中考数学复习《反比例函数》专项综合练习及答案

1、中考数学复习反比例函数专项综合练习及答案、反比例函数kyi=i的图象上.x的图象交于点 A、B,点B的横坐标是4,点P (1, m)在反比例函数1.如图，反比例函数 yi=上的图象与一次函数 y2= i(1)求反比例函数的表达式；(2)观察图象回答：当 x为何范围时，yiy2；(3)求4PAB的面积.1【答案】(1)解：把x=4代入y2= 4 x,得到点B的坐标为(4, 1), 把点B (4, 1)代k入y1=工，得k=4.4反比例函数的表达式为 y1 =(2)解：二点A与点B关于原点对称，A的坐标为(-4, - 1),观察图象得，当xv- 4或0vxv 4时，y1y2(3)解：过点 A作AR

2、ty轴于R,过点P作PS,y轴于S,连接PO, 设AP与y轴交于 点C,如图, 点A与点B关于原点对称, .OA=OB,Saaop=Sa bop ,Sapab=2Saaop .y1=,中，当x=1时，y=4, P (1, 4).设直线AP的函数关系式为y=mx+n,把点 A ( 4, 1)、P (1,4)代入 y=mx+n,-4 m= -1则tiT ,w = 3解得=1 .故直线AP的函数关系式为y=x+3, 则点C的坐标（0, 3） , OC=3,Sa aop=Sa aoc+Sa poc1 1=- OC?AR+ - OC?PSJ_ J_=-x 3X 4+ x 3X115=ySa pab=2S

3、a aop=15.【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= ,1 x,得到点B的坐标，再把点 B的坐标代入yi=、求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式yiy2的解集；（3）过点A作ARy轴于R,过点P作PS y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点 C,由点A与点 B关于原点对称，得出 OA=OB,那么Saop=Sabop , Sapab=2Saop .求出P点坐标，利用 待定系数法求出直线 AP的函数关系式，得到点 C的坐标，根据 Skaop=SaAOC+S poc求出Sa aop=-,则 Sk p

4、aB=2Sa aop=15 .2.已知点A, B分别是x轴、y轴上的动点，点 C, D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD （A, B, C, D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如：如图，正方形 ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.第11）题图第0）题图第（3）题图(1)若某函数是一次函数 y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;(2)若某函数是反比例函数y=:(k0),他的图象的伴侣正方形为ABCD,点D (2,m) ( mv 2)在反比例函数图象上，求 m的值及反比例函数解析式；(3)若某函数是二次函数 y=ax2+c (awQ

5、,它的图象的伴侣正方形为ABC口 C、D中的一个点坐标为(3, 4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ,写出符合 题意的其中一条抛物线解析式 ,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇 数还是偶数.【答案】(1)解：如图1,图1当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时,.OC=0D=1, .正方形 ABCD的边长 CD=由;/OCD=/ ODC=45 ；当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，设小正方形的边长为 a,易得CL斗、正方形的边长 =DK=LK故3a=CD=1 .J Ej解得a= 3,所以小正方形边长为于丁悍，一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为二或3(2)解：如

6、图2,作DE, CF分别垂直于x、y轴，图2易知 ADE BAO CBF此时，m2, DE=OA=BF=m OB=CF=AE=2- m, .OF=BF+OB=2 .C点坐标为(2-m, 2),.1 2m=2 (2-m),解得 m=1.反比例函数的解析式为y=(3) (3, 4) ; y=-【解析】 【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3, 4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3, 4）的右侧，与上述解析明显不符合 当点A在x轴正半轴上，点 B在y轴正半轴上,占八、C坐标为（34）时：另外一个顶点为（4, 1）,对应的函数解析式是 y=- ； x2+当点A在x

7、轴正半轴上，点当点A在x轴正半轴上，点 当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上, B在y轴负半轴上, B在y轴负半轴上,占八、占八、D坐标为（3C坐标为（3C为（-1, 3）,对应的函数的解析式是y= x2+占 八、23石；D坐标为（34）时：不存在，4）时：不存在4）时：另外一个顶点当点A在x轴负半轴上，点 B在y轴负半轴上，点D坐标为（34）时，另一个顶点的坐标是（7, - 3）时，对应的函数解析式是y=-当点A在x轴负半轴上，点 B在y轴负半轴上，点C坐标为（34）时，另一个顶点的坐标是（-4, 7）时，对应的抛物线为由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现

8、的,所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.A, B分别是【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点 轴、y轴上的动点，点 C, D是某个函数图象上的点。（1） 一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再 利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；（2）由于ABCD是正方形，添加辅助线，作 DE, CF分别垂直于x、y轴，得到的等腰直角三角形都是全等的，再利用点D （2, m）的坐标表示出点 C的坐标，从而可以求解；（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点也在抛物线上，这个点可能

9、在（3,4）的左侧，也可能在（3, 4）的右侧 ，因此过点即可求出抛物线上另一个点的坐（3, 4）作x轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长,标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条 抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为 偶数。3.如图，点P （x, yi）与Q （x, y2）分别是两个函数图象 Ci与C2上的任一点.当 axb 时，有-iwy-y2Wi成立，则称这两个函数在 awxwh是 相邻函数”，否则称它们在 axb 上是 非相邻函数例如，点P （x, yi）与Q （x, y2）分别是两个函数 y=3x+1与y

10、=2x-1 图象上的任一点，当-3Wx0 1时，y1 - y2= （3x+1） - （ 2x - 1） =x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在-3W xW1上的性质，得到该函数值的范围是- 1Wy与1所以-1Wy- 成立，因此这两个函数在-3wxwi上是相邻函数:(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在-2WxW也是否为 相邻函数”，并说明理由；(2)若函数y=x2-*与丫=*-a在0WxWjb是 相邻函数”，求a的取值范围；A(3)若函数y=刀与y= - 2x+4在1WxW上是 相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值.【答案】(1)解：是 相邻函数”，理由如下：y 1 - y2= (3

11、x+2) - ( 2x+1) =x+1,构造函数 y=x+1,. y=x+1在-2w x/是随着x的增大而增大， 当x=0时，函数有最大值1,当x=-2时，函数有最小值-1,即-1W y,l一 一 1Wy y2W即函数y=3x+2与y=2x+1在-2WxWt是 相邻函数”(2)解：y1y2= (x2x) (xa) =x2 - 2x+a,构造函数 y=x2- 2x+a,y=x2 - 2x+a= (xT) 2+(aT),，顶点坐标为：(1, a-1),又,抛物线y=x2 - 2x+a的开口向上，当x=1时，函数有最小值 a- 1,当x=0或x=2时，函数有最大值 a,即aTWy/a :函数y=x2

12、 - xy=x - a在0WxW2t是 相邻函数”，I 司 W / I- 1y2W 即1 二 人.0 alaa日(3)解：y1 - y2= x - ( 2x+4) = 1 +2x- 4,构造函数 y=+2x- 4, 占1. y= +2x- 4当x=1时，函数有最小值 a- 2, ，3当x=2时，函数有最大值即a- 2Wy式，函数y=，与y=- 2x+4在1 x或是 相邻函数”，一1 Wg y2 W 即社-,1 & a2.a的最大值是2, a的最小值1【解析】【分析】(1) yi - y2= (3x+2) - 2 2x+1) =x+1,构造函数y=x+1,因为y=x+1在-2WxW,0是随着x的

13、增大而增大，所以当 x=0时，函数有最大值 1,当x=-2时，函数有 最小值-1,即-1WyW,l所以-1Wyy2Wl,即函数y=3x+2与y=2x+1在-2WxWjfc是 相邻 函数”；(2) y1-y2= (x2-x) - (x-a) =x2 - 2x+a,构造函数 y=x2- 2x+a,因为 y=x2 - 2x+a= (x- 1) 2+ (a-1),所以顶点坐标为：(1, a - 1),又抛物线 y=x2-2x+a的开口 向上，所以当 x=1时，函数有最小值 a- 1,当x=0或x=2时，函数有最大值 a,即a- 1Wy4a因为函数 y=x2-x与y=x - a在0WxW让是 相邻函数”

14、，所以-1Wyy2Wl,即aa0Wa弯1 (3)当x=1时，函数有最小值 a- 2,当x=2时，函数有最大值2，,因为函数y= 与y= - 2x+4在1wxw2t是 相邻函数，-1j-y2,即1Wa与2所以a的最大值是2, a 的最小值1.4.如图1,已知一次函数 y=ax+2与x轴、y轴分别交于点 A, B,反比例函数 y=k经过点M.(1)若M是线段AB上的一个动点(不与点 A、B重合).当a=-3时，设点M的横坐标 为m ,求k与m之间的函数关系式.(2)当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数 y= 1的图象有唯一公共点 M,且OM二,求 a的值.(3)当a= - 2时，将 RtAAO

15、B在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到RtAA O,即图2, M是RtA。余阳上的一个动点，求 k的取值范围.A、B重合），,一点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点.0m J , , DANG-3x 2 卜 v - 则 .支，k-3x+2=工， k当 x=m 时，3m+2=屈,U1. k= - 3m2+2m (0v mA OBE .(1)求k的值；(2)反比例函数图象与线段 BC交于点D,直线y= ? x+b过点D与线段AB交于点F,延长 AOF交反比例函数y= 1 (x0且b0时，(-陋)2Q所以a- 2 + +Q从而a+bn曲 (当a=b时取等号)，【获得结论】设函数

16、 y=x+上(a0, x 0),由上述结论可知：当 x= 1即x=,G时，函数y有最小值为2匹(1)【直接应用】若yi=x (x 0)与y2=上(x0),则当x=时，yi+y2取得最小值为 . (2)【变形应用】若 yi=x+1 (x- 1)与 y2= (x+1) 2+4 (x - 1),则.门 的最小值是 (3)【探索应用】6在平面直角坐标系中，点 A ( - 3, 0),点B (0, - 2),点P是函数y= 在第一象限内 图象上的一个动点，过 P点作PC,x轴于点C, PDy轴于点D,设点P的横坐标为x,四 边形ABCD的面积为S求S与x之间的函数关系式；求S的最小值，判断取得最小值时的

17、四边形ABCD的形状，并说明理由.4“6(3)解：设 P (x, ),则 C (x, 0) , D (0,1)， d.AC=x+3, BD= +2, I7 h q IhhI.S=AC?BD=- (x+3)(最 +2) =6+x+ .%0,，x+ Ji 2t =6,，当x=4时，即x=3时，x+ )有最小值6,g，此时S=6+x+ i有最小值12,. x=3,P (3, 2) , C (3, 0) , D (0, 2),A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形 ABCD的对角线互相垂直平分，四边形ABCD为菱形.I 11F v j -【解析】【解答】解：(1) .x0, .-.yi+y2

18、=x+|A 2 A =2,，当*= d时，即x=1时,yi+y2 有最小值 2,故答案为：1; 2; (2) -.x - 1, .-.x+10, 三 二一工= =4,，当x+1 = * J时，即 x=1时，.肛有最小值 4,故答案为：4;【分析】(1)直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的 x的值；(2)可把x+1看成 6一个整体，再利用结论可求得答案；(3)可设P (x,、)，则可表示出C、D的坐标，从而可表不出 AC和BD,再利用面积公式可表不出四边形ABCD的面积，从而可得到 S与x的函数关系式； 再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到 P、C、D的坐标，可判断 A、C关

19、于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形 ABCD为菱 形.7.在平面直角坐标系中，我们定义点P (a, b)的 变换点”为Q.且规定：当a时，Q为(b, a);当 a- 2时，则A （a, -2）的变换点坐标为（-2代入y= M可得-a= 解得a=上；当av- 2时，则A （a, - 2）的变换点坐标为（a, 2）,代入y=:可得2=二，解得a1,不符合题意；1综上可知a的值为J ;（3）解：设直线 l的解析式为 y=kx+b （kw0）,将点（6, 0）、（ 0, 3）代入y=kx+b21b = 6 产 1得：,小=3,解得 b = 3 ,，直线l的解析式为y=- 2 x+3.当 x=

20、y 时，x=- - x+3,解得 x=2.点C的坐标为（2, - 2）,点C的变换点的坐标为 C （ 2, - 2 ）,点（6, 0）的变换点的坐标为（0, - 6）,点（0, 3）的变换点的坐标为（0, - 3）, 当x2时，所有变换点组成的图形是以C （ 2, - 2）为端点，过（0, - 6 ）的一条射线;即：y=2x- 6,其中 xZ当xv2时，所有变换点组成的图形是以C （2, - 2）为端点，过（0, - 3）的一条射线,即 y=:x- 3,其中，xv 2.所以新的图形 M是以C （2, -2）为端点的两条射线组成的图形.如图所示：上 x+c+3=0D 和 x2- 2x+c+6=0

21、讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C的位置关系可得：当方程无实数根时，即：当 c- /百时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；当方程 有两个相等实数根时，即：当c=-18时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交八、,当方程无实数根，且方程 有两个不相等的实数根时，即：当-5c-）时，抛物线y=x2+c与图形m有两个交点； 当方程 有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点 C时，即：当 c=-5或c= - 6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；当方程方程均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2,即：当-6c2和xv 2两种情况，求得 M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线

22、 y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可.8.如图，在平面直角坐标系中，直线 AB与x轴交于点已与y轴交于点A,与反比例函m1数y=又的图象在第二象限交于 C, CELx轴，垂足为点 E, tan/ABO=-，OB=4, OE=2.(2)若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点 D作DF，y轴，垂足为点F,连接OD、BF.如果Sabaf=4Sadfo ,求点D的坐标.(3)若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段 DC与线段DB之差达到最大 时，求点D的坐标.【答案】(1)解：tan/ABO=10A腐=二，且 OB=4,.OA=2,. C

23、ELx 轴,即 CE/ AO, .AOBsCERAC BC |l | 4 . . CE =犯，即 CE = / *二，解得 ce=3, C (-2, 3), . m= - 2 X 3= 6,6反比例函数解析式为 y=-上(2)解：设 D (x,. D在第四象限,6，DF=x, OF=3 J/.Sa dfc= DF?OF= x由(1)可知CA=2,6a AF=x+ x/16门/.Sa baf=上AF?CB=- ( x+ 工)X 4=2x+l ),1/ Sabaf=4Sadfc ,62 (x+1)=4 XJ 解得 x=3+ / 或 x=3-,当x=3+ 时，-a的值为3 -,回当x=3-卜/3时，

24、-的值为3+ G. D在第四象限，x=3 - 4不合题意，舍去，.D (3+ 3-)（3）解：.D在第四象限,在4BCD中，由三角形三边关系可知CD- CBW BC当 B、C、D三点共线时，其差最大，设直线AB解析式为y=kx+b,由题意可得小.小力，解得直线AB解析式为v=-也x+2,联立直线（舍去），AB和反比例函数解析式可得,解得（yD （6,即当线段【解析】T）,DC与线段DB之差达到最大时求点【分析】（1）由条件可求得 CA,标，代入反比例函数解析式可求得m的值,D的坐标为（6, - 1）由AOBsCEB可求得可求得反比例函数解析式；CE,则可求得（2）设出C点坐D的坐标，从而可分别

25、表示出 4BAF和4口5。的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；(3)在4BCD中，由三角形三边关系可知CD- CEK BC当日 C D三点共线时，其差最大，联立直线 BC与反比例函数解析式可求得 D点坐标.9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线广士 /小灰-A交轴于点力 ,交k轴于点瓦加和点 E。)，过点H作，必外轴交抛物线于点(1)求此抛物线的表达式；(2)点仅是抛物线上一点，且点 k关于k轴的对称点在直线 卜力上，求|i臣坛的面积;(3)若点|/是直线出下方的抛物线上一动点，当点 运动到某一位置时，1ABI的面积最大，求出此时点 的坐标和|1因 的最大面积.【答案】(1)解： 丁抛

26、物线T二一孑纣-5交f轴于点 ,交1轴于点瓦0) 和点亿如,25a - 8 = 6= I二日小5,得% ，：I此抛物线的表达式是 F=/$(2)解：丁抛物线(二工，* tx -交F轴于点A ,二点,的坐标为他引，丁 久力勺轴，点是抛物线上一点，且点 /关于/轴的对称点在直线 北上,二 点小的纵坐标是5,点/到/比的距离是10,当产二一J时，-3=/，上T - 5 ,得.T - 6或JT 九二点看的坐标为 ( 山夕I,p： AD = 44 X 10：/1第的面积是：2(3)解：设点炉的坐标为庇拈 G ,如图所示,设过点如，点-瓦o)的直线必的函数解析式为IIIX即直线/比的函数解析式为二团的面积

27、是:( p 5) -，+ 5)S 二5 二衰-(P+二)+ 1224:“点H是直线卜力下方的抛物线上一动点, : 5 p 6。时，$取得最大值，此时?125S -I8 ,点山的坐标是即点口的坐标是35) Z时，班的面积最大，此时 4，面 的面积是 S .【解析】【分析】(1)根据题意可以求得d、3的值，从而可以求得抛物线的表达式;(2)根据题意可以求得圈的长和点历到初的距离，从而可以求得 口也的面积；(3)根据题意可以求得直线 力的函数解析式，再根据题意可以求得月掰的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题10.综合实践.他们准备用废弃的宣传单制问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫

28、士行动 作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：1,下面的哪个图形经过折叠能围成无盖(1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图 正方体形纸盒？丁(ffi J)EFkn(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与保”字相对的是哪个字?(3)如图3,有一张边长为 20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小 正方形，折成无盖长方体形纸盒 .请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕 若四角各剪去了一个边长为 xcm的小正方形，用含 x的代数式表示这个纸盒的高为cm,底面积为 cm2 , 当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为cm3.【答案】(1)解：A .有田字，故A不

29、能折叠成无盖正方体；B.只有4个小正方形，无盖的应该有 5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C.可以折叠成无盖正方体；D.有6个小正方形，无盖的应该有 5个小正方形，不能折叠成无盖正方体. 故答案为：C.(2)解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与保”字相对的字是卫”设剪去的小正方形的边长为x ( cm),用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm ,底面积为(20-2x) 2cm2 ,当小正方形边长为 4cm时，纸盒的容积为=x (20-2x) 2=4X(20-2X4)2=576 (cm3) .故答案为：x ,(20- 2x) 2 , 576【分析】(1)由平面

30、图形的折叠及正方体的展开图解答本题；(2)正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；(3) 根据题意，画出图形 即可；根据正方体底面积、体积，即可解答.11.在平面直角坐标系 xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点 P与点Q是一个 和谐点对”，表示为P , Q,比如P (1, 2) , Q (T, - 2)是一个 和谐点对(1)写出反比例函数 y=上图象上的一个 和谐点对”；(2)已知二次函数y = x2+mx+n ,若此函数图象上存在一个和谐点对A ，B,其中点A的坐标为(2, 4),求m值； 在的条件下，在y轴上取一点M (0, b),当/AMB为锐角时，二1【答案】(1)解：.)=,.可取P (1, 1) , Q ( 1, - 1);b的取值范围.(2)解：(2, 4)且A和B为和谐点对，B点坐标为(-2, - 4),/上加#打=4将A和B两点坐标代入 y=x2+mx+n ,可得二加* n,a=2fn 一 ，若/AMB为直角(M点在x轴上)，