人教版初中数学第二十二章二次函数知识点

1、二次函数第二十二章22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1 .二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c ( a, b, c是常数，a 0)的函数，叫做二次函数 .这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数y ax2 bx c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.3 2.1.2二次函数y ax2的图象和性质1 .二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小 .a的符号开口方向顶点坐

2、标对称轴性质a 0向上0, 0擀由x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0问卜0, 0擀由x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，yw最大值0.例1 .若抛物线y=ax2 经过 P (1,-2),则它也经过 ()A. (2, 1) B. (-1, 2) C. (1, 2) D. (-1, - 2)【答案】【解析】试题解析：,抛物线 y=ax2经过点P (1, -2),，x=-1时的函数值也是-2,即它也经过点(-1,-2).故选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征.例2.若点(2,-1)在抛物线y ax2上，那么，

3、当x=2时，y=【答案】-1试题分析：先把(2-1)直接彳弋入y2ax即可得到解析式，再把 x=2代入即可.由题意得4a2时，y-41.4考点:本题考查的是二次函数点评:解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式2. yax2 c的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, c擀由x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .上加下减.)例1.若抛物线y=ax2+c经过点p (I, 2),则它也经过(A. P1 (

4、1, - 2 )B. P2 ( I, 2 )C. P3 ( 1,2)D. P4 (2,1)试题分析：因为抛物线y=ax2+c经过点P(1, 2),且对称轴是y轴，所以点P(12)的对称点是(1 , 2),所以P1 ( 1, 2)在抛物线上，故选:A.考点：抛物线的性质.例2.已知函数 y=ax+b经过(1, 3), (02) , 贝a b=()A. 一 1B. - 3C. 3D. 7试题分析：:函数 y=ax+b经过(1, 3)(0, 2), .a b=5+2=7.故选D.考点：1.直线上点的坐标与方程的关系;2.求代数式的值.例3.两条直线y1=ax+ b22=bx丁a在同心坐标系中的鬻可吁

5、下坐的Z-'i【答案】D.【答案】无正确答案a, b的值，看看是否矛盾即可.【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑解：A、由yi的图象可知，a<0, b<0；由y2的图象可知，a>0, b<0,两结论矛盾，故错误；B、由yi的图象可知，a>0, b>0;由y2的图象可知，a> 0, b<0,两结论相矛盾，故错误；C、由yi的图象可知，a>0, b<0;由y2的图象可知，av 0, b<0,两结论相矛盾，故错误；D、由yi的图象可知，a>0, b>0;由y2的图象可知，a<0, b<0,

6、两结论相矛盾，故错误.故无正确答案.点评：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题.一次函数y=kx+b的图象有四种情况:当k> 0, b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；当k> 0, b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；当kv 0, b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；当k< 0, b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限.22.1.3二次函数y a x h 2 k的图象和性质左加右减.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, 0X=hx h时，y随x的增大而增

7、大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0.a 0问卜h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值0.2，一y a x hk的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k .例1.将二次函数y=x2- 2x- 3化成y= (x-h) 2+k形式，则h+k结果为()A. - 5 B. 5C. 3 D, - 3试题分析：

8、y=x2-2x-3= (x2-2x+1) -1-3= (x-1) 2-4.贝 U h=1, k=-4, h+k=-3.故选D.考点：二次函数的三种形式.例2.把二次函数 y=x2+6x+4配方成y=a （x-h） 2+k的形式，得y=,它的顶点坐标是【答案】(x+3) 2-5, (-3,-5)试题分析：y=x2+6x+4=（x+3）2-5,则顶点坐标为（3，5） 考点：二次函数的顶点式.1 O例3.把二次函数y-x22顶点坐标（3 ）,对称轴方程2x= 3试题分析：y=x2 - 3x+44(x - 3) 2则顶点坐标（3,对称轴方程x=3,3x 4配方成y=a （x k） 2+h的形式，并写出

9、它的图象的顶点坐标、对称轴k ,确定其顶点坐标h , k ；k处，具体平移方法如下:考点：二次函数的图像及性质 1、二次函数图象的平移（1）平移步骤:方法一：（1）将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2（2）保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h-2 y=ax2y= y=ax 2+ k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位""丐y=a（x-h）2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向上（

10、k>0）【或下（k<0）】 平移四个单位向右（h>0）或左（h<0）】 平移|k|个单位y=a(x-h)2（2）平移规律在原有函数的基础上 'h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字左加右减，上加下减【解析】方法二：(1) yax2bxc沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，y ax2 bxc变成y ax2 bx c m (或 y ax2 bx c m)(2) yax2bxc沿轴平移：向左(右)平移m个单位，y ax2 bx c变成ya(x m)2 b(x m) c(或 y a(x m)2 b(x m) c)例1.将二次函数V= x2的图象向下平移一个

11、单位，则平移以后的二次函数的解析式为A. y = x2 1C. y=(x1)2【答案】AB. y=x2+1D. y=(x+ 1)2【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x21.故选A.例2.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移 2个单位后，所得图象的函数表达式是A. y=(x-1)2+2B, y=(x+1)2+2C. y=(x -1)2t2D, y=(x+1)2N【答案】A.【解析】试题分析：原抛物线的顶点为(0,0),向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为 (1,2) .可

12、 设新抛物线的解析式为 y= (x-h) 2+k,代入得y= (x-1) 2+2.故选A.考点：二次函数图象与几何变换.例3.将二次函数 y x2的图象如何平移可得到 y x2 4x 3的图象()A.向右平移2个单位，向上平移一个单位B.向右平移2个单位，向下平移一个单位C.向左平移2个单位，向下平移一个单位D.向左平移2个单位，向上平移一个单位【答案】C【解析】y x2 4x 3 (x 2)2二根据二次函数的平移性质得：向左平移2个单位，向下平移一个单位.故选C.例4.已知点P ( - 1, m)在二次函数y=x2- 1的图象上，则 m的值为；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平

13、移后的函数图象所对应的解析式为【答案】0, y=x2- 2x.丁点P ( - 1, m)在二次函数y=x2 - 1的图象上,( 1) 2 1=m,解得m=0, 平移方法为向右平移 1个单位,平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为(1, - 1),平移后的函数图象所对应的解析式为y= (x-1) 2- 1=x2-2x,即 y=x2 - 2x.故答案为：0, y=x2 - 2x.2、二次函数y a x h 2 k与y ax2 bx c的比较从解析式上看,2ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2by a x 2a24ac b,其中h4ab , 4ac b2一 ，k 2a 4

14、a3、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h, c、与x轴的交点 4 , 0 , x2, 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对 称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.4、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为2bb 4ac b一,顶点坐标为 一，2a2a 4a2.当

15、ab-时，y随x的增大而减小；当2a-b时，y随x的增大而增大；当x 2a2-、4ac by有取小值4a0时,抛物线开口向下，对称轴为2bb 4ac b,顶点坐标为，2a2a 4a-b时，y随x的增2a大而增大；当xb-时，y随x的增大而减小;2a当x葛时，y有最大值组詈例1.当a < 0时,方程a*+bx+c=0无实数根，则二次函数y=aW+bx+c的图像一定在(A、x轴上方B、x轴下方C y轴右侧D、y轴左侧试题分析：方程ax2+bx+c=0无实数根，b2+4ac<0,即函数图形与x轴没有交点又a < 0, ,.二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在x轴下方故选B.考点

16、：二次函数的性质例2.已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图，则 a、b、c满足 (C、a<0, b>0, c>0【答案】AB、a<0, b<0, cv 0D、a>0, b<0, c> 0试题分析：由于开口向下可以判断a< 0,由与y轴交于正半轴得到 c>0,又由于对称轴 x=- < 0,可以得到b<2a0,所以可以找到结果.试题解析：根据二次函数图象的性质, .开口向下,a<0,;与y轴交于正半轴,c> 0,又对称轴x=-<0,2ab<0,所以A正确.考点：二次函数图象与系数的关系.例3.已

17、知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴 x=- 1,给出下列结果:b2>4ac; abc> 0; 2a+b=0; a+b+c> 0; a- b+cv 0,A.B.CD.【答案】D【解析】 试题分析：根据抛物线与 x轴有两个交点，可得 =b2- 4ac>0,即b2>4ac,故正确；根据抛物线称轴为 x=- b- <0,与y轴交于负半轴，因此可知 ab>0, cv 0, abcv 0,故错误;2a根据抛物线称轴为x=- -b-=- i? . 2a- b=0,故错误；2a当x=1时，y>0,即a+b+c>0,故正确；当x=1时，y&

18、lt;0,即a - b+c< 0,故正确；正确的是.故选D.考点：二次函数图象与系数的关系A. a<0, b>0,例4.如果二次函数 y=ax2+bx+c （awQ的图象如图所示，那么（）c> 0B. a>0, b<0, c>0C. a>0, b>0, cv 0D. a>0, b<0, cv 0【答案】D试题分析：因为抛物线开口向上，所以 a>0,又对称轴在y轴右侧，所以 >0,所以b<0,又因为抛物线与y 2a轴的交点在x轴下方，所以cv 0,所以a>0, b<0, c<0,故选：D.考点：

19、抛物线的性质.例5.已知抛物线y=ax，bx+c与x轴的公共点是（-4, 0）, （2, 0）,则这条抛物线的对称轴是直线 .【答案】x=-1.【解析】试题分析：因为点（-4,0）和（2,0）的纵坐标都为0,所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式 x=H22求解即可.(2, 0),试题解析：. 抛物线与 x轴的交点为（-4, 0）, ，两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线 x= 4 21,即x=-1.2考点：抛物线与x轴的交点.5、二次函数解析式的表示方法21 . 一般式：y ax bx c （ a, b, c 为吊数，a 0）;22 .顶点式：y a（x h） k

20、（a, h, k为吊数，a 0）;3 .两根式：y a（x xj（x x?） （a 0, x , x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以 互化.6、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0.当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值

21、越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a的大小决定开口的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，当b 0时，-L 0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧;当b 0时， 0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b 0时， 0,即抛物线对称轴在 y轴的右侧. 2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，旦0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧;2a当b0时，旦0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，0,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.总结起来，在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.ab的符

22、号的判定：对称轴x2a在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0,概括的说就是 左同右异”总结:3 .常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在X轴上方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 0; 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的 特点，选择适当的形式，才能使解

23、题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式7、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于X轴对称2 2y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c;2.一 一 .2y a x hk关于x轴对称后，得到的解析式是 y a x h k;2.关于y轴对称22-y ax bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c；2 .一

24、 一 .2y a x hk关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k；3 .关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ;2 一 .2y a x hk关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；b24.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）2 axbx2y ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y2y a x hk关于顶点对称后，得到的解析式是y5.关于点m, n对称_2_h 2m 2n k2.一 一 .y a x h k关于点 m, n对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，

25、因此a永远不变.求抛物线的 对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式 已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的 表达式.22.2二次函数与一元二次方程1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x轴交点情况)：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当 b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点A xi, 0 , B旭，0 (% ”),其中的不，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间

26、的距离 AB 区 为 "-4ac . a当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 y 0;2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y 0 .2 .抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0 , c);3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中a, b, c的符号，或由二次函数中

27、a, b, c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x轴有两个交点二次二项式的值可止、可零、可负一兀二次方程有两个/、相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交占 八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.A (0. 8，

28、 %) , B (1. 1, y2),例1.已知函数y 3x2 6x k （k为常数）的图象经过点C ( V2 , y3),则有()A.yi< y2 V y3B-yi > y2 > y3C. y3 > yi > y2D. yi > y3 > y2试题分析：因为函数3x2 6x k的对称轴是2a661 ,且抛物线开口向上，所以可以画出函数图象的草图,观察图象可得：W、2,故选：C.考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点.例2.已知二次函数 y=x2 + 2mx + 2,当x>2时，y的值随x的增大而增大，则实数 m的取值范围是 【答案】-

29、2.【解析】试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解.试题解析：抛物线白对称轴为直线x=-2m =-m ,2 1当x>2时，y的值随x值的增大而增大，1- -m<2解得mf> -2.考点：二次函数的性质.例3.函数y x2 bx c的图象经过点（1, 2）,则b-c的值为.【答案】1【解析】试题分析：把点（1, 2）代入y x2 bx c,得：1 b c 2,所以b c 1.考点：函数图象上的点.例4.已知抛物线 y=ax2+bx+3的对称轴是直线 x=1.（1）求证：2a+b=0;（2）若关于x的方程ax2+bx- 8=0的一个根为4,求方程的另一个根.【答案】（1）见解析；（2） x=- 2【解析】试题分析：直接利用对称轴