中考数学锐角三角函数提高练习题压轴题训练附答案解析

1、中考数学锐角三角函数提高练习题压轴题训练附答案解析一、锐角三角函数1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC= OD=10分米，展开角 Z COD= 60°,晾衣臂 OA= OB= 10分米，晾衣臂支架 HG = FE= 6分米，且 HO=FO= 4分米.当Z AOC= 90°时，点 A离地面的距离 AM为 分米；当OB从水平状态旋转到 OB （在CO延长线上）时，点 E绕点F随之旋转至OB上 的点E处，则B' E2 BE为 分米.月*【答案】5 5,3 4【解析】【分析】如图，作 OP，CD于P, OQ± A

2、M于Q, FK，OB于K, FJL OC于J,解直角三角形求出 MQ, AQ即可求出AM,再分别求出 BE, B'即可.【详解】解：如图，作 OPXCDT P, OQ±AM 于 Q, FK±OB于 K, FJLOC于 J. AM XCD,/ QMP= / MPO= ZOQM = 90 °,四边形OQMP是矩形，.QM = OP,. OC= OD= 10, /COD= 60 °,.COD是等边三角形，.OPXCD,/1 ,/ COP= - / COD= 30 ,.qM = OP=OC?cos30 = 5 73 （分米）, / AOC= / QOP=

3、 90 °,/ AOQ= ZCOP= 30 ;1 八，1 .AQ= -OA= 5 （分米），22 .AM=AQ+MQ = 5+5 石.3 . OB/ CD,/ BOD= / ODC= 60在 RtOFK中，KO= OF?cos60=2 （分米），FK= OF?sin60 = 2百（分米）,在 RtPKE中，EK= JeF2 FK2=2（分米），4 .BE= 10-2-2 6 = （8-2 76）（分米），在 RtOFJ中，OJ= OF?cos60=2 （分米），FJ= 2J3 （分米）,在 RtFJE 中，E川62 （2 扬 2 =2J6,5 .B' =E10- （25y6-

4、2） = 12-2 娓,.B' E' =4E故答案为：5+5 J3, 4.M CD水平地面【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题，属于中考常考题型.C FItlD2.如图，山坡上有一棵树 AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为643米，山坡的坡角 为30。.小宁在山脚的平地 F处测量这棵机勺高，点 C到测角仪EF的水平距离CF=1米, 从E处测得树顶部 A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.（参考数值：sin20 ° =0,34:os20° =0.94tan20&#

5、176; = 0.【答案】6.4米【解析】解：:底部B点到山脚C点的距离BC为6 3米，山坡的坡角为 30°. . DC=BC?cos306-73 9 米，2 .CF=1 米，DC=9+1=10 米,，GE=10 米， / AEG=45 ；.AG=EG=10 米，在直角三角形BGF中，BG=GF?tan20 ° =10 X 0.36=3.6AB=AG-BG=10-3.6=6.4 米,答：树高约为6.4米首先在直角三角形 BDC中求得DC的长，然后求得 DF的长，进而求得 GF的长，然后在直 角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高3 .如图，海上观察哨所 B位于观察哨

6、所 A正北方向，距离为25海里.在某时刻，哨所 A 与哨所B同时发现一走私船，其位置 C位于哨所A北偏东53。的方向上，位于哨所 B南偏 东37。的方向上.(1)求观察哨所 A与走私船所在的位置 C的距离；(2)若观察哨所 A发现走私船从 C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76。的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在 截.(结果保留根号)rcos37 =sin53 ° 去，匕向 0 言2tan76 °【答案】(1)观察哨所 A与走私船所在的位置 C的距离为15海里;D处成功拦(2)当缉私艇以每【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理

7、求出 AC即可;(2)过点C作CM LAB于点M, CM、AM .解 RtAAMD 中，求出/ACB= 90。，再解RtABC,利用正弦函数定义得出易知,D、DM、AD,C、M在一条直线上.解 RtAAMC,求出得出CD.设缉私艇的速度为 x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程,解方程即可.【详解】(1)在 4ABC 中，ACB 180BAC 180 375390 .AC 在RtVABC中，sinB ，所以AB答：观察哨所 A与走私船所在的位置(2)过点C作CM AB ,垂足为AC3AB sin37 25 5C的距离为15海里.M ,由题意易知,D、C、

8、15(海里).M在一条直线上.小时6折海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截._4在 RtVACM 中，CM AC sin CAM 15 4 125，八八3AM AC cos CAM 15 9.5在 RtA ADM 中，tanDAM冷所以 MD AM tan76 36.所以 AD AM 2 MD 2. 92 3 629 1 7, CD MD MC 24 .设缉私艇的速度为v海里/小时，则有24 §屈,解得v 6J17.16 v经检验，v 6后是原方程的解.答：当缉私艇以每小时 6为7海里的速度行驶时，恰好在 D处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实

9、际问题，将解直角三角形 的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.4 .如图1,四边形ABCD是正方形，点 E是边BC上一点，点F在射线CM上,/AEF=90；AE=EF过点F作射线BC的垂线，垂足为 H,连接AC.(1)试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2)求证：/ACF=90°连接AF,过A, E, F三点作圆，如图2.若EC=4, ZCEF=15°, 射能的长.图1图2【答案】(1) BE="FH”;理由见解析(2)证明见解析(3)/=2兀【解析】试题分析：(1)由ABEEHF (SA9即可得至U BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而

10、BC=AB, FH=ER从而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH为45°,而/ ACB也为45°,从而可证明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直径，设圆心为 O,连接EO,过点E作ENL AC于点N, 则可得4ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得 AE的长，得到半径，得到1尼所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：(1) BE=FH理由如下： 四边形ABCD是正方形/ B=90 ； . FHXBC / FHE=90 °又,：L AEF=90/ AEB+/ HEF="90"且 / BAE+/ AEB=90/ HEF=Z

11、BAE/ AEB=Z EFH 又AE=EF .ABEAEHF (SAS.BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH. BE="CH".CH=FH/ FCH=45 ,°/ FCM=45 °.AC是正方形对角线，Z ACD=45 °/ ACF=Z FCM +/ ACD =90 °(3) AE=EF，4AEF是等腰直角三角形 AEF外接圆的圆心在斜边 AF的中点上.设该中点为 O.连结EO得/AOE=90°过E作EN± AC于点NRtA ENC 中，EC=4, Z ECA=45&#

12、176;, . . EN=NC=0RtA ENA 中，EN =272又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 (等弧对等角)/ EAC=30 °.AE=RtA AFE 中，AEMt/2 = EF,，AF=8AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为 /AOE=90°/=2 兀- 490 - 36。° =2 兀考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数5.如图(1),在平面直角坐标系中，点A (0, - 6),点B (6, 0) . RtACDE中，ZCDE=90,° CD=4, DE=4后，直角边 CD在y轴上，且点 C与

13、点A重合.RtCDE沿y轴 正方向平行移动，当点 C运动到点O时停止运动.解答下列问题：(1)如图(2),当RtA CDE运动到点D与点。重合时，设 CE交AB于点M,求/ BME 的度数.(2)如图(3),在RtA CDE的运动过程中，当 CE经过点B时，求BC的长.(3)在RtACDE的运动过程中，设 AC=h, OAB与 CDE的重叠部分的面积为 S,请写出 S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值.即图2图3【答案】(1) /BME=15 ;(2BC=4后；(3) hW2时，S=-虫+1 h2+4h+8, 4当 h>2时，S=18- 3h.【解析】试题分析：(1)如图2,由对

14、顶角的定义知，/BME=/ CMA,要求/BME的度数，需先求出/CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可；(2)如图3,由已知可知 /OBC=/ DEC=30,又OB=6,通过解直角 BOC就可求出BC的 长度；(3)需要分类讨论： hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MFLDE交DE于点 F, S=Sedc- Saefm; 当 h>2时，如图 3, S=Sobc.试题解析：解：(1)如图2,图2在平面直角坐标系中，点A (0, - 6),点B (6, 0).OA=OB,Z OAB=45 ； / CDE=90,° CD=4, DE=4值,/ OCE=60 ；/

15、CMA=Z OCE- / OAB=60 -45 =15 ;/ BME=Z CMA=15 :如图3,/ OBC=Z DEC=30,°,.OB=6, BC=4月；(3)hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MF, DE交DE于点F,圄4 . CD=4, DE=47S , AC=h, AN=NM,.CN=4- FM, AN=MN=4+h - FM, .CMNACEDCN AINcBde ,4-FM 4h-FSf解得FM=4-可二方，2S=Sedc- Saefm=- X 4闻4一 (4 4 h) X (4 力)= h，4h+8,三224如图3,当hR2时，1 1S=SOBC= - OC

16、X OB= (6-h) X6=18 3h.考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形6.已知：如图，在 RtA ABC中，/ACB=90°,点M是斜边 AB的中点，MD/ BC,且 MD=CM, DEL AB 于点 E,连结 AD、CD.(1)求证：MEDsBCA；(2)求证：AMDCMD;17cos/ABC 的（3）设AMDE的面积为Si,四边形BCMD的面积为当S2=S时，求5值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） cos/ABC=5.7【解析】【分析】(1)易证 /DME=/CB/ /ACB=/MED=90 ,从而可证明 MEDs BCA；(2)由Z

17、 ACB=90，点M是斜边AB的中点，可知 MB=MC=AM ,从而可证明2MD1一,所以AB4S1ME,从而可SVEBDEB/ AMD= / CMD,从而可利用全等三角形的判定证明 AMDW AC(3)易证 MD=2AB,由(1)可知：MEDsBCA,所以一S SVACBSamcb= Saacb=2Si ,从而可求出 SaebcfSz - Smcb - S1 = Si,由于 25知 ME 5 ,设ME=5x, EB=2x,从而可求出 AB=14x, BC=7 ,最后根据锐角三角函数的 EB 22定义即可求出答案.【详解】(1) .MD/BC,/ DME=Z CBA / ACB=Z MED=9

18、0 ；.MEDsBCA；(2) / ACB=90，点M是斜边 AB的中点，MB=MC=AM ,/ MCB=Z MBC, / DMB=Z MBC,/ MCB=Z DMB=Z MBC, / AMD=180 - / DMB,/ CMD=180 - / MCB- / MBC+Z DMB=180 - / MBC,/ AMD=Z CMD,AMD 与 ACMD 中，MD MDAMD CMD ,AM CM .AMDACMD (SAS ； (3) MD=CM, .AM=MC=MD=MB , .MD=2AB,由(1)可知：MEDsBCA2§MD1 - 一,SvacbAB4Sa ace=4Si ,.CM是

19、AACB的中线,Samcb= Saacb=2S ,2Sa ebd=& Sa mcb S=2Si,5S MESvebdEBSiMEEB，ME 5EB 2设 ME=5x, EB=2x, ，MB=7x,.AB=2MB=14x,MD ME 1AB BC 2.BC=10x,10x514x 7,- BCcos/ ABC=AB【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与 判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键7 .如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30。的小山

20、坡（电视塔的底部N与山坡的坡脚 A在 同一水平线上，被一个人工湖隔开 ），某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45。；沿着山坡向上行走 40m到达C处，此时测得塔顶 M的仰角为300,请求出电视塔 MN的高度.（参考数据：J2 = 1.41 J3 = 1.73结果保留整数）【答案】95m【解析】【分析】过点 C作C已AN于点E, CF，MN于点F.在4ACE中，求AE= 2073 m,在 RTA MFC 中，设 MN=x m,则 AN=xm. FC= Q xm ,可得 x+ 2073 = 73 ( x 20),解 方程可得答案.【详解】解：过点 C作CE! AN

21、于点E, CF± MN于点F.在4ACE中，AC= 40m, Z CAE= 30°.CE= FN=20m, AE= 20 73 m设 MN = x m,则 AN= xm . FC= /3xm,在RTA MFC中MF= MN -FN= MN-CE= x-20FC= NE= NA+ AE= x+ 20 . 3 / MCF= 30 °FC= .3 MF,即 x+20=向(x- 20)在”曰40,3解得：x3 1= 60 + 20 £ = 95m答：电视塔MN的高度约为95m.【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊

22、角的直角三角形性质 .8.许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等 水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打 造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A, B两点之间的距离他沿着与直线 AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得/ACF=45,再向前走300 米到点D处，测得/BDF=60.若直线AB与EF之间的距离为200米，求A, B两点之间的 距离(结果保留一位小数)E CD 尸【答案】215.6米.【解析】【分析】过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，根据RtA

23、CM和三角函数tan BDF求出CM、DN,然后根据 MN MD DN AB即 可求出A、B两点间的距离.【详解】解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点E C ”口 N 产在 RtACM 中， ACF 45 , .AM=CM=200 米，又. 3=300米，所以 MD CD CM 100米，在 RtBDN 中，/BDF=60, BN=200 米BNDN o 115.6 米，tan 60 MN MD DN AB 215.6 米即A, B两点之间的距离约为 215.6米.【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是

24、。C外一点，连接 CP交。C于点Q,点P关于点Q的对称点为P',当点P在线段CQ上时，称点P为。C友好点”.已知A(1, 0),B(0, 2), C(3, 3)(1)当。的半径为1时，点A, B, C中是。友好点”的是;已知点M在直线y= - Y3x+2上，且点M是。O友好点”，求点M的横坐标m的取值3(2)已知点D(2J3, 0),连接BC, BD, CD, OT的圆心为T(t, - 1),半彳至为1,若在 BCD 上存在一点N,使点N是。T友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围.【答案】 B； 0W mW5y3； (2)-4+3 73 <373 .【解析】【分析】(1)限据

25、友好点”的定义，OB= <2r=2,所以点B是。友好点”；设M(m, - m+2 ),根据 友好点”的定义，OM=Jm2m 22，由此3:2求解即可；(2)B(0, 2), C(3, 3), D(2 V3, 0), OT 的圆心为 T(t, T),点 N 是。T 友好点"，NT<r=2,所以点N只能在线段BD上运动，过点 T作TNLBD于N,作TH/y轴，与BD交于点3,3 一.H.易知 /BDO= 30 , ZOBD= 60 , NT= HI-,直线 BD: y= - - x+2,可知 H(t, 1+2),继而可得nt=- 1t+3y5,由此可得关于t的不等式，解出t的

26、范围即可.322【详解】.1=1,，根据友好点”的定义，OB= < 2r= 2,.点B是。O友好点”，- OC= J32 32 =3 J2 >2r= 2, 点 C 不是 O O 友好点工A(1, 0)在。上，不是。友好点”，故答案为B；如图，53,设M(m, - y-m+2 )，根据 友好点 的定义,2,整理，得 2m2-2 J3mWQ解得06&m；(2) .蜕0, 2), q3, 3), D(2 百，点M的横坐标m的取值范围:0), OT的圆心为T(t, - 1),点N是。T友好点”,-NT<r=2,，点N只能在线段 BD上运动，过点 T作TNLBD于N,作TH/

27、y轴，与BD交于点H./ BDO=30 ;/ OBD= 60 ;/ THN=Z OBD=60 ； . .NTS THN通HT. B(0, 2), D(2y/3, 0),. .直线 BD: y= - 1x+2, 3 H点BD上,H(t, 1+2),3HT = _ t+2 t+2 ( 1) = t+3 t+3,NT 3 HT 3 (- 3 t+3- - -t+3' 3 INI - HI - ( t+3) t + ?.t+>22 t 4+3点，当H与点D重合时，点T的横坐标等于点 D的横坐标，即t=3j3,此时点N不是友好点”， t<3 V3,故圆心T的横坐标t的取值范围：-4+

28、3j3q3j3.【点睛】本题是圆的综合题，正确理解友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键.10.如图，在。的内接三角形 ABC中，ZACB= 90°, AC= 2BC,过C作AB的垂线l交 。于另一点D,垂足为E.设P是AC上异于A，C的一个动点，射线 AP交于点F,连 接PC与PD, PD交AB于点G.(1)求证：PASPDF;(2)若 AB= 5, ?q ?q，求 PD 的长. AP BP【答案】(1)证明见解析；(2) 说 .2(1)根据 AB± CD, AB 是。的直径，得到 Ad Ac，/ACD=/B,由/fpc=/b,得 至I Z A

29、C> Z FPQ可得结论；(2)连接OP,由Rp gp,得到OPLAB, Z OPG= Z PDQ根据AB是。O的直径，得到/ACB=90,由于 AC=2BC,于是得到 tan / CAB= tan / DCB=BC /日玄1I，得到ACCE BE 1OG ，求得 AE= 4BE,通过 OPG EDG,得到 AE CE 2GE理即可得到结果.【详解】(1)证明：连接AD,OP,然后根据勾股定ED. ABXCD, AB是OO的直径,Xd Xc，Z ACD= Z B= Z ADC, Z FPG= Z B, Z ACEU Z FPQ Z APC= ZACF, Z FAG= Z CAF.PAGA

30、CAF;15(2)连接 OP,则 OA=OB=OP=，AB -22Xp §p ,OPXAB, Z OPG= Z PDQAB是。的直径，Z ACB= 90 ；,.AC=2BC,BCtan Z CAB= tan Z DCB=，ACCE BE 1"AE CE 2'，AE=4BE,.AE+BE= AB=5,.AE=4, BE= 1, C2, .OE=OB- BE=2.5- 1 = 1.5,Z OPG= Z PDC, Z OGZ DGE,OG.OPGAEDG, GEOPED，OE GE OP 2.5GECE 2.GE= 2 , OG= 5 , 36PG= OP2 OG25,6

31、GD= DE2 GE22 ,3.PD= PG+GD= 3忖 2a【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得 OPGsEDG是解题的关键.11.如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E (30, 0),交y轴于点D (0,1、 j、工，、一，一公40),直线 AB: y=-x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线 DE于点P,过点E作3EF，x轴交直线 AB于点F,以EF为一边向右作正方形 EFGHI(1)求边EF的长；(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒 J10个单位的速度匀速平移，得到正方形EiFiGiHi,在平移过程中边 FiGi始终与y轴

32、垂直，设平移的时间为t秒(t>0).当点Fi移动到点B时，求t的值； 当Gi, Hi两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形日FiGiHi与4APE重叠部分的面积.【答案】(i) EF= i5; (2)i0 ;i20 ;【解析】【分析】(1)根据已知点 E (30, 0),点D (0, 40),求出直线 DE的直线解析式y=-fx+40,可3求出P点坐标，进而求出 F点坐标即可；(2)易求B (0, 5),当点Fi移动到点B时，t=10 JT0+斤=10;F点移动到F'的距离是J10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时，在RtF'NF中,

33、NF 1=，NF 3EM=NG'=15-F'N=15-3t,在 RDMH'中,MHEMDE上时，在 RtF'PK中,PK 1 =，F K 3 y=一4x+40,3t=4, S=lx (12+5) X 11?023 ；当点 G 运动到直线 248PK t 34 一一 一 PK=t-3 F'K=3t-9 在 RtPKG中 =,t=7, S=15X (15-7) =120.'''KG 15 3t 93【详解】(1)设直线DE的直线解析式 y= kx+b, 将点 E (30, 0),点 D (0, 40),30k b 0 )b 4043

34、,40直线AB与直线DE的交点P (21, 12), 由题意知F (30, 15),EF= 15；(2)易求 B (0, 5), BF=10V10 ，当点F1移动到点B时，t=10j10 J10=10；当点H运动到直线DE上时，F点移动到F'的距离是V10t,在 RtF'NF 中,NF _1 ,NF 3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t,在 RtDMH'中,MH 4EM 3t 4- -,15 3t 3t=4,.EM = 3, MH'= 4,1 S=245(12 7)

35、111023当点G运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是501,- PF=3.10 ,PF'= s/TO t - 3 /10 ,在 RtF'PK 中,PK 1 一,F K 3.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 34 ,15 3t 93 t = 7, .S= 15 x(15-7) = 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键.12.如图，AB是。的直径，PA PC与。O

36、分别相切于点 A, C, PC交AB的延长线于点 D, D已PO交PO的延长线于点 E.(1)求证:E EPD=Z EDO;3 一 一一(2)若 PC=3 tan/PDA=,求 OE 的长.4【答案】(1)见解析；(2)母.【解析】【分析】(1)由切线的性质即可得证 .(2)连接OC,利用tan/PDA=9,可求出CD=2进而求得43OC=3 ,再证明OE24DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.2【详解】(1)证明：. PA, PC与。O分别相切于点 A, C,/ APO=Z CPO, PAL AO,-. DE± PO,/ PAO= E=90 ； / AOP=Z

37、EOD,/ APO=Z EDO,/ EPD=Z EDO.(2)连接OC,PA=PC=3. tanZ PDA=3 ,4.二在 RtPAD 中，AD=4, PD=. pa2 AD2 =5,.CD=PD-PC=5-3=2tan / PDA=,4;在 RtOCD 中，3OC=-，2225OD= Joe2 CD2 二万, / EPD=/ ODE, / OCP=/ E=90 ；.,.OEDADEP,PD PE DE=2，DO DE OE . DE=2OE,5 2 25在 RtOED 中，OE2+DE2=OD2,即 5OE2= 5 =-5 ,24【点睛】本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角

38、形的判定与性质，充分利用tan/PDA=3,得线段的长是解题关键413 .如图，建筑物附上有一旗杆 也 从与所相距40 m的门处观测旗杆顶部八的仰角为50。|,观测旗杆底部B的仰角为45求旗杆的高度.（参考数据：.50* =0.77 cos500 =0.64, 150 tl = 1.19）A【答案】旗杆的高度约为|7/m.【解析】【分析】BC在RtBDC中，根据tan/BDC=下求出BC,接着在 RtADC中，根据WC1 4B + Rqtan/ADC=下=而即可求出 AB的长度【详解】解:bBC=CD= 40msc.在 RBDC 中，tan/BDC=_=1, CDAC AB + BC:在 Rt

39、A ADC 中，tan / ADC=-='CD CDZ5 + 40 tan50 = °,=1.1940.AB 7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用14.已知AB是。的直径，弦 CD± AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交AB的 延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.(1)如图1,求证：KE= GE；1(2)如图 2,连接 CABG,若/FGB=/ACH 求证：CA/ FE；23-(3)如图3,在(2)的条件下，连接 CG交AB于点N,若sinE= , AK= JT0 ,求CN的长.【答案】(1)证明见解析；(2)

40、AEAD是等腰三角形.证明见解析；(3) 20后.13【解析】试题分析：(1)连接OG,则由已知易得 /OGE=/ AHK=90,由OG=OA可得/ AGO=/ OAG,从而可 得/ KGE=/ AKH=Z EKG 这样即可得至U KE=GE(2)设/FGB=x,由AB是直径可得 /AGB=90,从而可得 Z KGE=90- a,结合 GE=KE可得、一 ,1_/EKG=90- %这样在 4GKE中可得/ E=2 由/ FGBh / ach可得/ ach=2 0这样可得2/E=/ACH,由此即可得到 CA/ EF； (3)如下图2,作NP, AC于P, AH3由（2）可知 /ACH=/ E,由

41、此可得 SinE=SinZ ACH= 一 设 AH=3a,可得 AC=5a,AC 5CH 4CH=4a,贝U tan Z CAH=由(2)中结论易得 Z CAK=Z EGK士 EKG之 AKC,从而可AH 3 AH 一 一一得 CK=AC=5a 由此可得 HK=a, tan / AKH= 3, AK=J10 a,结合 AK=J10 可得 a=1,HK则 AC=5；在四边形 BGKH中，由 /BHK=/ BKG=90,可得 ZABG+Z HKG=180,结合ZAKH+Z GKG=180 ,° / ACG=Z ABG 可得 / ACG=Z AKH,在 RtAPN 中，由 tanZ CAH

42、=4 EN ,可设 PN=12b, AP=9b,由3 APtan/ACG=PN tan/ AKH=3可得 CP=4b,由此可得 AC=AP+CP13b =5,贝U可得 b=9 ,由 CP13此即可在RtA CPN中由勾股定理解出 CN的长.试题解析：(1)如图1,连接OG.mi EF切。于 G, OGXEF, / AGO+Z AGE=90 ； . CDXABT H,/ AHD=90 ；/ OAG=Z AKH=90 ；,.OA=OG,/ AGO=Z OAG,/ AGE=/AKH, / EKG4 AKH, / EKG4 AGE,KE=GE(2)设 / FGB=x , AB是直径，/ AGB=90 ；/ AGE = Z EKG=90 - %/ E=180 - / AGE- / EKG=2 pc1 / FGB= ZACH,2/ ACH=2 5/ ACH=Z E,2 .CA/ FE.(3)作 NPLAC于 P