九年级数学正切1

1、正切和余切【学习目标】1 . 了解正切、余切概念的意义及正切和余切互为倒数的关系.2 .熟记30。、45。、60。角的三角函数值，并会用这些数值计算、化简含有特殊角的三角函数的式 子，会根据特殊角的三角函数值说出对应角的度数.3 . 了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系.4 .会用有关锐角三角函数的知识解决一些求直角三角形中未知元素的问题.【主体知识归纳】. /A的对边 a1 .正切：如图 66, / A的对边与邻边的比叫做/ A的正切，记作 tan.即tan =二.A的邻边 bv2 ,余切：如图6-6 , / A的邻边与对边的比叫做/ A的余切，记作cotA ,即

2、cotB =ZA的邻边b 1' v,- = - =ZA的对边a tan A3 .锐角三角函数：锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的锐角三角函数.4 .互余两个锐角的正切值与余切值之间的关系：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值，即tanA = cot (90° A), cotA = tan (90° A).5 .特殊角的正切、余切值三角函数30°45°60°tan aV331代CotaV31Q3【基础知识讲解】1.理解锐角三角函数的意义，必须注意：一个锐角的三角函数值实际上是一个比值，无单位

3、，只是一个数值；当这个锐角取任意一个固定值时，这一比值也是一个固定值.这个值与它所在三角形的大小没有关系.如图67的甲、乙两个直角三角形，3. 3大小显然不等，但/ A= /A = 30 , tan = , tan =,也就是说，/ A的正切值没有因为所在二角形的大小而改变，同样，余切值也没有改变.2.求锐角三角函数的值我们知道，求一个锐角的三角函数值，就是应用相关概念、性质、定理等，求该锐角所在直角三角形 某两边的比值.而确定有关比值的方法，在常见的题目中，根据已知条件的不同，一般可分为两类：第一 类是已知各边的大小或能够求出各边的大小；第二类是无法求出各边的大小，已知各边间的倍数关系或能

4、够求出各边间的倍数关系.解决第二类问题一般采用辅助元的方法，通过已知条件的转化，用辅助元表示直角三角形的各边，消 元后求得.显然，此类问题体现着概念的灵活运用，题目常具有一定的综合性，涉及到初中代数、几何等 知识.3.直角三角形中各元素之间的关系： 在 RtABC中，/ C= 90° , / A、 (1)两个锐角的关系一一互余，即 (2)边与边的关系一一勾股定理，即 (3)边与角的关系一一锐角三角函数,/ B、/ C所对的边分别为a、b、c,A+ B= 90° ;a2+ b2= c2;即sinA = = cosB,ccosAtanA = = cotB ,b【例题精讲】cot

5、Ab - a一 =sinA , cb=tanB . a计算:V(1 tan602 sin602tan30 1 -tan45 *cot30 1 - cot2 60cot45 tan60(3)+ a )(0 ° V a V 454sin 30 *cos72cos(45 :、工)+ - cot(45sin18 cos72 cos(45 - -)(4)tan 260 ° - 2cos45+ sin 225° + sin 265°3cot 2600 .解：(1)原式=| 1 - tan60| - sin60。'32 彳 1 -1 , 3(2)原式=3二“2

6、131 -2 331.391.32 cos72 cos(45 )(3)原式=+ - cot(45cos72 cos 72 cos(45 - 1)+ (X )2 cos722 cos72+ cot(45+ a ) - cot(45 ° + a ) = 1.(4)原式=(抑)2 - 2X 22- + (sin 225° + cos225° ) -3X( 3)2=3- 22 +1- 1 = 3- 22 .说明：(1)三角函数的计算要遵循以下原则:当所给的角是特殊角时，只要把特殊角的三角函数值代入计算即可；当所给的角不是特殊角而又要求 不查表时，要注意灵活运用同角的三角函

7、数关系和互为余角的三角函数关系进行化简.(2)本例的第(4)题，用到了 “ sin 2a + cos2a= 1”这个关系式，你不妨证明一下.例2:在RtABC中，/ C= 90° ,各边长都扩大 3倍，那么/ B的正切值和余切值()A.没有变化B.都扩大3倍C.都缩小3倍D.不能确定剖析：在RtABC中，各边长都扩大3倍后，三角形是否是直角三角形，若是，则可用三角函数定义； 若不是，则不能直接用三角函数定义.由 (3a) 2+(3b) 2 = 9(a2+b2) = 9c2=(3c) 2.所以三角形还是直角三角函数，故可用三角函数的定义.解法一：a2+b2 = c2,(3a) 2+(3

8、b) 2=9a2+9b2= 9(a2+b2)，(3a) 2+(3b) 2= (3c) 2.即各边长扩大3倍后，三角形仍然是直角三角形.由三角函数定义，得3b b3a a3a atan = 一 , cot 3b bB的正切值和余切值不变.故选 A. 解法二：三角形各边扩大相同的倍数， ，得到的三角形与原三角形相似.，对应角相等.即/ B的三角函数值不变.例3:在RtABC中，/ C= 90° ,且已知 AC= b, / A= a ,那么边 BC的长为()A. b - sin aB. b cos aC. b tan aD. b cot剖析：在直角三角形中，由三角函数定义知，已知三角函数中

9、三个量的任何两个量，都可以求出另外 一个量.解：在RtABC中，由三角函数定义，得tan a = BC= AC。tan a . AC即 a = b tan a .故应选C.说明：由于AG / A是已知的，所以要求 a的值，就必须用与 AG与/ A有关的三角函数来表示.本 题主要考查两点，其一是正确理解如何用已知元素表示未知元素；其二是能熟练地用直角三角形两边的比 表示一锐角的三角函数.例 4:计算：tan 260° + tan(43 ° + a ) - cot(47 ° - a ) - tan44 ° - tan45 ° tan46 °

10、; .剖析：要求上式的值，必须知道各项的值，或者可以把未知项消去. 显然本式中的 tan60 °、tan45 的值都是已知的，tan (43° + a)、cos(47 ° - a )、tan44 °、tan46 °的值都不知道. 通过观察分析可知, tan(43 ° + a )与cot(47 ° - a )的值相等，tan44 °与tan46 °的积等于1 .所以上式的值可求.解：原式=(<3) 2+ tan(43。+a ) - tan 90° - (47 ° - a ) - t

11、an44 1 cot(90 ° - 46° )= 3+tan（43。+ a ） tan（43。+ a ） tan44 ° - cot44 °=3 - 1=2.说明：在遇到非特殊角的三角函数式求值时，要注意灵活运用互为余角三角函数及同角三角函数之间的关系.1例5:如图68,在 ABC中，/ AC由90 ,延长 AB到D,使BD= AB,连结 CD若tanECB=,求3/ A的四个三角函数值.图68解：如图68,取CD的中点E,连结BE.点R E分别为AR CD的中点,BE / AC,且 AC= 2BE . ./ CBE= / ACB= 90° .

12、tanECB=BEBC设 BE= m ( mo 0),贝U AC= 2m, BC= 3ml（2）在求sin tan的值后，还可用同在 RtABC中，AB= VAC2 +BC2 =AmiBC . sin =AB3m13m=-1Zi3 , 13AC cos =AB2m、13m=,'13 ,13,BC3m 3AC2m2tan =一,cos=z AC2m 2BC3m3说明：（1）为了利用tan = 1,需构造/ BCD所在的直角三角形.3角的三角函数关系求 cos、cot的值.同角的三角函数有以下几种关系:平方关系：sin 2A+ cos2A= 1x sin A x cos A 商式关系： t

13、an =, cot =.cos Asin A倒数关系：tan =-,即 tan - cot = 1.cot A例6:已知tan -2,求sa的值.2sina cos。：剖析：（1）要求该式子的值，只要求出sin、cos的值即可，而已知的是 tan a的值，如果通过恒等变形，把式子中的sin、cos用tan a表示也可以，显然分子、分母同除以 cos 即可.（2）由已知tan a = 2,可知sin a = 2cos a ,把该式代入原式也可以求值.sin : 3cos：解法一：原式=cos：cos：=臭二3 ,2sin - cos - 2tan 二：,1cos： cos：2 -3tan a =

14、 2,，原式=2 2 1 -5 .解法二：. tan 咄=2, cos ;sin a = 2cos a .2 cos”.3cos二一 cos：1原式=-.2 2cos:工qcos.± 5cos工 5说明：在进行三角函数的有关计算时，常利用有关公式进行恒等变形，怎样变形？要根据题目的特点有目的 地进行变形.【知识拓展】你知道古埃及是怎样测量金字塔高度的吗？你知道古埃及的金字塔吗？它们是古代埃及国王们的坟墓，那是一些古老雄伟的建筑，也是古埃及劳动人 民智慧的结晶.两千六百多年前，埃及有个国王，想要知道已经盖好了的大金字塔的高度，可是谁也不知道怎样测量.人爬到塔顶上去吧，不可能.因为塔身是

15、斜的，就是爬上去了，又用什么方法来测量呢？后来，国王找到了一个名叫法列士的学者来设法解决这个问题，法列士答应了，他选择了一个风和日 丽的日子，在国王、祭司们的亲自驾临下，举行了测塔仪式.看热闹的人当然不少，人们拥挤着、议论着.看看时间已经不早了，太阳光给每一个在场的人和巨大 的金字塔都投下了长长的影子。当法列士确知他自己的影子已等于他的身高时，他发出了测塔的命令.当 时，助手们立即测出了金字塔的阴影长度.接着，法列士十分准确运算出了金字塔的高度.在那个时候，大家都非常佩服法列士的聪明！可不是吗？法列士的确了不起，因为他在两千多年前，就已经应用几何学里的相似形的性质来测算金字 塔的高度.而现在我

16、们学的几何学一一欧几里德几何，是在法列士以后许多年，由希腊学者欧几里德创立 起来的.法列士是怎样算出金字塔的高度的呢？因为法列士是在当他的影子等于他自己身高时才测量的.这时候，日光是以45。的角度射向地面的.所以金字塔影子长正好等于金字塔本身的高度.【同步达纲练习】1 .选择题(1)在 RtABC中，Z C= 90° ,则 a是/ 8的()bA.正弦B.余弦C.正切D.余切(2)若/ A为锐角，且cot v J3 ,则/ A应是()A.小于30°B.大于30°C.小于60°D.大于60°(3)在 RtABC中，Z C= 90°，若 c

17、=2, cotA =，则 a 的值为()2A.、5B. 5C. 5 5 5D.55555(4)在 ABC中，/ C= 90° ,则 AC： BC等于()A. sinAB. cosAC. tanAD. cotA2 tan 30（5） 2一的值等于（）1 -tan2 30C.dT(6)化简 vcot250 0 + tan2 50 _2 的结果是()A.cot50tan50B.tan50cot50C.cot50tan50D.tan50+ cot503均为锐角，且 cota V cot 3 ,则下列各式中正确的是（A.sin a <sin 3B. tan a v tan 3C.cos

18、acos 3D.以上都不正确（8）不求值,卜列各式正确的是A.sin70> tan70> cos70B.tan70cos70 ° > sin70C.cos70 °> tan70> sin70D.tan70sin70> cos70 °(9)菱形ABCD勺对角线 AC= 10,BD= 6,那么tan公等于（）2A.B. 45C.3 3434D.34 34(10)在 ABC中，/ C= 90° , a = 85 ,b= 8 15 ,则/B的度数为（）A. 90°B. 30°C.45°D. 60&

19、#176;(11) J3 tan (a+ 10° ) = 1,则锐角 a的度数是（）A. 20°B. 30°C.40°D. 50°（12）已知a是锐角，且 tan &- tan20=1,则a的度数为A. 20°B.(工)20C.70°D.()70(13)在 ABC中，/ C= 90° ,cos =A. 5B.2 一2 ,则tan等于(32.5C.2(14)在 RtABC中，Z C= 90° ,5CD! AB于D,已知AC= 3,5、52AB= 5,贝UtanA等于（A. 3B.C.4（15）以下各

20、式中，小于0的是（）A. tan42tan41B.cot41cot42C . tan42cot41D. cot41tan42（16）下列各式中，不成立的是（）A. tan a - cos= sin a5C. sin a - cot = cosD . tan a = tan (90° a)A B,.(17)在 ABC中，tanC万E 等于()A. 90°B.A B cot2D.tan(18)在 ABC中,/ C= 90° , a = 3, c=4,贝U sinB、cosB、tanB、cotB依次等于()A.C.B.D.,73, 73, 7，-，44373413V77

21、7(19)%cos45cot 260。+ £ cot30A.B.C.D. 2(20)已知 tan a = 2,则 3sinct -cos<x 的值是()4 sin.1 +2 cos:A.B.C.D. 42.填空题(1)在RtABC中，/ C= 90,二l/A、/ B、/C所对的边分别为a、b、c,若 a= V6 , b= J10 ,则tanA =, tanB =, cotA =, cotB =(2)若/ A是锐角，且cot =，则sin A =.32(3)已知 2sin a 3tan30 ° = 0 口列专兑片 a =.(4)已知 3tan a 2cos30 

22、6; = 0,则锐角 a = .(5)在 RtABC中，Z C= 90° , cos= 1 ,则 cot =.2(6)在 ABC中，cotA =1, tanB = V3 ,则/ C= 如果tan a tan32 ° = 1,那么锐角a = .(8)等腰三角形底边长为10 cm,周长为36 cm,则一个底角的余切值为 3.计算:(1) Vtan2 75 °+cot2 75°-2 ；tan45 sin 6012cot 45 - cos30tan60/ 、 tan30 tan45 (3)1-tan30 *tan 45 cot 2450 .(4 ) cos60 ° sin 245 ° + tan 230 ° 44 .在 RtABC中，/ C= 90° , tan =0. 75, ABC的周长为 24,求 ABC三边的长.5 .在等腰 ABC中，AB= AC= 13, BC= 10.求 tan 和 cot 的值.26 .已知a是锐角，且 tan a是万程x 2x3=0的一个根.求：3sin : -5cos:的值;4cos: -3sin :（2）（cos二+sin二）（cos： -sin： ）2sin : «cos:的值.47.如图 6 9,已知/ ABC= / BCD= 9