2018-2019学年湖南师大附中高一上学期期中数学试题含答案

1、2018-2019学年湖南师大附中高一上学期期中数学试题、单选题1,已知集合 M x|x1,N x|xa,且 M N.U（）A. a 1B. a 1C. a 1D. a 1【答案】A【解析】根据M N ,在数轴上作出M ,N ,可得结果.【详解】根据M N ,在数轴上作出集合 M ,N ,如图：故选：A.本题考查集合间的包含关系，注意利用数轴，是基础题12 .函数f x的值域是（）x 311a. rb. y|y - c. y| y -331D. y|0 y 一3【解析】根据不等式的性质即可求出函数的值域【详解】11因为 x2 3 30 、-,x2 3 3 ，一一，一，1所以函数的值域为：y|0

2、 y -.故选：D.【点睛】本题考查利用不等式的性质求函数的值域,注意不等式两边取倒数时，不会改变两边的一一 11八八正负，所以0 -2-不能弄错，考查基本运算求解能力.x2 33 .函数y loga x 42（a 0且a 1）的图象必经过点（）A. 0,1B. 5,1C. 5,2D. 1,5【答案】C【解析】 令对数的真数为1,求出x,y的值，从而得到函数过的定点坐标.【详解】 令x 4 1 x 5,所以y 2,所以函数过的定点坐标为 （5, 2）.故选C.【点睛】本题考查对数型函数过定点问题，考查对概念的理解，即只要对数的真数为1,不管底数如何变化，其对数值恒为1,考查基本运算求解能力.0

3、4 .实数 1 lg 4 2lg5的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】根据指数，对数的运算计算即可.【详解】0.12解： - lg4 2lg5 1 lg 4 51 2 3,故选：C.【点睛】本题考查指数，对数的运算，是基础题 .25 .设a log 2 e, b ln3e,c e （e为自然对数的底数），则a,b, c的大小关系为（）A. a b cB. cabC. bcaD. bac【答案】D【解析】 分析：根据对数函数与指数函数的性质可借助中间数比较.21.详斛：1 10g2e 2, ln3e 2, e T 1 , b a c. e故选D.点睛：比较大小时，能用一个

4、函数的，可根据函数的单调性进行比较，不能归到一个函数的可借助于中间数比较，如 0, 1, 2等等.a6.已知函数y xa R的图象如图所示,则函数 y 2、与丫 logax在同一直角2而得到答案.【详解】由哥函数的图象得 0 a 1,由y a x (1)x,得该函数单调递增， a由y logax,得该函数单调递减，故选：C.【点睛】本题考查募函数、指数函数、对数函数的图象，考查数形结合思想的运用，求解的关键是抓住函数的单调性.f x 1 ,x 47.已知 f x 1 x ，则 f 10g2 3 =(),x 412B.【解析】【考点】8.已知试题分析:分段函数.f x是定义在f X1 f X2解

5、得:2410g 2 3 f (log 2 6) L f (log 2 24),0上的减函数，且对任意 x，X2f X1 x23,23,0利用函数单调性和运算关系，得到不等式组,0,0,2 f所以不等式的解集为:3,故选：B.本题考查指数函数的单调性、指数不等式的解法,/ 1 10g224(2)1一，故选B.24,0都有2的解集为解不等式即得答案。x i,考查数形结合思想、2,012,2 2x 1,函数与方程思想,C. a 8,b 4D. a 2,b V2考查指数哥的运算与求解用计算器算得部分函数值如表所示,9 .某同学求函数f x lnX 2x 6的零点时,则方程lnx 2x 6 0的近似解（

6、精确度 0.1）可取为（）X232.52.752.6252.5625f X1.30691.09860.0840.5120.2150.066A. 2.52B. 2.625C. 2.47D. 2.75【答案】A【解析】由图表可知，函数 f X lnx 2x 6的零点介于2.5到2.5625之间，方程 lnx 2X 6 0的近似解也介于 2.5到2.5625之间，结合精确度和选项可得答案【详解】解：由图表可知，函数f X lnx 2X 6的零点介于2.5到2.5625之间,故方程lnx 2x 6 0的近似解也介于 2.5至IJ 2.5625之间,由于精确到0.1,结合选项可知2.52符合题意，故选：

7、A.本题考查二分法求方程的近似解，涉及精确度，属基础题10.已知函数f(x)=logo.5(x2ax + 3a)在1 , 十 °0上单调递减，则实数 a的取值范围是()A . ( £ 2)B. 2, + 8)1 1C. -,2D. ( -,222【答案】D【解析】分析：可看出该函数是由t x2 ax 32和y log【t复合而成的复合函数， 3这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义便可建立关于a的不等式组，解出即可.详解：令t=g(x) = x2ax+3a,易知f(t) = log0.5t在其定义域上单调递减，要使f(x)= 10g0.5 (x2 ax

8、+3a)在1, 十 °°止单调递减，则 t=g(x)=x2ax+3a 在1,十°°)上单调递增，且 t=g(x)依2.=x2 ax+ 3a>0,即 4上 所以,& 1 >0-1即<<aw纵选D.G一于2点睛：本题考查二次函数、对数函数和复合函数的单调性，以及复合函数的定义，对数 函数的定义域.一 .一5 b a11.已知a b 1,右logab log ba 一，a b，则a,b的值分别为（）2A. a 5,b 2B, a 4,b 2【答案】B【解析】利用指数式与对数式的互化，设 5 一，tlogab代入式子logab l

9、og ba 求得t2的值，从而得到a,b的关系，再利用式子 abba求得a,b的值.151所以t -,解得t 2或t t22因为ab ba,所以ab aat,即b一，1因为a b 1,所以b a,代入【详解】1设 t 10gab ,则 logba - , b at，at,ab a /口 o / a、aa b 得：a2 (一)a 4,22所以b 2.故选B.12.对于实数a和b ,定义运算a,ab,a八、5C.22x x 2 x x , x则实数c的取值范围是（1,4U14,【解析】分类讨论求出f(x)R,若函数c的图象与x轴恰有两个公共B.D.1,1,作出图像,本题考查指数式与对数式的互化，考

10、查转化与化归思想的应用，求解时要注意条件 a b 1的运用，考查运算求解能力图像可得结果.,2_2.3_2_当 x 2 x x 1 ,即 1 x 万时，f(x) x 2；当 x2 2 x x21 ,即 x 1 或 x 之时，f (x) x x2 ,223x 21 x -f(x)2x x2 x1或 x -2f(x)的图象如图所示,3233-f(0)2, f(2)f( 1)1,观察图像得，若直线 y c与f(x)的图象有两个交点,3则c 2或1 c -.4故选：B.本题考查函数图像交点个数问题，关键是准确画出函数图像，是中档题二、填空题13.不等式4k 12的解集是一一 31【答案】x|x *或x

11、 122【解析】将不等式的两边都化成以 2为底的指数式，再解指数不等式不等式 4号1 2221x1| 212|x 1| 1,1所以|x 1| 111一31x 1或x 1,解得：x-或 x,故答案为：x | x 或x .22【点睛】1本题考查绝对值不等式的解法，求解时要会利用整体思想，即把 x看成一个实数,2然后利用绝对值的几何意义解不等式，考查运算求解能力1 114.若 2a 5b 10,则一一.a b【答案】1【解析】将指数式化为对数式，再取倒数相加即得.【详解】2a= 5b= 10, 1 a=log210, b= log5 10,lg 51 1 lg2+lg5= lg (2>5) =

12、 1,a b故答案为1.本题考查了对数的运算性质.属基础题.15.设 min x,yy x y2,则min x,2 x的最大值为x xy【答案】1.【解析】分析：由定义，求出 min-2x,2 x 的解析式，画出函数图象，确定最大值详解：由-x 2x2,解得x2或x -1yxyQ min x,y,xxy. 八 22 x2, x 2或x1min x,2 x =x, 1 x 2函数图象如图所示，当 x=-1时取得最大值1.故答案为1.点睛：本题考查确定函数解析式和函数最值的方法，画出函数图象，用数形结合的方法可以简化此类问题的求解过程 .1 x216.已知函数f x 与g xlog4 x 2ax

13、4 a 0 ,若对任意的2xi0,1 ,都存在x20,2 ,使得f xg x2 ,则实数a的取值范围是 .【答案】2,【解析】 求出函数y f x在区间0,1上的值域为 1,1 ,由题意可知，由1 10g4 u 1,可得出2 u 4,由题意知，函数u x2 2ax 4在区间0,2上的2值域包含2,4 ,然后对a分0 a 1、1 a 2、a 2三种情况分类讨论，求出函a的不等式（组），解出即数u x2 2ax 4在区间0,2上的值域，可得出关于实数可.x1由于函数在0,1上的减函数，则 12所以，函数x在区间0,1上的值域为2,1对于函数g xx2 2ax 4 ,外层函数为,2log 4 x 2

14、ax 4 ,内层函数为uy 10g 4 u.91令一 10g 4 u 1,得 2 u 4.2由题意可知，函数 u x22ax4在区间0,2上的值域包含2,4函数u x2 2ax 4的图象开口向上，对称轴为直线 x a 0.(i)当0 a 1时，函数u x2 2ax 4在区间0,a上单调递减，在区间 a,2上单调递增，贝 U Umin 4 a2, umax max 4,8 4a8 4a,即 4 a2u 8 4a,22此时，函数u x2 2ax 4在区间0,2上的值域为 4 a ,8 4a ,一 一 4 a2 2 ,一 _.由题息可得，解得a72,此时，a ;8 4a 4(ii)当1 a 2时，函

15、数u x2 2ax 4在区间0,a上单调递减，在区间 a,2上单调递增，则 umin4 a2, umaxmax 4,8 4a4,即 4a2u 4,此时，函数u x22ax 4在区间0,2上的值域为4a2,4,由题意可得4 a2 2 ,解得a 衣或a 衣，此时72 a 2；(iii)当a 2时，函数u x2 2ax 4在区间0,2上单调递减，则umin 8 4a,umax 4,则函数u x2 2ax 4在区间0,2上的值域为 8 4a,4 ,3由题息可得8 4a 2 ,解得a -,此时，a 2.2综上所述，实数a的取值范围是应 .【点睛】本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将

16、问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题 三、解答题17 .已知函数f x ax2 3 a 0且a 1经过定点A,且A在哥函数g x xm的 图象上.(1)求m的值；(2)设集合 M x|fx 5,N x| g x 2x3,若 M N M,求 a的 取值范围.【答案】(1) 2; (2) 收,1(1,2【解析】(1)由题可得定点 A(2,4),代入g(x) xm即可;(2)根据(1)可得N x| 1 x 3，对a 1,0 a 1分类讨论，求出集合 M,又由M N M列不等式求出a的取

17、值范围.【详解】(1)因为函数f(x) ax 2 3 (a 0且a 1)经过定点A(2,4),将点A(2,4)代入函数g(x) xm中，得m 2 .(2)由 g(x) 2x 3,即 x2 2x 3x2 2x 3 01 x 3，则集合N x| 1 x 3,又由 f (x) 5 ,得 ax 2 3 5ax 2 2，当 a 1 时，x 2 log a 2,则 Mx| x 2 loga 2 ,要 M N M ,则 2 loga 2 3loga 2 1 a 2,所以1 a 2.当 0 a 1时，x 2 loga 2,则 M x|x 2 loga 2 ,要 M N M ,331 J则 2loga 21 l

18、og a 23 a 32 a3-a 3-,所以。a 1,综上所述，a的取值范围为 41,1(1,2.【点睛】本题考查指数函数，对数函数的性质，考查集合的运算，注意合理的分类讨论，是中档题.218 .已知函数f x T 1.1 2x(1)判断函数f x的奇偶性并给出证明；x x 1(2)设g x f 42 f m ,若函数g x有且只有一个零点，求实数 m的取值范围.【答案】(1)奇函教，证明见解析；(2) m1或m0【解析】(1)通过f x ,求出f x ,可得f( x) f(x),即为奇函数;(2)设Xx2 ,计算可得f X1f X20,可得函数f(X)为减函数，将函数g X有且只有一个零点

19、，转化为 m4X2X 12X22 2X只有一个根，令t 2X,t (0,)，转化为 mt22M(0,)只有一个正数根，利用韦达定理可得结果.(1)函数为奇函数,一2证明：f (x) 11 2Xf( x)2X 12X 1f(X),则函数为奇函数;(2)首先判断函数f(X)的单调性,设XiX2,f X1f X2Xi2 2X2 2X101 2X1 1 2x2Q X1x2, 2*2X2, 2X22X10, 12X12X2则 f X1f x2故函数f(X)为减函数;由 g(X) f4X 2Xf (m) 0 得 f4X2* 1f (m),即：m 4X2X12X2 2 2X,令 t 2X,t(0,)2则：m

20、 2X2 2Xt2 2t,t (0,2)，即t2t m 0,t(0,),等价于上述方程有且仅有一个正数根,根据韦达定理解得：m本题考查函数与方程的综合问题，要熟练将问题进行转化,注意函数单调性的证明，是中档题.19.已知函数y f x是定义在R上的偶函数，且X 0, 时,(1)求x ,0时f x的解析式;(2)在如图坐标系中作出函数f X的大致图象;(3)若不等式f X | k恰有5个整数解，求k的取值范围(1) f(x)【解析】(1)当x2,x 1,0);(2)图像见解析；(3)3, k 81,x (,1),0 , x 0,利用奇偶性得f x f x ,代入2x 2,x0,1f x 2可得答

21、案;x 1,x1,(2)分段作出函数图像;(3)作出y | fx的图像，观察图像可得结果.解：(1)当x,0所以f x f2 x 2, x x2 1,x1,0,1 ；若不等式f x（3）作出y f x的图像如图:k恰有5个整数解，这5个整数解必为2, 1,0,1,2 ,由图像可得38.【点睛】 本题考查分段函数的图像及其应用，充分利用图像解决不等式的解的问题，是中档题20 . 一片森林原面积为a ,计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等.开丁划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年.为保护生1态环境，森林面积至少要保留原面积的一.已知到今年为止，森林剩余面

22、积为原面积的4(1)求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比;(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年?(3)为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年?1【答案】（1） 11 10; （2） 5年；（3） 15年2【解析】（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是(2)10年，设每年砍伐面积的百分比为 x可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比;设经过m年剩余面积为原来的 ,根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原 2来的，2,可列出关于m的等式，解之即可;2（3）根据题意设从今年开始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面积，由题意,建立关于n的不等关系，利用一些不等关系

23、即可求得今后最多还能砍伐多少年【详解】(1)设每年降低百分比为x,(0 x 1).则 a(1 x)10 1a,即(1 x)101,1解得x 11 10;2(2)设经过m年剩余面积为原面积的叵,则 a(1 x)m222a，即m1 102115m 1一,m 5.210 2到今年为止，已砍伐了 5年;(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为白1nx).令条(1 x)n 1a,即(1 x)nn103 ,n 15.2故今后最多还能砍伐15年.本题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化.解决实 际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立

24、数学模型;(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型.一 一、“，m 4x 121 .已知函数 f x - m ( m R ).2x(I)若函数f x有零点，求实数 m的取值范围；(n)若对任意的x1,0 ,都有0 f x 1,求实数m的取值范围【答案】(1),0 U 4,(2) 2,4【解析】分析：(1)由函数f x有零点得：关于x的方程m 4x m 2x 1有解令t 2x,则t 0 ,于是有关于t的方程mt2 mt 1 0有正根，设.2g t mt mt 1,对m进行讨论即可；m 41(2)由题意可得0 m 41 m 1, x 1,0 ,变形为

25、：2x0 m 4x 2x 1 2x,进行分类讨论化简整理可得 .详解：(1)由函数f x有零点得：关于x的方程m 4x m 2x 1 0 (m R)有解令 t 2x,贝U t 0于是有，关于t的方程mt2 mt 1 0有正根21设g t mt mt 1,则函数g t的图象恒过点 0,1且对称轴为t -当m 0时，g t的图象开口向下，故 g t 0恰有一正数解当m 0时，g t 10,不合题意1 -当m 0时，g t的图象开口向上，故gt 0有正数解的条件是 厂14 cg - 02 4m解得：m 4综上可知，实数 m的取值范围为,04,.(2)由当x 1,0时，都有0 f x1”得：1,0m

26、4x 1 2x 2x 0,故变形为：0 m 4x 2x 1 2x当x 0时，不等式简化为0 11,此时实数 m R当x 1,0时，有1 2x 0 4x 2x 2x 2x 10242x 1 2x2x 1 2x1当 x 1,0 时，1 2x1,012 x . x，2 414当且仅当x1时取等号综上可知，实数m的取值范围2,4 .点睛：本题考查了函数零点问题、不等式恒成立问题处理方法，考查了分类思想22.设函数 f xlOga 22mx2loga x 2x 3 , a0,a 1 .(1)若x m,4 时，g x2x 3 a的值域为4,10 ,求m的值;(2)若f 00,求不等式0的解集.(1) 1； (2)见解析(1)由题意,化简得g(x) 2