现代控制理论课件ch

1、现代控制理论Modern Control Theory第四章 LTI连续系统的能控性和能观性Chapter 4Controllability and Observabilityof Lntinuous System教学内容Contents§4.1 LTI连续系统的能控性及其判据§4.2 LTI连续系统的能观性及其判据§4.3 对偶性原理§4.4 LTI连续系统的线性变换§4.5 LTI连续系统的结构分解§4.6 基于传递函数的能控性和能观性判据§4.7 应用MATLAB的系统能控性和能观性分析状态空间表达式中的变量：状态输入

2、输出系统的内部变量反映系统运动行为系统的外部变量状态空间法设计系统时必须考虑的两个问题：系统内部状态是否可受输入的影响系统所有的状态是否可由输出反映能控性问题能观性问题能控性与能观性的含义：如果系统的每一个状态变量的运动都可通过输入的影响和控制,由任意的始点达到终点, 则系统能控(状态能控)。如果系统的有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则系统状态能观测。例4.0-1 桥式电路输入变量：ux1选取状态变量： x =ix = u12cy=x2输出变量：通过改变控制量u能够使状态x1达状态x1可控到任意值若x2(t0)=0, 则 x2(t2t0)0，即 x2不受输入 u 的控制状态x2不

3、可控y=x20, 输出 y 不能反映状不可控不可观系统状态x1不可观测态 x1 的变化x2y例4.0-2 考虑S(A,B,C)的能控性和能观性:x&1+é-1ò-10 ù0-2 0000-3 0A = ê 00 úx1+uê 00 úêúy+x&-4ûë 0+2ò-2x2é1ù+B = ê1úC = 1001ê0úx&3ê0úò-3ë ûx3x

4、 : 能控又能观x&41x2: 能控但不能观x3: 不能控但能观x4: 不能控又不能观ò-4x4§4 .1LTI连续系统的能控性及其判据设系统状态方程： x& = Ax + Bu定义若存在一个无约束的容许控制向量u(t)，能在一个有限的时间间隔t0, tf内将系统从不为零的初始状态x(t0)转移到零状态，即x(tf)=0，则称状态x(t0)是能控 的。若系统的所有状态均满足上述条件，则称该系统完全能控。无约束：控制向量的幅值不受限制，可以任意大。容许：控制向量的每个分量均在时间区间上平方可积：t fò2dt < ¥ui (t )能量

5、不是无穷大，而是有限的，技术上可实现t0z能控性表示输入对状态的影响程度；z能控性意味着加入适当的控制作用后，能否在有限的时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的 状态上；z如果状态空间中存在某个或某些初始状态x(t0) 不能转移到零状态，那么该状态称作不可控，该系统不（完 全）可控。能达性设系统状态方程： x& = Ax + Bu定义若存在一个无约束的容许控制向量u(t)，能在一个有限的时间间隔t0, tf内将系统从零初态，即x(t0)=0 转移到不为零的终态，即x(tf)0，则称状态x(tf)是能达的。若系统的所有状态均满足上述条件，则称该系统完全能达。能控性和能达性能控：在

6、有限时间间隔内从任意初态x(t0)转移到零终态。x(t0) 0能达：在有限时间间隔内从零初态转移到任意终态x(tf) 。0 x(tf)x(t)x(t)x(t0 )x(t f )x(t0 ) = 0x(t)f0tt0t0t ft ft0等价 在LTI连续系统中：能控能达 在离散系统和时变系统中，能控与能达不等价。§4.1.2 LTI连续系统的能控性判据Controllability Criterion+ x&1+é1 x& = ê0êë02ù 0úx 3úû321òx1u1+2u2

7、éù21x&+ ê 11 úux2êë- 1- 1úû2从结构图上看，每个状态变量与控制量之间都有通路。但是，系统不能控， 因为存在抵消作用。+x&3+x3从系统的本质判别能控性的计算方法能控性判据1.定理：LTI连续系统 å（An´n , Bn´ p )格拉姆矩阵判据状态完全能控的充要条件是存在时刻t f> 0，使得格拉姆矩阵W (0, t ) =t fòTe- At BBT e- A t dtCf0det WC (0, t f ) ¹ 0为

8、非奇异，即。证明：(1)充分性证明:格拉姆矩阵非奇异 系统能控对于任意初始状态x(0)，选取控制u(t)为:TT-A t-u(t) = -1B eW(0, t)x(0)cft f0t f-t )Bu(t )dtò于是：x(t) = e At fe A( t fx(0) +fe A( t f -t )ò= e At f= e At f= e At fT-A tT)x(0)dt-1x(0) -BB eW(0, tcf0t f0òx(0) - e At ftT-A tTdt-A-1eBB eW(0, t)x(0)cfx(0) - e At f W(0, t)W-1(0,

9、 t)x(0)cfcf= 0任意初始状态x(0)都能在u(t)的作用下转移到原点，系统能控，充分性得证。(1)必要性证明:系统能控格拉姆矩阵非奇异（反证法：设 格拉姆 矩阵奇异，且系统能控）W (0,t) =t f0òTe-At BBT e-A tdtWC (0, t f奇异，因此，存在非零向量a，) = 0Cf使因此：(0, t)Tt f0òTBT e- A t dtT= tWeCftòe- At BBT e- AT t T dt=f0e- At B (e- At B)Ttò=fdt = 00由此可得：e-AtB = 0完全可控的系统都可以由任意初态x

10、(0)转移到原点，因此，x (0) = T可选择非零初态，于是有：t f0ò-t )Bu(t )dt = 0x(t) = e At f x(0) +e A( t fftò-t )Bu(t )dte At fe A( t f= -fT整理后得：0tòe-At Bu(t )dt= -Tf0tòe-At Bu(t )dtT = -f0tòe-At Bu(t )dt = 0= -由于 e-AtB = 0 ，因此： Tf0由此可得： a=0 ，与假设条件a为非零向量矛盾。因此假设不成立，格拉姆矩阵非奇异。必要性得证。2.秩判据定理：LTI连续系统

11、9;（An´n , Bn´ p )完全可控的充要条件是= B= BAn-1B的秩为n,能控性矩阵SABAB即LLCn-1= nrankSABn´npC行满秩证明思路：（考虑输入为标量时的情况）充分性证明：Sc满秩系统能控设：终止状态为状态空间原点，初始时刻为零，即t0=0。=AxeAt x(+)x 方(程)t&)t =tuBt 的解(为)：)dtòA(t -tt( t(+)x(e0)Bu0如果状态完全可控，则tòA(t f -Bt) ut( t)t =0=teAt f- ABt+fx(x(e0)df0=0) -òeut( t

12、)df即：x(0根据Cayley-Hamilton定理推论2有：=a(e Att)aIt+a(t )L+ Aa(t+ )A+An-12(n-1012n-1t fò= åak (t )Ae -At Bu(t )dtx(0) = -Atke0k =0n-1于是： x(0) = -åA k Bt fòa(t )u(t )dtk0k =0t fòak (t )u(t )dt = b k记é bùúú00ên-1åbA k Bb因此：x(0) = -= - BA n-1BABLê1kM

13、êbúk =0ën-1 û如果系统完全可控，则给定任一初态x(0)，都应满足上述方程，即上述非齐次方程组必须有解，因此要求n×n矩阵：B AB LA n-1B的秩为n。因此，若系统能控，则Rank(Sc)=n控制向量u为 p 维时的证明相仿。必要性证明 ：系统能控Sc满秩(Sc ) < n ，且系统能控）Ra（反证法，设设： Rank(Sc ) < n2B,L, An-1B 列向量线性相关，= B, A则： Sc,= T B, AB, A2B,L, An-1B = 0故:存在非零向量 g ，使： T ScT AiB = 0i = 0

14、,1, 2, 3,L, n -1因此：由Cayley-Hamilton定理，A j ( j ³ n)可以表示为 A的n-1 阶= 0i = 0,1, 2, 3,L多项式，因而上式可扩展为：T AéI - At + 1 A2t 2 - 1 A3t3 +Lúù B = 0T于是，"t Î0,$, tfêë2!3!û即： T e-AtB = 0tò-ATB(dt- ATB)T tfe = 0Ttte于是，0ædöttò- At= 0TfBB eTçe即：

15、2;0tò-AT t- AtfBB eTg是非零向量，故上式e奇dt 异，立条件是0根据格拉姆判据，系统不可控，与假设结果矛盾。因此，若Rank(Sc)=n，则系统能控。必要性得证。例4.1-1：判断下列系统的能控性é x1 ù1éù2é21ù 1úu- 1úû321éu1 ù.x = ê x ú2u= êu úx =0ê0êëú0x + ê1ê x ú-ê

16、ë 1A 22- 2úû32ë2 ûë3 û解：=BABBcé 1ù232- 2544-41 = ê 1ú- 1êë- 1-4úûRank Sc =2<3。系统不能控。¾LTI系统能控性只与矩阵A 和B 有关，而与矩阵C和终端时间tf无关;若LTI系统在t0, tf上是完全能控的，那么在随后的时间段也一定是完全能控的;LTI多输入系统(u不是标量，Sc的行数<列数)完¾¾全能控的充要条件是矩阵 S ST

17、满秩。cc=rankSC·SCTn×n）（ rank SC例4.1-2 用上述结论重新考虑例3.2-1解：由例4.1-1得到能控性矩阵为：Sc = B AB A B2é 2= ê 1êë- 1ù1322- 254- 414ú124- 1 - 2- 4úû3-1 ù- 1ú- 2ú- 2ú- 4ú- 4úûé2112244ùê1é 2254úê3rankS ×

18、 ST= rankê 112- 2244- 4úûê2ccêë- 1- 1- 2 - 4ê5êë4- 49ùé5949= rankê 4942- 42ú = 2êë- 49- 4242úû与例4.1-1的结论一致。3.规范型系统的能控性判据若LTI连续系统(An×n , Bn×p)的状态矩阵A为对角型，且特征值互异，则状态完全能控的充要条件是输入矩阵B中没有一行的元素全为零。对角标准型状态变量图u1u2Mu

19、qb11+(x&)x1+1s-1b+12+MMl1Mb1él1 0é x&1 ù0ù é x1 ùLLMêúê0ú ê x ú2l2x&0=ê2úêúêúê M ú MMOúêMM ú) Ms-1êbn1bn2Mbnp0 L ln+ë x& n ûë0béûë xn&

20、#251;xn(x&n+ùbLLO L+éù111 pubêb ú+12 p úê M ú+ êM êM21úMêup úlúû ëûbêëbnpnn1例4.1-3 判断下列系统的能控性x& = él10 ùx + éb1 ùuê 0l úêb úë2 ûë 2 û解1：用

21、秩判据A = él1l béù0 ùéùbB =1=11ABêb úê 0úêl búlë 2 ûël 1 b12 ûë 22 ûé b1ù= b b (l- l )=SSê búlCC1221bëû222当l1¹ l 2b1 ¹ 0b2 ¹ 0时能控性矩阵满秩，系统能控。x& = él10 ùx +

22、 éb1 ùuê 0l úêb úë2 ûë2 û解2：当l1¹ l2时，应用对角型判据,当B中不含零行向量，系统能控,当l1¹ l2时，系统能控的充要条件是：b2 ¹ 0b1 ¹ 0另，若要直接采用约当 规范型判据判断l1 = l2时的能控性，需要用到 后面的结论。若LTI连续系统(An×n , Bn×p)的状态矩阵A为约当型，且每个约当块所对应的特征值互异，则状态完全能控的充要条件是B阵中与每个约当块所对应的最后一行中所有元素不全为

23、零。约当标准型状态变量图B1L b1 p ùél0 ù1l100 L1 Ll1L M O 0 Léb11é x&ùé xù1ê 0úúé u1 ù01ê x& ú1êbêúL b2 ú = ê 0M úêx2 p úê M ú2 ú + ê21êêMúMê M ú

24、úêup úê M úMO LMêê0l úë xn ûbnp úûëûuMë x&n ûêëbn10êë1 úûBnB2+x&+xx&xx&xx+3òòl1ò1Bnn2+u+x2l1l1例4.1-4 判断LTI系统的能控性él10 ùé00ù1l1x& = ê

25、; 00 ú x + ê10ú uêêë 0úl2 úûêúl ¹ l12êë01úû0y = 11x0A为约当型，有两个约当块，每个约当块所对应的特征值均不相同,并且B阵 中与每个约当块所对应的最后一行中所有元素不全为零，状态完全能控。Ø 若A为约当规范型的一般形式时：设l 个特征值为l1(s1 重)，l2(s2重)，ll (sl重)，且有(s1+s2+sl =n)，lilj(ij 时)：éJ i1ù&#

26、233;J1ùé Bi1ùúúúûéB1 ùê=ú,= êú,êêêúJ i 2J 2BBB=B=A,Jêêêëúúêêëúúi 2êú2ii(s i ´ p )OOMê M ú( n´n)( n´ p )ê(s i ´s i )

27、ëBia iëBl ûJ ia úi ûJ l ûéliùúú ,1lié bùúúúûê1O OOik1ê= êb= êêëJ ik(g ik ´g ik )Bik(g ik ´ p )ik 2êê1 úMúbikgl úêëi ûikg+ g+ L + g= sia ii1i

28、 2i则系统完全能控的充要条件为，由Bi1, Bi2,Biai 末行组成的矩阵行线性无关，对i=1, 2, , l 均成立，即有：rankT= a , "i = 1,2,L, lTi1g i 1bTTia ig iaibL bi 2g i 2i例4.1-5*x& = Ax + Buùú系统其中：él1éêêêùúúúúúú0100001000011lêê1l0úú1A = ê1l=B1l1

29、êêêêêêúú110010001 úlêl ú2êú10= 1 0 0 0ëûë2 û= é0 1 0ùrBr2Bêë1 0 0úû1秩为1，不全为零秩为2，行线性无关系统完全能控例4.1-6 判断下列系统的能控性x& = él10 ùx + éb1 ùuê 0l úêb ú&#

30、235;1 ûë2 û解：A阵有一个重根，该重根有两个约当小块，对应B阵的两个标量b1，b2，这两个量线性相关，系统不能控。这与前面的结论相同。能控标准型状态空间模型是状态完全能控的。Sc是倒能控标准型形矩阵，满秩ù 10 é00 N1 LL0ê*úê0êú*úê1*ú*ëûLTI连续系统的输出能控性 系统能控性针对系统状态 分析和设计控制系统时，一般以系统的输出作为系统的被控量 状态可控性对于输出可控性既不是必要的也不是充分的，两者没有必然联系

31、，需要单独研究。x& = Ax + Bu y = Cx + Dux Î Rny Î Rq ,uÎ Rp对于系统定义：若存在一个无约束的容许控制向量u(t)，能在一个有限的时间间隔t0, tf内将任意系统输出y(t0)转移到任意预期的最终输出y(tf)，则该系统输出(完全)能控。y(t0 ) ® y(t f ) = 0即：在 t0 , t f上, 任意解出u(t)定理LTI连续系统输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ，即行满秩。输出能控性矩阵：W = CBrankCBDCAn-1BCAn-1BCABLLq×p(n

32、+1)D= qq×pCABq×nn×pq×p输出向量的维数例4.1-7 判断系统是否输出能控x& = é-4y =1 0 1ùx + é1ùux-3úûêë2êë2úû解：CB=1 1é1ù=0=é4-1- 10ùé=1ù2-=0CABDêë2úûêë2úû3êë2

33、50;ûrankW=rankCB CA输出能控rankSc=rankB AB=1<2状态不能控=rank1 -2 0=1=q§4 .2 LTI连续系统的能观性及其判据能观性能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量。x& = Ax + Buy = Cx+ Du的输出响应：LTI连续系统ty(t ) = CF(t - t0 )x(t0 ) + CòtF(t )Bu(t - t )dt + Du(t )0若x(t0)未知，需要确定，则：tCF(t - t0 )x(t0 ) = y(t ) - CòtF(t )Bu(t - t )dt - Du(t

34、 )0x(t0)由y(t)和u(t)确定，与y(t)、u(t) 、A、B、C、D 有关。定义1.对任意给定u(t)，系统的初态x(t0)可由有限时间间隔t0,tf内的输出y(t) 的量测值唯一确定，则系统是（完全）能观的。由于只要考虑y与x的关系，因此可以在初始时刻t0将控制撤掉，那么初始状态就是t0之前控制对状态的影响的积累。tòt (Ft )tt(- t )(=t0Ct-Bud -()t -xt0y)t0x(t0)仅由y(t)确定，与y(t)、A和C有关。S(A,C),系统的初态x(t0)可2.对于LTI连续由有限时间间t0,tf内的输出y(t) 的量测值唯一确定，则系统是（完全

35、）能观的。对于(A,C)：由y(t)（tt0,tf）可以唯一地确定x(t0)9定义1和2等价。LTI连续系统的能观性判据Observability Criterion1.格拉姆矩阵判据LTI连续系统(An×n , Cq×n)状态完全能观测的充要条件为:存在有限时刻tf>0，使格拉姆矩阵t fòTe A tCT Ce AtdtW (0, t) =of0为非奇异。证明思路(与能控性相仿)：充分性：WO非奇异系统可观WO非奇异， W 1存在。对任意非零初始状态O控制ux(t0)，可取为0，系统在t 时刻的输出为：TT等式两边同乘 eA tC ，并积分：y(t )

36、= Ce At x0t f0t f0òòTe A tCT y(t )dt =Te A tCT Ce Atdtx=W(0, t)x0f0已知W(0, t f )非奇异，所以有：t fòTe A tCT y(t )dtx W-1(0, t)0of0这表明在W(0, t f )非奇异的条件下，总可以根据0，t f上的输出y(t )唯一地确定非零初态x0，故状态可观。充分性得证。2.秩判据LTI连续系统（A n´n , Cq´n )状态完全可观的充要条件是:= rankST= nrankSOéOùúúú

37、úC CA Mê= êS(能观性矩阵)其中：êOên -1列满秩CAëû nq´n= éëCTùû(A n -1 )T CTSTAT CTLOn´nq证明思路(与能控性相仿)：考虑系统x： & = An= Cqyxq的(1xn´=´n´´1n=eAt x状态方x程(&)tA解) 为x：()t(0=CeAt输出方程代入y 得(： )tx(0)根据Cayley-Hamilton定理推论2有：a =(teAta)It

38、+at() a A+tAn-1L) + A ( +)( 2n-1012其a中t：( a，0)ta 1( t ，)Ln-，1(彼此) 线性无关n-1=(åi =0t CAiy(于是)：tx(0)y(t ) = a (t )CA00+ a1(t )CA + L+ an-1(t )CAx(0)n-1é CA0êùú= a (t )I0q´qCAMêêú x(0)a1(t )Iq´qLan-1 (t )Iq´qúúûêq´nqn-1CA由推论2

39、知：nq列线性无关 (ai(t)ti )ënq´n于是，可以得出x(0)有唯一解（即由y(t)唯一确定x(0)）的条件：éêùúúúúCCAM= ê能观性矩阵SO的秩为n。êên-1CAëû nq´n3.规范型系统的能观性判据若A的特征值互异，且为对角型，则LTI连续系统完全能观的充要条件是：输出阵C中没有任何一列的元素全为零。对角标准型状态变量图x1+y1+y2élé x& ù0ùé x

40、 ù0lLL+1ê x& ú110úê x úê0MMê2 ú = ê+2úê2 úyê M ú MMOúê Múêq0 L lnë x&n ûë0ûë xnû第1列é y1 ùcé111ncùé x1 ùc c12LM22LOq 2 Lêúê

41、2ncúê x2 úyc=êúê21úê2úxnê M ú M êMúêMM úë yq ûcëcqncûë xn ûq1第q列Mlncqn例4.2-1:判定下述系统是否能观y = cxx& = él10 ùx + éb1 ùucê 0l úêb ú12ë2 ûë2 &#

42、251;= éC ù解1：用秩判据SêëCAúû0A = él10 ùl2 úûC = cc CA = l cl cêë 0ù121122= éc1c2S= c c (l- l )Sêl cúl cOë22 û0122111c2 ¹ 0当l1¹ l 2c1 ¹ 0时能观性矩阵满秩，系统能观。解2：当ll¹2时，当输出阵中没有一列是全零时，1系统能观因此本系统能观的充要条件是：c

43、2 ¹ 0c1 ¹ 0l1¹ l ，2 若A的每个特征值只有一个约当块，则系统状态完全能观的充要条件是：C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中， 没有一列的元素全为零。例4.2-2:判定下述系统的能观性él11l10c12 c220 ùéb1 ùx& = ê 00 úx + êb úu2当l l 时：êêë 0úl2 úûêúêëb3 úû解：12l1l2&

44、#233;c11 ù ¹ é0ùéc13 ù ¹ é0ùy = éc11c13 ùxêcúê0úêcúê0úêúccë 21 ûë ûë 2123ûë 23 ûë û系统能观当l1 l2时：？当A为约当规范型的一般形式时：设l 个特征值为l1(s1 重)，l2(s2重)，ll (sl重)，

45、且有(s1+s2+sl =n)，lilj(ij 时)：¾éliùú1éJùéJùêli11O OO1ê=ú,= êú,J i 2J 2= êú ,iAJêêêëúúúûJêêëúúl ûêêúi´OikO( n´n)(ss i )(gik ´g ik

46、)1 úiJJl úia iêëCik 2i û= Cik 1q´g= Ci1 CikC = C1Cl q´nCiC2LCikgikCi 2CiaLLq´s iiikg i1+ g i 2+ L + g ia i= s i则系统完全能观的充要条件为，由Ci1, Ci2,Ciai 第一列组成的矩阵列线性无关，对i=1, 2, , l 均成立，即有：rankCi11L Cia i 1 = ai , "i = 1,2,L, lCi 21例4.2-3*:判定下述系统的能观性é 2ùú

47、úú12ê 0êêêêêêëé 1ê 0êë 0C2解：l =2CC=x&ú xú12111121131é1 0 0ù=3013ê0 4 0úêë0 0 7úûú3 úû0 ù4 ú x 1 úû000040007110000CC211221é1 0ù= 

48、34;1 4úêë0 1úû=l2=3y两个矩阵均列线性无关，因此系统能观。能观标准型状态空间模型是状态完全能观的。§4 .3 对偶性原理在能控标准型与能观标 准型中：=)=CATT CT CBCBu´ nCOOåC1=1n+ xB=B,:x &,y´´n1´np´´1npq´1q互为对偶系统AT+ z T=Tv,å BTzT =&)TC:Cp 1´,w2n ´ 1n ´ n´n1´

49、;´ npqq对偶系统的输入输出维数相互交换å (AT ,CT ,BT )å(A, B, C)21= BéêêAn-1BSABéêùúúúúLBT BT ATM1cùúúúCCA= êS2oêêë= êS1on-1TTB (A)ûMêú= CTrankS rankS(An-1 )T CT ëCAn-1 ûAT CTSL2cran

50、kS= rankST = n ® S 能控= rankST n ® S 能观1c1c12o2o2= rankST n ® S 能观= rankST= n ® S 能控rankS1o1o12c2c2å1 能观充要条件是对偶系统å2 状态能控充要条件å1 状态能控充要条件是对偶系统å2 能观充要条件对偶系统的方框图yvx&xz&wzu+òATCTTB+A1. 矩阵A,B,C是对偶系统相应矩阵的转置；2. 输入端与输出端互换；3. 信号传递方向相反。对偶性原理系统S2(AT, CT,BT)能观系

51、统S2(AT, CT,BT)能控系统S1(A,B,C)能控系统S1(A,B,C)能观对偶性原理的意义1. 为从一种结构特性（如能控性）判据导出另一种结构特性（如能观性）判据提供了一条途径。2. 为建立系统控制问题和系统估计问题基本结论间的对应关系提供了一种可能性。§4.4 LTI连续系统的线性变换状态空间模型：约当型、能控型、能观型¾状态空间模型不具有唯一性9为什么不唯一？ 状态变量的不同选择)各种不同选择的状态变量之间，及其所对应的状态空间模型之间的关系如何?)如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型，以降低系统的分析问题和设计问题的难度？x = Px状态

52、空间的线性变换：P变换¾系统状态的线性变换的目的使系统矩阵A规范化，便于揭示系统特性及分析计算且不会改变系统的性质（特征方程、特征向量、特征值、传递函数等 保持不变），ü 又称作等价变换(similarity transformation)，数学本质是状态空间的基底变换。¾一个n维状态向量的各分量是相互独立的，因此可以看作状态空间的一个基底，在n维状态空间中构成一 个坐标系。ü 根据线性代数，在这个空间中还存在另外的坐标系，且与原坐标系存在一个线性变换关系。Ø 设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态向量分别x = x1xn Tx = x1xn

53、 T为x2x2LL由线性代数知识可知，它们之间必有如下变换关系：x = P-1xx = PxP：n´n的非奇异变换矩阵。对系统进行P变换ü 状态向量x与 x 间的变换，称为状态的线性变换。ü 变换矩阵P只有为非奇异的，才能使x和 x关系是等价的、唯一的和可逆的。间的变换¾设在状态变量x和x 下，系统状态空间模型分别为x& = Ax + Buå(A,B,C, D) :y = Cx+ Dux&= A x + B uå(A, B, C, D) :y =C x + D uü 两种表达式式之间存在什么关系?l 将变换关

54、系x = Px代入S(A,B,C,D)的状态方程中有x& = Px& = APx + BuP为非奇异变换阵，因此： x& = P-1APx + P-1Bux& = Ax + Buy = C x + Dux& = Ax + Buy = Cx+ Duå(A, B, C, D)c På(A, B, C, D)x& = Px&A = P-1APB = P-1BC = CPD = D¾状态空间的线性变换只是对状态变量作变换,对系统的输入和输出未作变换,因此9系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换保持不变。¾

55、;注意：系统的初始条件也必须作相应的变换,即-1x(t0 ) = Px(t0 )例4.4-1：设系统的状态空间表达式为：0é x1 ùé x&1ù = é01ù é x1 ù + é 0 ù uy = 6êx úê x&úê- 2- 3ú ê xúê1 úë 2 ûë变换矩阵为:ûëû ë2 û

56、5;û2é 0ù1úé和P =ù11ê试分别写出变换后2P =ê 13 úê-1-2ú的状态空间表达式。ëûê ú2 úû-êë 2x = Px解:(1)é62ùú状态方程： x& = P-1APx + P-1BuP-1= êë20ûéù11ù ê 0ú é0-2ù

57、33;2ùé62ù é 0é62ù é0ù2x& = ê2ú x + ê320ú ê1ú u = ê13ú ê 1-3ú x + ê0ú u0ú ê-2ëû ëû êêë 2ëû ë ûBúëûë û-P2 &#

58、250;û-1-1PAP输出方程： y =CPxé 0ùú12êêy = 60x =ú0x3ê 1êë 2- 3 ú2 úû变换后的状态空间表达式:-x& = 0é2ùx + é2ùu-31êëy =0 3úûêëx另外：+ 2 x2 ùP x =-1x = é6ù éùéx6 x2原状态变量的线性组

59、合1=10ú ê xúêúê22 xëû ë2 ûëû1P = é 11 ù= é 21 ù(2)P-1ê-1-2úê-1-1úëûëû状态方程： x& = P-1APx + P-1Bux& = é 21 ùé 01 ùé 11 ùx+é 21 ù é0

60、ù uê-1-1ú ê1úê-1-1ú ê-2-3ú ê-1-2úëûë ûëûë ûë û= é-10 ù x + é 1 ù uê 0-2úê-1úë输出方程：ûëûy = CPx= 60 é 11 ù x = 66 xê-1-2

61、50;ëû变换后的状态空间表达式:x& = é-1ùx + é 1 ùu0- 2úûêë- 1úûêë 0y = 6 6x系统矩阵呈对角型另外：x = P-1x = é 21 ù xê-1-1úëû= x1 + x2x1 = 2 x1 + x2x2 = - x1 - x2x1x2 = - x1 - 2 x2¾将A阵变换为某种规范型，其实质就是进行P变换，因 此，线性变换的关键是变换阵P的求取。¾LTI连续系统的状态空间线性变换可控标准型可观标准型特征值标准型zzz4.4.1 化可控系统为可控标准型 (SISO)¾能明显地展示出系统能控特征和结构特性，在状态反馈控制和状态观测器的综合问题中有重要应用;¾MIMO系统的相对比较复杂，而且没有唯一解;¾定理设x& = Ax + bu,如果系统能控，则必存在一个非奇异变换 x = P-1x 可将原系统化为能控标准型：éêêA=êêùú