优化方案高中数学第一章三角函数章末优化总结新人教A版必修4

1、章末优化总结知识网络体系构建14专题三角函数的值域与最值求三角函数的值域与最值的三种途径利用函数y=Asin( 3x+ 6 ) + b的值域求解.(2)将所求三角函数式变形为关于sin x(或cos x)的二次函数的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的性质求解.(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数求值域的方法(分离常数法、 判别式法、图像法等)在三角函数中也适用.例求y=Me1的值域.解将已知函数式看成单位圆上的点A(cos x, sin x)与点R2 ,2)连线的斜率，如图所示，观察得到kAW ywkcB设过点B的圆的切线方程为y-2=k(x-2).即 kx

2、- y- 2k+2= 0.一口 |2 2k|/口，4土木于是,卜2+i = 1,解得k = 一故函数的值域为匕，7,匕上, 33例Q)已知|x|w4,求函数f(x) = cos2x + sin x的最小值. 解 y= f (x) = cos2x+sin x = - sin 2x+ sin x+1.人一，兀令 t =sin x,因为 | x| w 工-,所以一2 sin x2.乎-;2+5=1则丫=一一+1 + 1 = - t-2 +5-源tw乎，当t = 一 ¥二,即x= 4时，f(x)有最小值，且最小值为一专题6I三角函数的性质1 .三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正周

3、期.求三角函数的周期一般 要先通过三角恒等变形将三角函数化为y = Asin( cox+() + k, y = Acos(x + 6 ) + k及y= Atan( cox+ 6)+k的形式，然后用公式求解，另外还可以利用图像求出三角函数的周期.2 .研究函数y = Asin( cox+ 6 )的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点 对称，则当6 = kTt(kez)时，函数为奇函数；当 巾=kTt + _2(kez¥4,函数为偶函数； , k 兀.当6w-2-(kez)时，函数为非奇非偶函数.3 .求函数y= Asin(x+ 6 )或y = Acos(x + 6 )(其中

4、A0, w >0)的单调区间时(若 3<0,可先利用诱导公式将 x前的系数3变成正值)，应把3X+ (J)视为一个整体，由 A 的符号来确定单调性.例 函数f (x) = 3sin 2x-的图像为C.311 Tt(1)图像C关于直线x=2-对称；(2)函数f (x)在区间一12, 工 内是增加的；一一.，一一 兀 .一.一一(3)由y=3sin 2 x的图像向右平移 百个单位长度可以得到图像C以上三个论断中，正确的个数是 (A. 0B.C. 2D.解析(1)f 器 =3sin (一左=3$所卞=3, 12032,一 , , ,11所以直线x=工2-为图像c的对称轴，故(1)正确;5

5、兀(2)由一石<x<G/口 7t兀 兀信一5 < 2x-y<y，所以函数f(x)在一12，52内是增加的，故化)正确；,兀(3) f (x) =3sin 2 x-,.一一一.一 一. 兀 兀一一一 一而由y=3sin 2 x的图像向右平移 至个单位长度得到函数 y = 3sin 2 x-y 的图像，得不到图像C,故(3)错误.答案C专题三角函数的图像及图像变换三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现. 在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、 观察来讨论函数的有关性质.具体要求如下：(1)用五点法作y

6、= Asin( 3x+()的图像时，确定五个关键点的方法是分别令cox+ 6=0, y,兀，-2, 2兀.(2)对于y = Asin( wx+ g + b应明确A, co,巾与单调性的关系，针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.(3)由已知函数图像求函数 y = Asin( wx+ 6 )( A>0,>0)的解析式时，常用的解题 方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A,由周期确定 3 ,由适合解析式的点的 坐标来确定 6,但由图像求得的y = Asin( 3x+(J)(A> 0,>0)

7、的解析式一般不是唯一的， 只有限定 巾的取值范围，才能得出唯一的解，否则 巾的值不确定，解析式也就不唯一.例 已知函数 y = f(x)=Asin(x + 6 ) A>0, w >0, 0<()<-2的图像上的一个最低点为M7，一2 ,周期为兀.3(1)求f (x)的解析式；(2)将y=f(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将兀所得的图像沿x轴向右平移个单位长度，得到函数 y = g(x)的图像，写出函数 y=g(x)的 解析式；兀(3)当xC 0, 12时，求函数f(x)的最大值和最小值.2兀解(1)因为T=兀，所以3=2.又因为f(x

8、)min=2,所以A= 2.因为f(x)的最低点为 M2-, 2 , 3所以 sin 6 = - 1. 3一，兀因为0V <,所以等<3+6 <112， 336所以6=好， 32所以6 =-6,兀所以 f(x) = 2sin 2x + .c C . ° ,兀横坐标伸长到原来y=2sin 2x+y的2倍(纵坐秣不变)y=2sin kX2x + ±- = 2sin x+ 2661&x轴向右平移AM长度6兀兀y=2sin x- + =2sin x,所以 y= g( x) =2sin x.兀因为0W x< ,所以兀兀所以当2x+-=66一,兀即 x

9、= 0 时)f (x)min = 2sin = 1;当 2x+|="3,即 x = 12时，f（x）max= 2sin -3=-3.H一”1.已知sin（兀+ e）<0, cos（兀一e）<0,则角e所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选 A.因为 sin（兀+ 8）= sin 0 <0,所以 sin 0 >0,又因为 cos（兀一e）= cos e <0,所以 cos e >0,sin( x)D.所以角e所在象限为第一象限.2.函数f（x）= 1 g sin x的图像大致为（）x解析：选A.函数的定义域为x|xw

10、。,所以排除B, C.因为f（x）= 12 x=-1J sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称，故排除 x3.化简：寸1-sin 2440-=.解析：原式=-1 sin 2 (360° +80° ) = -1-sin 280°=cos280° = cos 80 ° .答案：cos 80 °,.、兀 一一.L. 一4.右f (x) = 2sin 3 x(0 < co < 1)在区间0,上的取大值是 J2,则 w =3解析：由0W兀所以y=2sin cox在0,厂上是递增的.2 3兀兀又 3 c(0

11、, 1),所以 0, y ? 0, 2兀故f(x)=2sin wx在0,上是递增的,3co 兀t-一3即 2sin 3-=2,所以 3=4.答案：345.已知函数y=f(x)=sin(2 x+巾)|勿 的图像过点 0,当(1)求6的值，并求函数y = f (x)图像的对称中心的坐标；(2)当0wxw出求函数y=f(x)的值域.解：(1)因为函数图像过点0,号,-x/3兀 一兀所以sin 巾=一，又因为I 6 I v万，所以 巾=一§，一一.兀兀所以 y=sin 2x一可，令 2x k=k 兀(kC Z), 33得 x = M + ke Z)，k兀 兀所以函数f(x)的对称中心为 一屋

12、+3，0(kez).(2)因为 0Wxw,所以2x-< 2333 .3兀所以一为-w sin 2x - - < 1, 23(时间：100分钟，满分：120分)、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.化简sin 600 °的值是()B.,32C.,32D. 0.5A. 0.5解析：选 B.sin 600 ° = sin(360 ° + 240° ) = sin 240 ° = sin(180 ° +60° ) = sin600 =-13.2.已知函数

13、f (x) = sin x在区间a, b上是增函数,且 f ( a) = 1, f ( b) = 1,则 cosa+ b""2"的值为()A. 0B.吃C. 1D. - 1.一 .一. 兀兀 a+ b解析：选C.由题知a, b? 2k兀了，2k兀+5(ke Z),所以cos了=cos 2k兀=1.3.函数y=兽|sin x| cos xtan xA.C.1-1|tan B. D.x|1 ，的值域是()3T, 3解析：选D.当x为第一象限角时,sinsin xx>0, cos x>0, tan x>0,所以 y=-sin xcos x卜cos xt

14、an x+ 小=3；x为第二象限角时,sin x>0,cos x<0,tan- sin x cos xx<0,所以 y=s+osvtan x一 tan x=1； 当x为第三象限角时,sin x cos y sin x cos x当x为第四象限角时，sin x<0, cos x<0, x tan xtan x>0,所以sin xy=: sin综上可知，_ cos xx cos x卜 tan x1 1'sin x<0, cos x>0, tan x值域为 1, 3.4.函数y = cos(2 x + 6 )(一兀 w兀sin 2x + -3的

15、图象重合，则 6=(5A.-%6B.tan x<0,所以 TT .,兀)的图象向右平移 万个单位后，与函数兀C.?D.7t3.，一 ，一一一一.兀 兀.，解析：选 A.y=cos(2x+ 6)的图象向右平移"2"个单位得到y=cos 2 (x- -2) +()的 图象，整理得 y = cos(2 x 兀+ 6 ). 兀 因为其图象与y= sin 2x + 的图象重合，3兀 兀所以 6 兀=y-2-+2k % ,LL兀兀所以巾=万+兀一a+Zkjt,5兀+ 2k 兀.5 TT又因为一兀w 6 <兀，所以 6 = w_.一 ,一.兀 兀 .一.5.要得到函数f(x)

16、=cos 2x+的图像，只需将函数g(x) = sin 2x + 的图像()33A.向左平移号个单位长度b.向右平移2-个单位长度c.向左平移4-个单位长度D.向右平移高个单位长度解析：选 C.因为函数 f(x)=cos 2x+2 =sin 2x+ +三=sin 2x+粤 ,33212一一 .一.兀.,一一. 兀所以将函数g( x) = sin 2x+w的图像向左平移了个单位长度， 34兀兀即可得到函数 y= sin 2 x+ + = sin 2x十二的图像.故应选 C.66 .若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数， 给出下列三个函数：兀兀fi(x) = 2c

17、os 2 x, f 2(x) = 2cos x , f3(x) = 2cos x 1,贝U ()A. f i(x) , f 2(x) , f3(x)两两为“同形”函数；B. f i(x) , f 2(x) , f3(x)两两不为“同形"函数；C. fi(x), f2(x)为“同形”函数，且它们与f3(x)不为“同形”函数；D. f2(x), f3(x)为“同形”函数，且它们与fi(x)不为“同形”函数.解析：选D.由题意得£2(刈与£3(刈中，'3相同，所以可通过两次平移使其图像重合， 即f2(x)与f3(x)为“同形”函数，而 fi(x)中3 =2与f2

18、(x) , f3(x)中的3 = 1不同，需要 伸缩变换得到，即它们与 fi(x)不为“同形”函数.7 .已知奇函数f(x)在1, 0上为减函数，又 a、B为锐角三角形两内角，则下列 结论正确的是()A. f (cosa )> f (cos(3)B. f (sina )>f (sin3)C. f (sina )> f (cos(3)D. f (sina )< f (cos(3)解析：选D.由已知奇函数f(x)在1, 0上为减函数，知函数 f (x)在0, 1上为减函 、. . .兀兀 一.兀兀数.当a、3为锐角三角形两内角时，有 a + 3 >"2&qu

19、ot;且0V a , 3 < ,则万> a > 兀3 > 0,所以 sin a > sin 一(3 ，即 sin a > cos § ,又 0V sin a , cos (3 < 1,所以 f (sin a )<f (cos B)成立，选 D., 兀8.将函数f(x) =2sin(3x+ 6)的图像向左平移 万个单位长度，若所得图像与原图像 重合，则3的值不可能为()A. 4B. 6C. 8D. 12, .一 .一一.一. 兀 解析：选B.法一：将函数f(x) =2sin(3x+ 6 )的图像向左平移 万个单位后所得图像的.一 一.兀3

20、 兀.一 一. 解析式为y=2sin 3 x+5+ () =2sin coxH2F 6 ,而平移后所得图像与原图像重合，所以£2%=2k兀(k C Z),所以3=4k(kCZ),所以a的值不可能等于6,故选B.法二：当3=4时，将函数f(x) = 2sin(4 x+ 6 )的图像向左平移个单位长度所得图兀像的解析式为y=2sin 4 x + +() =2sin(4 x+ 6)与原函数相同.当 3=6时，将函数兀f(x) = 2sin(6 x+ 6)的图像向左平移万个单位长度所得图像的解析式为y =2sin 6 x+y +()=2sin(6 x+ 3兀 + 巾)=2sin(6 x+ 巾

21、)，与原函数不相同，故选B.,兀，9.已知函数f (x) = sin(2 x+ 6 ),其中|()|<兀，右£(*)忘f 对xC R恒成立，兀且f万f(兀)，则f(x)的递增区间是()兀兀A. ku , k % + (kCZ)兀B. kit, k it + (k Z)C. k 兀 + , k 兀 + -r- (k e Z) 63兀D. k % , k % (kCZ)兀兀解析：选C.因为f (x)< f ，知f 3是函数f(x)的最大值或最小值.函数 f(x)一一. 兀 一一.兀 .的周期丁=兀，所以f ( Tt ) = f (0).又因为函数的对称轴为x=1,所以f(0)

22、 = f不，知兀兀兀兀兀5f w >f y ,所以f y是函数f (x)的最小值，所以2x+()=-2,解得6 = 6兀.由一2k7tW2x 7tw9+2kTt(keZ),得 k % +xw k 兀 + (k e Z).2626310.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0wtw24,单位：小时)的函数，记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：t(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.5厂0.50.991.5经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y = Acos cot+b的图像.根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的

23、海浪高度超过1.25米的时间为()A. 10小时B, 8小时C. 6小时D. 4小时A+ b=1.5 ,A+ b= 0.5 ,兀解析：选B.依题意得 2解得A= 0.5, b=1, w =,兀t兀t兀t 1贝 Uy=0.5cos +1.令 y=0.5cos + 1>1.25( t C 0,24)得 cos-6->2.又 t 0,24,4t- 6 0，4兀,因此0W=<彳或空<=W2兀或2兀W=<2兀+或2兀+与<4t<2663366336兀+ 2兀，即0W t<2或10<t W12或12W t <14或22<t W24,在一日内

24、，该海滨浴场的海浪 高度超过1.25米的时间为8小时.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上 ) 兀兀11 .已知f(x)=2sin 2x- - m xC 0, 上有两个不同的零点，则m的取值范围是.，一.兀._.一一， 一一、一一.兀 ._. .解析：f(x)在0,万 上有两个不同手点，即方程 f(x)=0在0, 上有两个不同头数 解，兀兀所以y=2sin 2x- , x 0, -2与y= mT两个不同交点.令u=2x3,由xC 0, 得uC ,二-，在同一直角坐标系中做出函数y=2sin6266u与y=m的图像(如图)，可知1wm<2.答案：1 , 2

25、)兀12 .函数y=2sin 2x+豆(x C 兀，0)的递减区间是 .解析：令?+2k 兀 w 2x+2k 兀，kC Z,解得：+k 兀 w xwZ；9+k 兀，kCZ, 26263令k=- 1,得一等Wx<-,得函数的递减区间为一/，-4 .6363答案：-56 _313 .设 a= sin 57, b= cos2, c=tan27L,则 a, b, c 的大小关系为 (按由 小至大顺序排列).解析：a= sin -= sin 兀=$所b= cos= sin7 = sin 驾，77772714因为。芋<2, y=sin x在 0，2 上为增函数，所以bva；又因为0V-4V27

26、<2-, y= tan x 在 0, "2"上为增函数，所以 c= tan7L>tan -4= 1,所以 bvavc.答案：bvavc兀兀14 .将函数f(x)=sin( cox+ 6) 3>0, 一"2"<巾<"2"图像上每一点的横坐标缩短为原兀兀来的一半，纵坐标不变，再向右平移了个单位长度可得y=sin x的图像，则f 了 =. 兀 一兀解析：将y=sin x的图像向左平移6个单位长度可得 y=sin x + 的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y=sin1 兀2x+T的图像，故f (x)

27、 =sin1 兀2x+7兀1717tT=sin 2X7+T兀y2=sin = -42兀15 .关于函数f(x)=4sin 2x+ (x R),有下列命题:3函数函数函数兀y= f(x)的表达式可改写为 y= 4cos 2x ;y=f(x)是以2兀为最小正周期的周期函数；.，.兀,y=f (x)的图像关于点6-，0对称;函数y=f(x)的图像关于直线兀x一不对称.其中正确的是解析： f (x) = 4sin 2x + 万 =4cos ”- 2x = 4cos 2x + - = 4cos 2x ,正确;2兀一I 一，丁:-2-=兀，最小正周期为兀，错误;兀，乙6, 0对称，正确; .兀兀 一令2*

28、+3=卜兀，当k=0时，x=,所以函数f(x)关于点一一兀兀兀.1.令 2x+-3-=kTt + 2",当 x = 一 "6时，k= 2,与 ke Z矛盾，错证.所以正确.答案：三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤)16.(本小题满分10分)计算J3sin ( 1 200 ° )11tan -兀3一cos 58537tan 一二兀4解：原式=通所(120° 3X360° )tan 3 兀 +1-cos(225 ° + 360° ) - tan 9兀-4 兀3sin 12

29、0°十 cos 225tan -V3 'in 60兀 tan -3+ ( cos 4517.3.3,3一2(本小题满分10 分)(1).一兀 求函数y=1 2sin x+的取大值和取小值及相应的x值;(2)已知函数y=兀兀一，,、，acos 2x + y +3, xC 0, 的取大值为4,求头数a的值.解:兀(1)当 sin x+ =- 1,x + T 一万+2k兀，武乙所以当x=-7t + 2k7t, kCZ时，y取得最大值1+2=3. 3当 sin x + =1,即 x + = F 2k % , kCZ.兀所以当*=了+2卜兀,kez时，y取得最小值1 2 = 1.（2）

30、因为 xe 0, 2 ,所以 2x+e43 ,2333兀 1所以一 1Wcos 2x+ -3- <2.当a>0, cos 2x+ =；时，y取得最大值；a+3. 322 . 1 ，所以2a+3=4,所以a=2.兀当a<0, cos 2x+ =1时，y取得最大值a+3. 3所以一a+3=4,所以a=- 1.综上可知，实数a的值为2或1.1 兀 518.（本小题满分10分）为得到函数y= 2sin 2x+ +4的图像，只要把函数 y = sin x 的图像作怎样的变换？.一.一一.一. 一一. 兀 兀解：法一：把函数 y= sin x的图像向左平移 百个单位长度，得到函数 y=

31、sin x + 的图像；1兀把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变），得到函数y=sin 2x+ 的图像； 一，1一、一，1兀把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2（横坐标不变），得到函数y=-sin 2x+ 的图像；51兀 5把得到的图像向上平移 4个单位长度，得到函数y=2sin 2x+ +4的图像.1 兀 5综上得到函数y= 2sin 2x+ +4的图像.法二：将函数y= sin x依次进行如下变换： 一一一， ，1 、一，把函数y = sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变），得到函数y =sin 2 x的图像；,一， 兀 一,兀把得到的图像向左平移 而个单位长度，得到 y=sin 2x + y的图像； 一，1一、 一 1兀，把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的g（横坐标不变），得到y=-sin 2x+的图像；51兀 5把得到的图像向上平移 4个单位长度，得到函数y=2sin 2x+y +4的图像.-1兀 5,综上得到函数y= 2sin