2019年江苏卷数学高考试题文档

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题(第1题第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4 .作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5 .如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参

2、考公式：样本数据x,x2，,xn的方差s2 1nnXii 1nXi i 1柱体的体积V Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.1 . 锥体的体积V - Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1 .已知集合 A 1,0,1,6, B x|x 0,x R,则 AI B .2 .已知复数(a 2i)(1 i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数 a的值是 .3 .下图是一个算法流程图，则输出的 S的值是 .4 .函数y . 7 6x x2的定义域是.5 .已知一组数据 6, 7, 8, 8, 9, 10

3、,则该组数据的方差是 一6 .从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .22 y7.在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线x 台 1(b 0)经过点(3, 4),则该双曲线的渐近线方程是b- -， *、 8.已知数列an(n N )是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5 a8 0£ 27 ,则Sg的值是 E- BCD的体积是10.在平面直角坐标系xOy 中,八4，人一P是曲线y x (x 0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的9.如图，长方体 ABCD AiBiCiDi的体积是120, E为CC1的中点，则三棱锥最小

4、值是11 .在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点(-e, -1)(e为自然 对数的底数)，则点A的坐标是 .uuu uuuruur unr12 .如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AD与CE交于点O .若AB AC 6AO EC ,则胆的值是 AC13 .已知 一tan2 ,则sin 2- 的值是 .tan414 .设f(x), g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4, g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数. k(x 2),0 x 1当x (0,2时，f (x) 小(x 1)2, g(x) 1，其中k&

5、gt;0.若在区间(0, 9上，关,1x22于x的方程f (x) g(x)有8个不同的实数根，则 k的取值范围是.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.15.(本小题满分14分)在4ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c.(1)若 a=3c, b= 22 , cosB= 2 ,求 c 的值；3/ Q sin A cos B(2)右,求 sin( B )的值.a 2b216.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分别为BC, AC的中点，AB=BC.求证：(1) A1B1/

6、平面 DEC1；(2) BEXC1E.17.（本小题满分14分） 22如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C:x2 A 1（a b 0）的焦点为F1 （-1、0）,a b, ，一 ，,、222 、一，一一F2 （1, 0）.过F2作X轴的垂线l,在x轴的上万，l与圆F2：（x 1） y 4a交于点A,与椭圆C交于点D.连结AFi并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DFi.已知DF 1= 5 . 2（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标.18.（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为 O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）.规划在公路l

7、上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路 PB、QA.规划要求：线段 PB、QA上的所有点 到点O的距离均不.小于网。的半径.已知点 A、B到直线l的距离分别为 AC和BD （C、D为垂足）， 测得 AB=10, AC=6, BD=12 （单位：百米）.(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路 PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路 PB和QA的长度均为d (单位：百米).求当d最小时，P、Q两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数 f (x) (x a)(x b)(x c), a,b,cR、(*)为£(»的导函

8、数.(1)若 a=b=c, f (4) =8,求 a 的值;(2)若awb, b=c,且f (x)和f'(x)的零点均在集合 3,1,3中，求f (x)的极小值;4(3)若a 0,0 b, 1,c 1 ,且f (x)的极大值为 M,求证：MW.2720.(本小满分16分)(1)已知等比数列an (n N )满足:a2a4定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.as© 4a2 4a4 0 ,求证：数列an为“M数列”；(2)已知数列bn (n N )满足:2bn2 一，其中Sn为数列bn的前n项和. bn 1N*),对任意正整数k,当kwm时，都有Ck蒯bk 5 1求

9、数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“ M数列” Cn (n成立，求m的最大值.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1 .【答案】1,6.【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可【详解】由题知，AI B 1,6.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题2 .【答案】2【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z,然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】Q (a 2i)(1 i) a ai 2i 2i2 a 2 (a 2)i ,令a 2 0得a 2.【点睛】本题主要考查复数的运算

10、法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力3 .【答案】5【解析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可x 1【详解】执行第一次，S S 2 2,x 1 4不成立，继续循环，x x 1 2；,一一 x3一执行第二次，S S 22,x24不成立，继续循环，x x 1 3;x执仃第二次，SS -3,x34不成立，继续循环，x x 1 4;x执行第四次，SS 5,x44成立，输出S 5.2【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.4

11、.【答案】 1,7【解析】由题意得到关于 x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得7 6x x2 0 ,即 x2 6x 7 0解得1x7,故函数的定义域为1,7.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它 们的解集即可.5 .【答案】53【解析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可【详解】由题意，该组数据的平均数为6 7 8 8 9 10 8,6 199955556二 I、I土岸的一£-BLr/O Q2/_7Q2/QQ2/Q Q 2 /cQ 2/ *1 CQ 2 1所以以组如乐H力空(6 8)(7 8)(8 8) (8

12、 8)(9 8)(10 8).63【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题6 .【答案】 10【解析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选 2名同学参加志愿服务，共有C； 10种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有c3c2 6种情况，若选出的2名学生都是女生，有 C； 1种情况，所以所求的概率为6 .1010【点睛】计数原理是高考考查的重点内容， 考查的形式有两种， 一是独立考查，二是与古典概型结合考查， 由于古典概型概率的计算比较明确， 所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环

13、.在处理问题的过程中, 应注意审清题意，明确 分类“分步”，根据顺序有无，明确 排列”组合”.7 .【答案】y 、2x【解析】根据条件求 b,再代入双曲线的渐近线方程得出答案.4I .口242【详解】由已知得32三 1, b2解得b /或b 工,因为b 0,所以b J2.因为a 1,所以双曲线的渐近线方程为 y ,2x.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的a,b密切相关，事实上，标准方程中化1为0,即得渐近线方程.8.【答案】16【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.a2a5a8 a1d4

14、4d a17d 0【详解】由题意可得：9 8，S99al d27a158 7解得： 1，贝U S8 8a1 d 40 28 2 16.d 212【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建 a1，d的方程组.9.【答案】10【解析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体 ABCD A1B1C1D1的体积为120所以 AB BC CC1 120 ,因为E为CCi的中点， ,1所以CE CC1, 2由长方体的性质知CCi 底面ABCD ,所以CE

15、是三棱锥E BCD的底面1所以三棱锥E BCD的体积V 13BCD上的高，1-AB BC CE21 1_ 1 -1AB BC -CC1120 10.3 2212【点睛】本题蕴含 整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用割”与 补”的方法解题.1。.【答案】4【解析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线gR-平移到与曲线y X r4相切位置时，切点 Q即为点P到直线 xgR_的距离最小. r1,得 x 72( J2舍),y 3夜,即切点Q(必在，则切点Q到直线gR-的距离为 怛 叫r

16、、12 124,故答案为：4.【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题11.【答案】(e,1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.采取导数法和【详解】设点A xo,yo ,则 yoln Xo .又 y当x Xo时,1Xo点A在曲线lnx上切线为yyo(X Xo即 y In x0Xo1,代入点 e,ln XoXo1,即 xo ln xo考查函数e,x In xo,当 xo1时xo 当x时H xX XW, I口 人V , 二|X, 口,人1,当x 1时&H'，o,

17、H7单调递“4e e ,故 Xo ln Xo IpB®o e!Sm故点A的坐标为A e,1 . KII12.【答案】而【解析】由题意将原问题转化为基量积，然后,几何性质可得比值【详解】如图，过点D作DF/C,交AB于点，由BE=2EA, D为BC知BF = FE=EA,AO=OD.I-1J注意到HIn xEO曲线的切线,uuur uuir6AOgECuuur uur3ADg ACuur AE3 uur AB2uurACuuur uuu g AC AE3uur uuuuuur 1uuu3uuu uuur1 uuu2uuur2AB AC gAC ABABgAC-ABAC232332 uu

18、u uuur1 uuu 2uuur 2uur uuur1 uuu 23 uur 2-ABgAC-ABACABgAC-AB-AC23322uur1 uuu uur-ABgACuuu uuurABgAC ,1 uuu 2 得一AB23 uuur2-AC，即 AB网图，故里后 1 AC.采取几【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养 何法，利用数形结合和方程思想解题.13.【答案】叵10【解析】由题意首先求得tan 的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求 值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可【详解】由得 3tan 2解得

19、tansin 2当tan当tan综上,tantan5tan2,或tansin 2sin 22tancos2tantan 1tantan 1 tantan23,cos 一4.2=21 tan2tan21,22时，上式二21 , 一时，上式=3sin 2 一 4210cos22sin222sin 一42cos cossin22 cossin2221f.2一3_22一 10【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养 化与化归思'想解题.14.【答案】一，手3 4.采取转化法，利用分类讨论和转【解析】分别考查函数 fx和函数g x图像的性质,考查临界条件确定k的取值范围即

20、可.【详解】当x 0,2时,f (x)q1x 1 2，即 x2y 1,y 0.又f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4,如图，函数f (x)与g(x)的图象，要使f (x) g(x)在(0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.1当g(x) 时，函数f (x)与g(x)的图象有2个父点;2当g(x) k(x 2)时，g(x)的图象为恒过点(-2, 0)的直线，只需函数 f(x)与g(x)的图象有6个交点. 当f (x)与g(x)图象相切时，圆心(1,0)到直线kx y 2k 0的距离为1：即lk 2k 1,得k 叵,1 k24函数f (x)与g(x)的图象有3个交点；当g(x)

21、 k(x 2)过点(1,1)时，函数f (x)与g(x)的图象有6个1交点，此时1 3k,得k 1.3综上可知，满足f(x) g(x)在(0,9上有8个实根的k的取值范围为 ：，乎 . 3 4【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取 值范围.二、解答题15 .【答案】(1) c【解析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长 c的值;(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值,然后由诱导公式可得sin(B 一)

22、的2值.【详解】(1)因为a 3Gb、, 2,cos B由余弦定理cos B22a c2ac23，(3c)2 c2 ( 2)2 ,即 c22 3c c所以c3 sin A(2)因为a由正弦定理a- sin AcosB2b ' b /日,得cosBsin B从而cos2 B(2sin B)2,即2b2cos B因为sin B0,所以cosB2sin BsinB ,所以 cosB 2sin B . b,122-44 1 cos B ,故 cos B -._50,从而 cos B .5因此sin B【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能

23、力.16 .【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论;（2）由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可【详解】（1）因为D, E分别为BC, AC的中点,所以 ED / AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB/A1B1,所以 A1B1 / ED.又因为ED?平面DEC, A1B1平面DEC1,所以A1B1 /平面DEC1.（2）因为AB=BC, E为AC的中点，所以BEXAC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC平面ABC.又因为BE?平面ABC,所以CC11BE.因为 C1C

24、?平面 A1ACC1, ac?平面 A1ACC1, CCnAC=C,所以BE,平面A1ACC1.因为C1E?平面A1ACC1,所以BEXC1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力 和推理论证能力.22oxy3、17 .【答案】（1） 1 ; （2） E（ 1,-）.432【解析】（1）由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；（2）解法一：由题意首先确定直线AF1的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线 BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详

25、解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为 F1（-1, 0）, F2（1 , 0）,所以 F1F2=2, c=1.5 -5 o o 3又因为 DF1=2, AF2，x 轴，所以 DF2=JdF1F1F2,（万）2因止匕 2a=DF+DF2=4,从而 a=2由 b2=a2-c2,得 b2=3.22因此，椭圆C的标准方程为 1.43（2）解法一：22由（1）知，椭圆 C： y- 1 , a=2, 43因为AF2，x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程（x-1） 2+y2=16,解得y=M.因为点A在x轴上方，所以A(1, 4).又 F(1, 0),所以直线 AF1： y=2x+2.y 2

26、x 2由22x 1 y解得x 1或x,11将x代入y5,得 5x2 6x 1611.52x 2,得 y11 0,1251112 3因此 B(一,一).又F2(1, 0),所以直线BF2： y (x554y 3(x 1)4由 22 ，得7x2 6x 13 0,解得x 1或xx y .1).13.743又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 x 1 .333将 x 1 代入 y -(x 1),得 y.因此 E( 1,-).422解法二：22由(1)知，椭圆C：七匕 1.如图，连结EF1.43因为 BF2=2a, EF1 + EF2=2a,所以 EF二EB, 从而/ BFE=/ B.因为 F2A=F

27、2B,所以/ A=/ B, 所以/ A=/ BF1E,从而 EF1 / F2A.因为AF2，x轴，所以EFx轴.x 1一.一一 .一 3因为 F1(-1 , 0),由 x2y2，得 y 一.y- 12433又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y 23因此 E( 1,).2【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等 基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力18.【答案】(1) 15 (百米)；(2)见解析；(3) 17+3V2 (百米).【解析】解：解法一：(1)过A作AE BD,垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；(2)

28、分类讨论P和Q中能否有一个点选在 D处即可.(3)先讨论点P的位置，然后再讨论点 Q的位置即可确定当 d最小时，P、Q两点间的距离.解法二：(1)建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长;(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在 D处即可.(3)先讨论点P的位置，然后再讨论点 Q的位置即可确定当 d最小时，P、Q两点间的距离.【详解】解法一：(1)过A作AE BD ,垂足为E.由已知条件得，四边形 ACDE为矩形，DE因为BE AC 6, AE CD 8.PBXAB,所以cosPBD sin所以PBcos PBD因此道路ABE 1012 一 15 4

29、.5（百米）.PB的长为15(2)若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段 BE上的点(除B, E)到点。的距离均小于圆 O的 半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD,由（1）知ADAD2 AB2 BD27从而 cos BAD 一TAEEd7 10，2AD AB250 ,所以/ BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点 O的距离小于圆 因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当/ OBP<90°时，线段PB上存在点到点O 当/OBP>90时，对线段PB上任意一点F,O的半径.的距离小于圆O的半径，点P不符合规划

30、要求;OFRB,即线段PB上所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径，点P符合规划要求.RB15,设Pi为l上一点，且PB AB ,由(1)知,3此时 RD RB sin RBDRB cos EBA 15 - 9；5当/ OBP>90 时，在 zXPPB 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再讨论点Q的位置.由(2)知，要使得 QA>1§点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ JQA2AC2 任262 3J21 .此时，线段QA上所有点到点。的距离均不小于圆 。的半径.综上，当PBAB,点Q位于点C右侧，且CQ=3J2i时，d最小，此日

31、P,Q两点间的距离PQ=PD + CD+CQ=17+ 3.21.因此，d最小时，P, Q两点间的距离为17+3&1 (百米).解法二：(1)如图，过。作OH，l,垂足为H.以O为坐标原点，直线 OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12, AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A, B的纵坐标分别为 3,-3.因为AB为圆。的直径，AB=10,所以圆。的方程为x2+y2=25.从而A (4, 3), B (-4, -3),直线AB的斜率为3.4因为PBXAB,所以直线PB的斜率为 -,3_425直线PB的方程为y 4 x 25 .33所以 P (-13，9), pb J(

32、 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB的长为15 (百米).(2)若P在D处，取线段BD上一点E (-4, 0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD,由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),3所以线段 AD： y x 6( 4 X 4).415c 15 2在线段AD上取点M (3, 15),因为OM正215432 42 5,所以线段AD上存在点到点 O的距离小于圆 。的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当/ OBP<90。时，线段PB上存在点到点 O的距离小于圆O的半径，点P

33、不符合规划要求；当/OBPA90时，对线段PB上任意一点F, OFRB,即线段PB上所有点到点 。的距离均不小于圆 。的半 径，点P符合规划要求.设Pi为l上一点，且PB AB,由(1)知，P1B 15,此时P 13,9；当/ OBP>90 时，在 zXPPB 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再讨论点Q的位置.由(2)知，要使得 Q415,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时，设 Q (a, 9),由 aq J(a 4)2 (9 3)2 15(a 4)，得a=4 3用，所以Q (4 3&1, 9),此时，线段QA上所有点到点。的距离均不小于

34、圆O的半径. 综上，当P (-13, 9), Q (4 3历,9)时，d最小，此时P, Q两点间的距离PQ 4 3.21 ( 13) 17 3.21 .因此，d最小时，P, Q两点间的距离为17 3，21 (百米).【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.【答案】(1) a 2； (2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)由题意得到关于 a的方程，解方程即可确定a的值；(2)由题意首先确定 a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.(3)由题意首先确定函数的极大

35、值M的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为0 b 1 ,所以X1 (0,1).当x (0,1)时，f (x) x(x b)(x 1) x(x 1)2.21令 g(x) x(x 1)2,x (0,1),则 g'(x) 3 x - (x 1).31令g (x) 0 ,得x列表如下:3x1 (0,-)3131 /)g'(x)+0一g(x)极大值所以当x1，、3时，g(x)取得极大值,且是最大值，故(、14g(x)max g 32 7所以当x(0,1)时,f

36、 (x) g(x)4，因此M42727【详解】(1)因为a b c,所以f (x) (x a)(xb)( x c) (x a)3.因为f (4) 8 ,所以(4 a)3 8 ,解得a 2.(2)因为b c ,所以 f (x) (x a)(x b)2 x3 (a 2b)x2 b(2a b)x ab2 ,.2a b一2ab从而 f'(x) 3(x b) x .令 f'(x) 0，得 x=b或 x 332 b因为a,b,刍一b,都在集合 3,1,3中，且a b,32a b所以 2ab 1,a 3,b3.3此时 f (x) (x 3)(x 3)2, f'(x) 3(x 3)(x

37、 1).令f'(x) 0,得x3或x 1 .列表如下：x(8, 3)-3(-3,1)1(1,+ 8)/(a)f (x)/极大值极小值2所以f(x)的极小值为f(1) (1 3)(1 3)32.32(3)因为 a 0,c 1,所以 f(x) x(x b)(x 1) x (b 1)x bx , f'(x) 3x2 2(b 1)x b. 22因为 0 b1,所以 4(b 1)12b (2b1)3 0 ,则/a)有2个不同的零点，设为X,x2 X x2 .由 f,(x) 0,得xb 1 也2b 1 x b 1b2bl.13, 23x(,x1)Xx1,x2又2(x2，)+0一0+f(x)

38、极大值极小值列表如下:所以f(x)的极大值M f x1 .解法一：32.M f x1x1 (b 1)x1 bx13x； 2(b 1)x1 b 二 b-392 b2 b 19b(b 1)9-22 b b 1 (b 1)27b(b 1) 2(b 1)2(b2727.bTi927» 27(,b(b 1) 1)3b(b 1) 2 ± 272727解法二：因为0 b 1 ,所以x1 当 x (0,1)时，f (x)4因此M . 27(0,1).x(x b)(x 1) x(x 1)2.人21,令 g(x) x(x 1) , x (0,1)，则 g (x) 3 x - (x31).x(0

39、,3)13(4,1) 31令g (x) 0 ,得x列表如下:3g'(x)+0一g(x)极大值所以当1 ,，、一x 时，g(x)取得极大值，且是最大值，故 g(x)max3427所以当x (0,1)时，f(x) g(x),因此M27427【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推 理能力.20.【答案】(1)见解析；(2)bn=n n N ；5.【解析】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；(2)由题意利用递推关系式讨论可得数列bn是等差数列，据此即可确定其通项公式；由确定bk的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导

40、函数研究函数的性质即可求得m的最大值.【详解】(1)设等比数列an的公比为q,所以a20, qw 0.2 44a2a4 %/曰 a1q&qU-l52a3 4a2 4al 0aq4a1q 4ala1 1q 2因此数列an为M 数列”.122(2)因为-一,所以bn 0 .Sn bn bn 11 22由 b1 1,S1 bi 得；7 1，则 b2 2.2 1 b2,122“bnbn 1由,得Sn ,Sn bn bn 12(41 灯),bnbn 1当 n 2 时，由 bn Sn Sn 1,得 bn TT丁3 bn 1 bnbn 1bn2 bnbn 1整理得 bn 1 bn 1 2bn .所以

41、数列bn是首项和公差均为1的等差数列.* 因此，数列bn的通项公式为bn=n n N .由知，bk=k, k n .因为数列cn为M嗷列”，设公比为q,所以C1=1, k 1k因为 Ck<bk«k+1,所以 q k q ,其中 k=1 , 2,当k=1时，有q>l;ln k, In k当 k=2, 3,，m 时，有In q .kk 1In x1 In x设 f(x)=(x 1),则 f'(x) .xxq>0.3, -m.x(1, e)e(e, +°°)f'(x)+0一f (x)极大值令f'(x) 0 ,得x=e.歹U表如下

42、:In 2 ln8 In 9因为 In 3，所以3f (k)max f(3)警3, 4, 5 时,ln kkln q ,即 k q , k经检验知qk 1k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>G分另1J取k=3,6,彳导3可3,且q5w。从而q15>243且q15< 216所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5.通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、 及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.数学n(附加题)21.【答案】(1)11 5；10 61 1,4.【解析】(1)利用矩阵的乘法运算法则

43、计算A2的值即可;(2)首先求得矩阵的特征多项式,然后利用特征多项式求解特征值即可(1)因为所以A211 52(2)10 6矩阵A的特征多项式为f()4.令f()【点睛】0 ,解得A的特征值11, 24本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.22.【答案】(1)而；(2) 2.【解析】(1)由题意，在 4OAB中，利用余弦定理求解 AB的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点 B到直线l的距离.【详解】(1)设极点为O.在4OAB中，A (3, -), B(72,-),由余弦定理，得 AB32 ( . 2)22 3 ,2 cos( ),5.2 4(2)因为直线l的方程为 sin(则直线l过点(372,-),倾斜角为2又B(北一)，所以点B到直线l的距离为(3 J2 亚)sin(- -) 2. 242【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.1 ,、.23.【答案】x|x-或x 1.3【解析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集，-,，一一 八，1【详解】当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2 ,解得x< -：3当。故W1时，原不等式可化为 x+1