人教版2020高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列学案5

1、-7 -第1课时等比数列学习目标：1.理解等比数列的定义 (重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法 (易错点).自主预习探新知1.等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公区上比通常用字母q表示(qw0).(2)符号语言：an+1*=q(q 为常数，qwo, nC N).an思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？提示不能.2.等比中项(1)前提：三个数a, G b成等比数列.(2)结论：G叫做a, b的等比中项.(

2、3)满足的关系式：G2 = ab.思考：当a=ab时，G一定是a, b的等比中项吗？提示不一定，如数列0,0,5就不是等比数列.3 .等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式 小=曳。.这就是等比数列an的通项公式， 其中a1为首项，q为公比.4 .等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an=a1 q而y = a1 , qx(qw1)是一个不为0的常数aq1与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列 葭.qn中的各项的点是函数 y=a- . qx的图象上的孤立点. q q思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式.提示还可以用累乘法.a

3、2anan 1当 n>2时，01 =q，： =q，a2a3an 1&n_1 .an = a1 一 一 = a1 - qa1a2an2an1基础自测1 .思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.()(3)常数列一定为等比数列.()(4)任何两个数都有等比中项.()答案(1)X (2) X (3) X (4) X提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列.(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零.(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列

4、才是等比数列.(4)错误.当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.2 .下列数列为等比数列的序号是 .2,2 2,3X2 2；a，02, a3, a4, a5(aw0)； s1, (s1)2, (s-1)3, (s-1)4, (s1)5;0,0,0,0,0.22 3X 2 211,金一所以不是等比数列；是首项为0，公比为a的等比数列；中，当s=1时，数列为0,0,0,o,0 ,所以不是等比数列；显然不是等比数列. 1.3 .等比数列an中，32 = 2, 35=4,则公比q=.【导学号：91432189】1 . 、, a2 33 34 a5,_ 由te义知 一=q, 则 a2=a1q=

5、2, 2 a1 a2 a3 a4a5= a4q= a3q2= a2q3= a1q4= 4，所以+得q3=l,所以q=1. 824 .在等比数列an中，Sk=27, q=- 3,则 a7=.-729 由等比数列定义知史二史二受二。a6 a5 a4所以 a5= a4q= 27X ( 3) = 81,a6=a5q= 81X( 3) =243,a7= a6q= 243X ( 3) =- 729.合作探究攻重又tI类型1|等比数列的通项公式及应用卜倒口在等比数列an中.(1)已知 a1=3, q=- 2,求 a6；(2)已知 a3=20, a6=160,求 an.【导学号：91432190】解(1)由等

6、比数列的通项公式得, a6=3x( 2)61= 96.(2)设等比数列的公比为q,2那么aiq = 20, aiq5= 160,解得q=2, a1 = 5.所以 an= a1 qn 1 = 5X2 n 1.规律方法1 .等比数列的通项公式涉及 4个量a, an, n, q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个， 在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.2 .关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于 a, q的方程组，求出 a, q后再求an,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1,最后求an,这种方法

7、带有一定的技巧性，能简化运算.跟踪训练1.在等比数列an中，(1)若它的前三项分别为5, 15,45 ,求a5；(2)若 a4=2, a7=8,求 an.解(1)a5= a1q4,而 a = 5,a2q = = 3a1,，a5=405.(2)因为3a4= &q6a7= &qdq3= 2所以aq6-8q3 = 4,从而q= 4,而 aq3= 2,所以 an= a1qn 1= 2 一1也3I类型2|等比中项1例国(1)等比数列an中，ai = G，q= 2,则a，与a8的等比中项是()81 1A.±4B.4C.±1D-44(2)已知b是a, c的等比中项，求证：

8、ab+ bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.【导学号：91432191】思路探究：(1)用定义求等比中项.(2)证明(ab+ bc) 2= (a2 + b2)( b2 + c2)即可.(1)A 由 an=：- 2nT = 2n-4知，a4=1, as=24,所以 a4与 a8的等比中项为± 4. 8(2)证明：b是a, c的等比中项，则 b2=ac,且a, b, c均不为零，又(a2+ b2)( b2+ c2) = a2b2+ a2c2+ b4+ b2c2= a2b2+ 2a2c2+ b2c2,(ab+ bc) 2= a2b2+ 2ab2c+ b2c2= a2b2+ 2a2c2+

9、 b2c2,所以(ab+ bc) 2= (a2 + b2) - ( b2+ c2),即 ab + bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.规律方法等比中项应用的三点注意:G b 2(1) 由等比中项的定义可知 占=WG=ab? G=± 牺,所以只有a, b同号时，a, b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项(2) 在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.(3) a, G, b成等比数列等价于 G=ab(ab>0).跟踪训练2 .若1, a,3成等差数列，1, b,4成等比数列，则b的值为()A. ±- B. 1 C .

10、 1 D . ±1 22D 由题知2a= 1 + 3, a = 2.由 b2 = 4 得 b= ±2a. L13 .设等差数列an的公差d不为0, a1=9d,若ak是a与a2k的等比中项，则 k等于()【导学号：91432192A. 2 B.4 C.6 D . 82B an= (n+8)d,又ak= a1 a2k,. .( k+8)d2 = 9d (2 k+8)d,解得 k= 2(舍去),k = 4.I类型3|等比数列的判断与证明探究问题an 十1-,. 2*1 .右数列an是等比数列，易知有 =q（q为常数，且qw。）或an+i = an an+2（anW。，nCN）

11、an成立.反之，能说明数列an是等比数列吗？一. 一 an +1.，.2* 提不：能.右数列an满足 =q（q为常数，qw。）或an+i = an - an+2（anW。，nCN）都能说明an是等比数列.2.若数列an是公比为q的等比数列，则它的通项公式为a=ai qn 1（a, q为非零常数，nC N*） .反之，能说明数列d是等比数列吗？提示：能.根据等比数列的定义可知.卜例 已知数列的前n项和为$ = 2n+a,试判断an是否是等比数列.思路探究：如何由求和公式彳#通项公式？ ai是否适合an=$8i（n>2）?需要检验吗？nn-1nRn+i 2n解an=SS1=2+a 2 -a=

12、2 （n>2）.当 n>2 时=产=2；an 2当n= 1时,22Ta.故当a=- 1时，数列an成等比数列，其首项为 1,公比为2；当aw 1时，数列an不是 等比数列.母题探究：1.（变条件）将例题中的条件" &=2n+a”变为“ S=2an” .求证数列an是等 比数列.证明 - Si+ 1 = 2 - an+1,an + 1 = Sn+ 1 - Sn= (2 - Hn+ i) 一 (2 一 an) = an - Hn + 1 ,1 an+1=2an.又 Si = 2 ai,. . ai = 1 w 0.i又由 an+i = 2an知 anW。, an+1

13、ian = 2，an是等比数列.2.（变条件变结论）将例题中的条件« Sn=2n+a”变为“ ai=1, an+i = 2a + 1”证明数列an+ 1是等比数列，并求出数列 an的通项公式.解因为 an+1= 2d+ 1 ,所以 an+ 1 + 1 = 2( an+ 1). 由 ai = 1,知 a + 1 W0, 从而 an+ 1 w 0.所以号2（nCN）,所以数列an+1是等比数列.所以an+ 1是以a1 + 1 = 2为首项，2为公比的等比数列，所以an + 1 = 2 , 2 = 2 ,即an =2n-1.规律方法判断一个数列an是等比数列的方法：（1） 定义法：若数列a

14、满足口 =q（q为常数且不为零）或史=q（n>2, q为常数且不为 anan-1零），则数列an是等比数列.（2） 等比中项法：对于数列an,若an + 1=an- an + 2且anW0,则数列an是等比数列.（3） 通项公式法：若数列an的通项公式为 an = a1qn（ ax。，qwo）,则数列an是等比数 列.当堂达标固双基1 .下列数列是等比数列的是（）【导学号：91432193】A. 2,2 , -2, - 2,2,2 , 2, 2,B. -1,1 , -1,1 , 1,C. 0,2,4,6,8,10,D. a1, a2, a3, a4,B A.从第2项起，每一项与前一项的比

15、不是同一常数，故不选 A.B.由等比数列定义知该数列为等比数列.C.等比数列各项均不为0,故该数列不是等比数列.D.当a=0时，该数列不是等比数列；当 awO时，该数列为等比数列.2 .若2a, b,2c成等比数列，则函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 0 或 2B 由题意，得b2=4ac,故函数y = ax2+bx+c的图象与x轴相切.3 .在等比数列an中，若a2=4, a5=32,则公比q应为（）【导学号：91432194B. ±21C.2D. -2D 因为一=q3=8,故 q= - 2. a24 .在等比数列an中，若公比q = 4,且前三项之和等于