冀教版九年级数学下册精品教案全册

1、2019年春冀教版九年级数学下册教案第二十九章直线与圆的位置关系29.1点与圆的位置关系1 .能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系.2 .学会用已知点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系.3 .认识三角形的外接圆，三角形的外心的概念，会画三角形的外接圆.一、情境导入同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的， 射击的成 绩是由击中靶子不同位置所决定的；如图是一位运动员射击6发子弹在靶上留下 的痕迹.你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算. （击中最里面的圆的成 绩为10环，依次为9、8、1环）二、合作探究探究点一：点和圆的位置关系【类型一】判断

2、点和圆的位置关系如图，已知矩形ABCD勺边AB= 3cm, AD= 4cm.(1)以点A为圆心，4cm为半径作。A,则点B, C, D与。A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作。A,使B, C, D三点中至少有一点在圆内且至少有一 点在圆外，则。A的半径r的取值范围是什么？/o51解：(1)AB= 3cm<4cm,点 B在。A 内；v AD= 4cm,点 D在。A上;. AC= 132+ 42 = 5cm>4cnn,点 C在。A外.(2)由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外.d cm< r<5cm.【类型二点和圆的位置关系的应用如图，点O处有一灯塔，警示。内部为危

3、险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由.解：渔船应沿着灯塔。过点P的射线OP方向航行才能尽快离开危险区.理 由如下：设射线 OP交。与点A,过点P任意作一条弦CD连接OD在4ODP 中，OD- OP< PD 又O* OA OA- OPc PD PA< PD 即渔船沿射线 OP方 向航行才能尽快离开危险区.探究点二：确定圆的条件类型经过不在同一直线上的三个点作一个圆已知：不在同一直线上的三个已知点A, B, C(如图)，求作：。O,使它经过点A, B, C解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边ABBC的垂直平分线相交

4、于点O,以O为圆心，以O她半径，作出圆即可.解：(1)连接AB BC(2)分别作出线段AB BC的垂直平分线DE GF两垂直平分线相交于点 O, 则点O就是所求作的。O的圆心；(3)以点O为圆心，OC长为半径作圆.则。O就是所求作的圆.方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握.探究点三：三角形的外接圆类型一与圆的内接三角形有关的角的计算如图，/XABCft接于。O, /OA住20° ,则/ C的度数是解析：由O是OB知/OA氏/OB是20° ,所以/AO口140° ,根据圆周一 1 一角定理，得/C= 22AO比70方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角

5、定理找相等的角实现互 换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系.【类型二与圆的内接三角形有关线段的计算如图，在 ABC中，O是它的外心，BG= 24cmi O至ij BC的距离是5cmi求 ABC的外接圆的半径.1 一解：连接 OB 过点。作 ODL BC 则 O* 55 BA /BC= 12cm.在 RtAOBD中，OB= qoD+ bD=52+ 122 = 13cm.即ABC勺外接圆白半径为 13cm.方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于 OB过点。作ODL BC易得BD= 12cm.由此可求它的外接圆的半径.三、板书设计教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离

6、相离，它是三角形三边垂直平分线的交点.在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.29.2 直线与圆的位置关系1. 了解直线和圆的不同位置关系.2. 了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念.3,能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.一、情境导入你看过日出吗，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程 中，二者会出现几种位置关系呢？如图二者是什么关系呢？、合作探究探究点一：直线与圆的位置关系【类型一】根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系已知。的半径为5,点P在直线l上，且O25,直线l与。的位置关系是（）A.相切B .相交C.相离D .相切或相交解析：我们考虑圆心到直线l的距离，如果

7、距离大于半径，则直线 l与。 的位置关系是相离；若距离等于半径，则直线 l与。相切；若距离小于半径， 则直线l与。相交.分两种情况讨论：（1） OPL直线l ,则圆心到直线l的距离 为5,此时直线l与。相切.（2）若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离 小于5,此时直线l与。相交.所以本题选D.方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要 判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离.ABC, AB= 10cmr| AG= 8cm, BC= 6cm,以点 B 为圆心、6cm为半径作。B,则边AC所在的直线与。B的位置关系是.解析：根据圆心到直线的距离与半径的大小关

8、系来判断. 本题根据勾股定理 的逆定理可知4ABC是直角三角形，AG BC是直角边，则圆心B到直线AC的距 离是6cm,等于。B的半径，所以AC所在的直线与OB相切.方法总结：根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状同时求出圆心到直线 的距离是解题的关键.【类型二】坐标系内直线与圆的位置关系的应用如图，在平面直角坐标系中，OA与y轴相切于原点O,平彳r于x轴的直线交。A于M N两点.若点M的坐标是(一4, 2),则点N的坐标为()A. (-1, -2) B . (1 , 2)C. (-1.5 , -2) D . (1.5 , -2)解析：过点A作AQL MNT Q,连接AN设半径为r,由垂径定理

9、有MQt NQ 所以AQk2, AN= r, N岸4- r,利用勾股定理可以求出 N0 1.5,所以N点坐标 为（1, -2）.故选 A.方法总结：在圆中如果有弦要求线段的长度，通常要将经过圆心的半径画出, 利用垂径定理和勾股定理解决问题.【类型三】由直线和圆的位置关系确定圆心到直线的距离已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是.解析：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离，所以圆心到直线的 距离大于圆的半径，即d>5.【类型四由直线和圆的位置关系确定圆的半径直线l与半径为r的。O相交，且点O到直线l的距离为8,则r的取值范围是解析：因为直线l与半径

10、为r的。O相交，所以d<r,即8<r,所以填r>8.三、板书设计判断汽线与网L 的位呼荚系了"11续。网的位：' 置一关家持i定网心 到11班的孙商范围教学过程中，强调学生从实际生活中感受，体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程 .29.3 切线的性质和判定1 .掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算 与证明（重点）；2 .掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证 明（重点,难点）;3 .能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.一、情境导入圆形的木盘,约在6000年

11、前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子 你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？二、合作探究探究点一：切线的性质【类型一切线的性质的运用颐1如图，点O是/ BAC的边AC上的一点，。与边AB相切于点D,与 线段AO相交于点E,若点P是。上一点，且/ EPD=35° ,则/BAC的度数为（）A. 20° B. 35°C. 550 D. 70°解析：连接OD, 丁。0与边AB相切于点D, . .ODIAD,./ADO=90° ./EPD=35° ,EOD = 2/EPD = 70° , ./BAC=90° /EOD

12、=20°故选A.方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理.解题时要注意运用切线 的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想.【类型二 利用切线的性质进行证明和计算如图，PA为。的切线,A为切点.直线PO与。O交于B、C两点,/ P= 30° ,连接 AO、AB、AC.(1)求证： ACBAAPO;（2）若ap=J3,求。的半径.（1）证明：: PA为。的切线,A 为切点， ./ OAP=90° .又. /P = 30° , ./AOB=60° ,又 OA=OB, .AOB 为等边三角形.AB=AO, / ABO= 60°

13、.又; BC 为。O 的直径， ./ BAC=90° .在4ACB 和AAPO 中，/ BAC=/OAP, AB = AO, /ABO=/AOB, a ACBAAPO;(2)解：在 RtAOP 中，/ P = 30° , AP = a/3, ；AO=1,即。的半径为 1.方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的 性质转化已知条件，构造出等量关系求解.【类型三探究圆的切线的条件如图,O O是4ABC的外接圆,AB=AC=10, BC=12, P 是BC上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.当点P在什么位置时，DP是。O的切线？请说明

14、理由;当DP为。O的切线时，求线段BP的长.解析：(1)当点P是BC的中点时，得PBa=pCa,得出PA是。的直径，再 利用DP/BC,得出DPXPA,问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出 半径长，进而得出AB的长，在RQABP中再次利用勾股定理即可求出 BP的长.解：(1)当点P是BC的中点时，DP是。的切线.理由如下：= AB=AC, .AB=AC,又PB=PC,pBA=pCa,pa是。的直径.; PB=PC,； /1 = /2,又AB = AC, .PABC.又DP/BC, .DP,PA, .DP 是。的 切线.1(2)连接OB,设PA父BC于点E.由垂径定理，得 BE = B

15、C = 6.在RtAABE 中，由勾股定理，得 AEZAB2BE2 = 8.设。的半径为r,则OE=8r,在 RtzXOBE 中，由勾股定理，得 r2=62+(8r)2,解得 r = 25.在 RDABP 中，AP = 2r = 25, AB=10, .BP=y (25) 2-102 = 125.方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理 与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论.探究点二：切线的判定类型一 判定圆的切线如图，点D在。的直径AB的延长线上，点C在。上，AC=CD,/D = 30° ,求证：CD是。的切线.证明：连接 OC, . AC = CD,

16、/D = 30° , ./A=/D = 30° . . OA=OC, ./2=/A=30° , . ./1 = 60° , . ./OCD = 90° , a OCXCD, . CD 是。O 的切线.方法总结：切线的判定方法有三种：利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线； 经过半 径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.类型二切线的性质与判定的综合应用如图，ab是。O的直径，点f、C是。O上的两点，且AF = FC = CB,连接AC、AF,过点C作CDLAF交AF的延长线于点D,垂足为

17、D.（1）求证：CD是。O的切线;若CD = 243,求O O的半径.分析：（1）连接OC,由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得/ACD=/B,再根据等量代换得到/ ACO+/ACD = 90° ,从而证明CD是。O 的切线；（2）由AF=FC=CB推得/DAC = /BAC=30°,再根据直角三角形中300角所对的直角边等于斜边的一半即可求得 AB的长，进而求得OO的半径.(1)证明：连接 OC, BC. . FC = CB, ；/DAC = /BAC. . CDLAF, ./ADC = 90° .AB 是直径，./ ACB=90° . .

18、 / ACD = / B.BO= OC, / OCB= /OBC, ./ACO+/ OCB = 90° , /OCB=/ OBC, /ACD=/ABC,/ACO + /ACD=90° ,即OCCD.又OC是。的半径，. CD是。O的切线；(2)解：. AF = FC = CB,DAC=/ BAC = 30° .vCDXAF, CD = 2V3, . AC=45.在 RtABC 中，/BAC=30° , AC= W3, .BC = 4, AB = 8, 。O的半径为4.方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性 质构造直角三角形，在

19、解直角三角形时常运用勾股定理求边长.三、板书设计1 .切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.2 .切线的判定经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件， 整个学习 过程是一个逐层深入的过程.因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时 进行解决，使学生能更全面的掌握知识.29.4切线长定理1 .掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.2 , 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.3 .学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你

20、二、合作探究探究点一：切线长定理类型利用切线长定理求三角形的周长如图，PA PB分别与。相切于点A B,。的切线EF分别交PA PB于点E、F,切点C在AB上.若PA长为2,则4PEF的周长是.解析：因为PA PB分别与。相切于点A B,所以PA PB,因为。的切 线EF分别交PA PB于点E、F,切点为C,所以EA= EC, C曰BF,所以4PEF的周长 PE+ EF+ PF= P曰 EG CF+ PF= (PE+ EC + (CR PF) = PA PB= 2 + 2 = 4.【类型二利用切线长定理求角的大小如图，PA PB是。的切线，切点分别为 A、B,点C在。上，如果/AC年70

21、76; ,那么/ OPA勺度数是度.解析：如图所示，连接OA OB:PA PB是。的切线，切点分别为A、B,OAL PA OBL PB, ./OAP=/OB3 90° .又. /AO&2/AC氏 140° ,；/APB= 360° - ZPAO-ZAOB-ZOBP= 360° 90° 140° 90° =40° .又易证_ _1_ C POA2APOB . ./OP号 22APB= 20 .故答案为 20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角 形.另外根据全等的判定，可得到 PO

22、F分/APB【类型三切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若测得 PL 5cmi则铁环的半径长是多 少？说一说你是如何判断的.解：过O作OQL AB于Q设铁环白圆心为 O,连接OP OA : AR AQ为OO 的切线，AO为/ PAQ勺平分线，即/ PAO= / QAO又/ BA生60° , Z PAO / QAO + /BA生 180° , ./PAd /QAG 60° .在 RtOPA, PA 5, /

23、 PO* 30° , . OP= 5J5（cm）, 即铁环的半径为5 5cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，。是边长为2的等边 ABCB内切圆，则。的半径为解析：如图，连接OD由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的、，一，一 。 一 -,-1 -一一i -交点.所以 /OCR30 , ODLBC 所以 C*58（； O生2OD又由 BC= 2, M CD=1.在RtOC时，根据勾股定理得 oD+ cD=oC,所以oD+ 12=（2OD2,所以OA乎.即。的半径为乎. 33方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点, 它到

24、三边的距离相等.【类型二求三角形的周长如图，RtzXABC的内切圆。O与两直角边AB, BC分别相切于点D E,过劣弧DE（不包括端点D、E）上任一点P作。O的切线MNf AR BC分别交于点 MN若。的半径为r,则RtzXMBN勺周长为（）A. r B. 3r C . 2r D. 5r 22A解析：连接 OD OE 。0是 RtzXABC的内切圆，.ODL AB, OEL BC 又 二乂口MPtB是。的切线，且 R P是切点，.二M&MP同理可得NF NE,CfMB尸MB + BN+ NM= M济 BN+ NA PM= M计 M济 BN+ NE= BN BE= 2r,故选 C.、板书

25、设计利用切战长定理 求一速i形的周K切线长定理的 实际应用题教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题.明确三角形内 切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.29.5正多边形和圆1 . 了解正多边形与圆的有关概念;2 .理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形.（重点）一、情境导入生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示蛋糕平均分成 6份，你能帮他做到吗？二、合作探究探究点一：圆的内接正多边形的相关计算T2的6条边都和圆O相切.设Ti, T2的边长分别为a, b,圆。的半径为r,求r ： a及r ：

26、 b的值；(2)求正六边形Ti, T2的面积比& : S2的值.解：(1)连接圆心。和的6个顶点可得6个全等的正三角形.所以r： a= 1 ： 1.连接圆心。和T2相邻的两个顶点，得以圆。的半径为高的正三角形，所以 r ： b=# : 2;(2)正六边形Ti与T2的边长比是43 ： 2,所以Si ： S2=3 ： 4.方法总结：解答此题的关键是根据题意画出图形， 再由三角函数的定义及特 殊角的三角函数值求解.探究点二：与正多边形相关的计算类型 求正多边形的中心角解析：每个内角为108° ,则每个外角为 72。.根据多边形的外角和等于 360° ,正多边形的边数为 5

27、,则其中心角为3600 + 5=72° .故填72.方法总结：本题考查了正多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便.类型二求正多边形的边长和面积已知正六边形ABCDEF的外接圆半径是R,求正六边形的边长a和面积S.解：连接 OA、OB,过 O 作 OHXAB,则/ AOH = 180=30° , . .AH=R, 62. .a=2AH = R.由勾股定理可得 OH2=R2(2R)； . .OHmR, . .S=2 a OHX 6= 2 . R -岑R . 6 = 2R2.方法总结：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正

28、六边形 的边长等于半径.三、板书设计求正岩边形 的中心用圆内接正多边 形的相关计算求正多边形的边长和面积教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.第三十章二次函数30.1 二次函数1 .理解、掌握二次函数的概念和一般形式；（重点）2 .会利用二次函数的概念解决问题；（重点）3 .列二次函数表达式解决实际问题.(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6m,窗户面积为y m2,窗户宽为x m,你能写出y 与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？、合作探究探究点一：二次函数的概念类型一 二次函数的识别卜列函数中是二次函数的有(®y=x+X

29、；y=3(x-1)2 + 2;y=(x+ 3)2-2x2;丫=，十 x.A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个1 1 . 一一解析：丫二乂十.y=7+ x的右边不是整式，故 不是二次函数；y = 3(x 1)2+2,符合二次函数的定义； 、=(x+3)22x2= x2+6x+9,符合二 次函数的定义.故选C.方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准： 所表示的函数关 系式为整式；所表示的函数关系式有唯一的自变量； 所含自变量的关系式最高次数为2,且函数关系式中二次项系数不等于0.【类型二利用二次函数的概念求字母的俏当k为何值时，函数y=(k1)xk2+k+1为二次函数?解析：根

30、据二次函数的概念，可得k2+k=2且同时满足k- 1*0即可解答.解：:函数y=(k1)xk2 + k+1为二次函数,%2+k=2, 1"解得,方法总结：解答本题要考虑两方面：一是x的指数等于2;二是二次项系数不等于0.【类型三】二次函数相关量的计算已知二次函数y= x2 + bx+ 3,当 x=2 时，y= 3.则 x= 1 时，y=解析：:二次函数 y= -x2+bx+ 3,当 x=2 时，y= 3, 3= 22+2b+3, 解得b = 2. .这个二次函数的表达式是y= x2 + 2x+ 3.将x=1代入得y=4.故答 案为4.方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值.【

31、类型四】二次函数与一次函数的关系2、 2.-.已知函数 y=(m m)x +(m 1)x+ m+ 1.(1)若这个函数是一次函数，求 m的值;(2)若这个函数是二次函数，则 m的值应怎样？解析：根据二次函数与一次函数的定义解答.解：(1)根据一次函数的定义，得m2 m=0,解得m= 0或m= 1.又: m 1 w0, 即mw1, .当m=0时，这个函数是一次函数；(2)根据二次函数的定义，得 m2 m*0,解得m*0或m*1, .,.当m*0或 m*1时，这个函数是二次函数.方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项 的系数不等于零.探究点二：从实际问题中抽象出二次函数

32、解析式【类型一 从几何图形中抽象出二次函数解析式端D菜园C如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米) 的函数关系式为多少?1解析：根据已知由AB边长为x米可以推出BC = 2(30 x),然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式.1解：:AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，. BC=-(30- x), 菜11 O园的面积=ABXBC= 2(30 x) x,则采园的面积y与x的函数关系式为y= /x + 15x.方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化.有些题目是以几何知识

33、为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立【类型二】从生活实际中抽象出二次函数解析式某工厂生产的某种产品按质量分为 10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加 2元,但一天产量减少5件.(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1<x<10),求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.解析：(1)每件的利润为6 + 2(x1),生产件数为95 5(x1),则y=6 + 2(x -1)95-5(x-1); (2)由题意可令y=1120,求

34、出x的实际值即可.解：(1)二.第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档 次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，.第x档次，提高的档次是(x- 1) 档，利润增加了 2(x 1)元.y=6 + 2(x 1)955(x1),即 y= 10x2+180x + 400(其中x是正整数，且10x010);(2)由题意可得一10x2+180x+ 400=1120,整理得 x218x+72=0,解得 x1 =6, x2=12(舍去).所以，该产品的质量档次为第6档.方法总结：解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型.、板书设计二次函数1,二次函数的概念2.从实际问题中抽象

35、出二次函数解析式二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之 间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型. 许多实际问题往往可以归 结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次 函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式.在教学中要重30.2第1课时视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到 列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意 义.二次函数的图像和性质二次函数y=ax2的图像和性质1 .会用描点法画出y = ax2的图像，理解抛物线的概念.2 .掌握形如y =

36、ax2的二次函数图像和性质，并会应用.、情境导入一 1c .自由落体公式h = 2gt2（g为常量），h与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图像是什么形状呢?二、合作探究探究点一：二次函数y = ax2的图像类型图像的识别已知aw0,在同一直角坐标系中，函数 y=ax与y = ax2的图像有可能是（）解析：本题进行分类讨论：（1）当a>0时，函数y = ax2的图像开口向上，函 数丫 = 2乂图像经过一、三象限，故排除选项 B； （2）当a<0时，函数y = ax2的图 像开口向下，函数y = ax图像经过二、四象限，故排除选项 D；又因为在同一直 角坐标系中，函数y = ax

37、与丫 = 2乂2的图像必有除原点（0,0）以外的交点，故选择 C.方法总结：分a > 0与a< 0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取排除法【类型二实际问题中图像的识别已知h关于t的函数关系式为h=2gt2（g为正常数，t为时间），则函数图像为（）解析：根据h关于t的函数关系式为h = 2gt2,其中g为正常数，t为时间,因此函数h = 2gt2图像是受一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义.探究点二：二次函数y = ax2的性质【类型一利用图像判断二次函数的增减性作出函数y= x2的图像，

38、观察图像，并利用图像回答下列问题:在y轴左侧图像上任取两点 A（xs yi） , B（x2, y2）,使x2<xi<0,试比较 yi与y2的大小;(2)在y轴右侧图像上任取两点 C(x3, y3), D(x4, y4),使X3>X4>0,试比较 y3与y4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法.解：(1)图像如图所示，由图像可知yi>y2, (2)由图像可知y3<y4；在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小.方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合

39、思想， 在草稿纸 上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误.类型二二次函数的图像与性质的综合题2已知函数y = (mH 3)xm + 3m 2是关于x的二次函数.(1)求m的值;(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下?(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性.解析:(1)由二次函数的定义可得故可求m的值.(2)图像的开口向下，则 m+ 3<0;(3)函数有最小值，则 m 3> 0;(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定.解：(1)根据题意，得- 2m+ 3im 2 = 2,、nn+ 3w 0,解得,m= - 4, m2= 1,当 m= 4、

40、mr 一 3.或m= 1时，原函数为二次函数.(2) .图像开口 向下，nm- 3V0,. .m< 3, . .m= 4. . .当 4 时，该函数图像的开口向下.(3) :函数有最小值，m 3>0, m> 3, .nn= 1, .当nn= 1时，原函数 有最小值.(4)当m= 4时，此函数为y= x2,开口向下，对称轴为y轴，当x<0时, y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.当nn= 1时，此函数为y=4x2,开口向上，对称轴为y轴，当x<0时，y随 x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐

41、标，当 a>0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当 a<0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值.考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最 好画图观察.探究点三：确定二次函数y= ax2的表达式【类型一利用图像确定y= ax2的解析式一个二次函数y = ax2(aw0)的图像经过点A(2 , 2)关于坐标轴的对称点B,求其关系式.解析：坐标轴包含x轴和y轴，故点A(2, 2)关于坐标轴的对称点不是一 个点，而是两个点.点 A(2 , 2)关于x轴的对称点B(2, 2),点A(2, 2)关于y轴的对称点B( 2, 2).解：丁点B与点A(2, 2)

42、关于坐标轴对称，B(2, 2), B( 2, -2).当 y = ax2 的图像经过点 Bi(2 , 2)时，2 = ax22, ；a = 2,.y=2x2；当 y = ax2 的图一一._011 0. 一像经过点 B1(-2, 2)时，-2 = ax( 2) , ；a= 2，；y= 2x . .二次函数1c1c的关系式为y=2x或y= 2x.方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时， 应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案.类型二二次函数 y = ax2的图像与几何图形的综合应用已知二次函数y = ax2(aw0)与直线y=2x 3相交于点A(1 , b),求:(1) a, b

43、的值;(2)函数y=ax2的图像的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点 B的坐标.解析：直线与函数y= ax2的图像交点坐标可利用方程求解.解：(1)二,点A(1 , b)是直线与函数y = ax2图像的交点，点A的坐标满足二次函数和直线的关系式,2b = a x 1 , a= - 1,Jb = 2Xl3,Jb=1.(2)由(1)知二次函数为y= x2,顶点M(即坐标原点)的坐标为(0 , 0),由 x2 = 2x3,解得 x1=1, x2= 3,，y1= 1, y2= 9, 直线与抛物线的另 一个交点B的坐标为(3, 9).类型三二次函数y = ax2的实际应用如图所示，有一抛物线形状的桥

44、洞.桥洞离水面最大距离 OMfe 3ml跨度 AB= 6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长 3m宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船 能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则可设此抛物线函数关系式为y = ax2.由题意可得B点的坐标为(3, 3),由此可求出抛物线的函 数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题.解：(1)以。点为坐标原点，平行于线段 AB的直线为x轴，建立如图所示的 平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为 y= ax2.由题意

45、可得B点坐标为(3, 3),.一 3=ax32,解得a= 1, 抛物线的函数关系式为y=1x2.33 当x= 1时，y= - - x 12= . = O阵3, 木板最高可堆放3-4=同（米）. 333 3即建立数方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题, 学模型解决实际问题的思想.、板书设计y= ax2 的教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 图像与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法 .第2课时 二次函数y=a (x-h) 2和y=a (x-h)，k的图像和性质1 .会用描点法画出y = a(xh)2和y = a(x h)2+k的图像.2 .掌握形如

46、y=a(x h)2和y = a(xh)2+ k二次函数图像的性质，并会应 用.3 .理解二次函数y = a(x h)2及y=a(x 卜)2 +卜与y=ax2之间的联系.一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于 路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过. 从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图像解析式吗?、合作探究探究点一：二次函数y = a(x h)2的图像和性质类型_ y = a(x h)2的图像与性质的识别已知抛物线y=a(x h)2(aw0)的顶点坐标是(一2, 0),且图像经过点(4, 2),求 a, h 的值.解：:

47、抛物线y = a(x h)2(aw0)的顶点坐标为(一2, 0), ；h= 2.又二.抛1物线 y = a（x+2）2 经过点（一4, 2）,.（ 4 + 2）2 a = 2,a = 2.方法总结：抛物线y=a(x h)2的顶点坐标为(h, 0),对称轴是直线x = h.类型二二次函数 y = a(x h)2增减性的判断对于二次函数y = 9(x 1)2,下列结论正确的是(A. y随x的增大而增大B.当x>0时，y随x的增大而增大C.当x> 1时，y随x的增大而增大D.当x>1时，y随x的增大而增大解析：由于a=9>0,抛物线开口向上，而h=1,所以当x>1时，y

48、随x 的增大而增大.故选D.类型三确定y = a(x坨2与y = ax2的关系能否向左或向右平移函数y = 52的图像，使得到的新的图像过点(一9, 8)?若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由.12解：能，设平移后的函数为y= 2(xh),将x= 9, y= 8代入得一811 c=2（ 9h）2,所以h= 5或h=13,所以平移后的函数为y= 2（x + 5）2,、12或y= 2（x+13）.即抛物线的顶点为（一5, 0）或（一13, 0）,所以向左平移5或 13个单位.方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移 h个单位后，a不变，括号内变“减去h” ；若向左平移h个单位，括号内应

49、“加上h”，即“左加右减 类型四y = a（x h）2的图像与几何图形的综合1cC,并与直线y=把函数y = /x2的图像向右平移4个单位后，其顶点为x分别相交于A、B两点（点A在点B的左边），求 ABC的面积.解析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定 C点坐标， 再解由得到的二次函数解析式与 y = x组成的方程组，确定A、B两点的坐标，最 后求 ABC的面积.,12解：平移后的函数为 y = 2（x 4）2,顶点C的坐标为（4, 0）,解方程组1 /,、彳 y=2 (x-4)、y=x,2,2,或x二、y=8,8.点 A在点 B 的左边，A(2, 2) , B(8 ,11-

50、一 一8). Sz ABC= S OBC Sz OAC=2OG 8-2OCX 2=12.方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致 的.探究点二：二次函数y = a（x h）2+k的图像和性质类型利用平移确定 y=a（x h）2+ k的解析式1个单位，所得的抛将抛物线y = 1x2向右平移2个单位，再向下平移3物线是（）A. y=1(x 2)21 B . y=1(x 2)2+ 1 331 o1oC. y=a(x + 2)2+1 D. y=a(x + 2)2 1 331 2 ， 一 ，、解析：由 上加下减 的平移规律可知，将抛物线y=ax向下平移1个单包3 1c 所得抛物

51、线的解析式为：y=3x2 1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物3线y=1x21向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y=1(x 2)2 1,故选A. 33类型二y = a(x h)2 + k的图像与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点 A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x= 2,点C在抛物线上，且 位于点A、B之间(C不与A、B重合).若4ABC的周长为a,则四边形AOBC勺周长为.(用含a的式子表示)-2,抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B, .。五4,二由抛物线的对称性知 A五AO, 四边形AOBC勺周长为AO+ AG BG O&

52、ZXABC的周长 + O回 a+4.故答案是：a+ 4.方法总结：二次函数的图像关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质, 将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用.、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y=a(xh)2 与y=a(x h)2+ k图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法 .第3课时二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第1课时 二次函数y = ax2+ bx+c的图像和性质1 .会画二次函数y = ax2+bx+c的图像.2 .熟记二次函数y = ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴公式.3 .用配方法求二次函数y = a

53、x2+bx+c的顶点坐标与对称轴.、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h=5t2+150t + 10表示.那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y = ax2+bx+c的图像和性质类型一二次函数图像的位置与系数符号互判(-1, 2)如图，二次函数y = ax2+bx+c的图像开口向上，图像经过点和(1 , 0)且与y轴交于负半轴.(1)给出四个结论：a>0;b>0;c>0;a+b+c=0.其中正确的结 论的序号是;(2)给出四个结论：abc<0；2a+ b>0；a+c=1；a>1.其中正

54、确 的结论的序号是.解析：由抛物线开口向上，得a>0;由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c<0;由抛物线的顶点在第四象限，得一 b->0,又a>0,所以b<0;由抛物线 2a与x轴交点的横坐标是1,得a+b+c=0.因此，第(1)问中正确的结论是 .b在第(1)问的基础上，由a>0、b<0、c<0,可得abc>0;由一丁<1、a>0, 2a可得2a+b>0；由点(一1, 2)在抛物线上，可知ab+c = 2,又a+b+c = 0, 两式相加得2a+2c = 2,所以a+c=1；由a+ c=1, c<0,可得a>1

55、.因此，第 (2)问中正确的结论是 .方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法： 根据抛物线的开口方向可以确定a的符号.开口向上，a>0;开口向下，a<0.根据顶点所在象限可以b确定b的符号.顶点在第一、四象限，一2a>0,由此得a、b异号；顶点在第二、厂b三象限，一大<0,由此得a、b同号.再由中a的符号，即可确定b的符号. 2a【类型二二次函数 y = ax2+bx+c的性质如图，已知二次函数y= x2+ 2x,当一1<x<a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是()A. a>1B. 1 < a w 1C. a>0D. -1<a<2解析：抛物线的对称轴为直线x=2=1,二函数图像开口向下，2人 1- 1）在对称轴左侧，y随x的增大而增大，.二a