, 0), B (0, 6),E (5，3), AB=Jo /第37页(共170页): OE是Rt OAB斜边上的中线,.EM，x 轴,，- F的横坐标为,2.OEFs AOBE,.理陛BE 0B图14.如图，在RtAABC中，/ ACB=90 , AC=1 , BC=7,点D是边CA延长线的 一点，AEXBD,垂足为点E, AE的延长线交CA的平行线BF于点F,连结CE 交AB于点G.(1)当点E是BD的中点时，求tan/ AFB的值；(2) CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的 值；如果变化，请

53、说明理由；(3)当4BGE和4BAF相似时，求线段 AF的长.【分析】(1)过点E作EHXCD于H,如图1,易证EH是 DBC的中位线及 AHEs/XEHD,设AH=x,运用相似三角形的性质可求出 x,就可求出tan/AFB的值；(2)取AB的中点O,连接OC、OE,如图2,易证四点A、C、B、E共圆,根据圆周角定理可得/ BCE=/BAF,根据圆内接四边形内角互补可得/ CBE+ /CAE=180 ,由此可推出/ CBE=/BFA,从而可得 BCEs/ fab ,即可得到 CE?FA=BC?AB,只需求出AB就可解决问题；(3)过点E作EHXCD于H,作EM，BC于M ,如图3,易证四边形

54、EMCH 是矩形，由 BCEAFAB, zBGE与4FAB相似可得 BGE与4BCE相似， 即可得到/ EBG=/ECB.由点 A、C、B、E共圆可得/ ECA=/EBG,即可得 至ij/ECB=/ECA,根据角平分线的性质可得 EM=EH,即可得到矩形EMCH是 正方形，则有 CM=CH,易证EB=EA,根据HL可得RtABMERtAAHE ,则 有BM=AH .设AH=x ,根据CM=CH可求出x,由此可求出CE的长，再利用(2)中的结果就可求出AF的值.【解答】解：(1)过点E作EHLCD于H,如图1,WJ有/ EHA= /EHD=90 ./BCD=90 , BE=DE, .CE=DE.

55、2019年中考数学挑战压轴题（含答案） .CH=DH,eh=1bc=-L. 22设 AH=x , WJ DH=CH=x+1.v AEXBD,丁. / AEH+Z DEH= / AED=90 . /AEH+/ EAH=90 , ./ EAH=/DEH, .AHEAEHD,工二二EH DH(-) 2=x (x+1), 解得x=Ll (舍负)， .tan/ EAH=7v BF/ CD,丁. / AFB= / EAH , tan/ 诙=空；（2） CE?AF的值不变.取AB的中点O,连接OC、OE,如图2,vZ BCA= / BEA=90 ,OC=OA=OB=OE 点 A、C、B、E 共圆， ./BCE=/BAF, / CBE+/CAE=180 .v BF/ CD, /BFA+/CAE=180 , ./