北师大版2020九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系自主学习基础过关测试题3(附答案详解)

1、北师大版2020九年级数学上册2.5 测试题3 （附答案详解）二次方程的根与系数的关系自主学习基础过关若关于x的二次方程x2+2x-k=0有实数根，则k的取值范围是（A.k>- 1B. k> 1 且 kw0C.k> - 1 D , k>- 1 且 kw02.已知关于二次方程kx22x0有实数根，若k为非负整数则k等于A.B. 1C. 0, 1D. 23.已知方程2x10,则此方程（A.无实数根B.两根之和为2C.两根之积为1 D.有一个根为4.次方程x2 - 2x=0的两根分别为x1 和 x2,贝U x1x2 为()A.B. 1C. 25.若x1, x2是.次方程 2x

2、2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A.B.C.116.A.7.A.8.已知二次方程 x26x c 0有一个根为2,则另一个根为（B.C.若x1,x2是方程2x2 6x3 0的两个根，则x11，一的值为（）x2B.C.关于x的二次方程（a5） x24x1 = 0有实数根，则a满足（B . a>1且 aw5C. a> 1a>19.如果关于x的二次方程 x2+3x- 7=0的两根分别为 a , 3 ,则a 2+4 a + 3)A. 4 B, 10C, - 4 D, - 1010.关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根，则 a的取值范围为（B . - 4

3、< a< 0C. - 4< a< 0D . -4< a< 011 .方程3x21=2x+5的两根之和为212.已知关于x的一次万程x 2 a22 x a 5 0的两根为13.为使关于x的二次方程x2 4ax 5a2 6a 0的两个实数根的差的绝对值最大，a的值应为. 222214 .关于x的万程x 2m 1 x m 1 0的两实数根为x1，x2,且x x? 3, 则m .15 .一元二次方程 x2 6x 4 0两根为x1和x2,则x x2 , x1x2 , x1 x2 x1x2 .16 .设一元二次方程 x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2，则x2+x；

4、 =.17 .已知x1 , x2是关于x的一元二次方程 x2-5x+a=0的两个实数根，且x12-x22=10, 贝 U a=.2218 .关于x的一兀一次万程m 4 x 2x m m 12 0的一个根为0,那么m ,另一个根是.19 .如果方程 乎3工十刖=。有两个相等的实数根，那么 m的值是.220 .已知关于x的万程k 1 x k 1 x k 2 0有两个相等的实数根，则 k的值 是.21 .已知方程x2 3x 1 0的两个根为x1、x2,求(1 x1)(1 x2)的值.22 .已知关于x的方程x2 2mx m 2 0的一个根为3,求m的值及另一个根.23 .已知关于x的一元二次方程(x

5、-2) 2=3m- 1有两个不相等的实数根，求m的取值范围. 2, m m 24 .关于x的万程mx (m 2)x 0有两个不相等的实数根.4(1)求m的取值范围；(2)是否存在实数 m,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由.25 .方程(k-1) x2 2x/kx 1 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.226 .当k为何值时，关于x的万程 k 1 x 2k 1 x k 1 0有两个不相等的实数 根？227 .已知关于x的一兀二次方程 mx2x+1 = 0.(1)若方程有两个实数根，求 m的取值范围；4、一，r1,(2)若方程的两个实数根为 x1,

6、 X2,且x1x2-x1-x2=,求m的值.22228 .已知：关于x的万程x 2m 4 x m 5m=0没有实数根.1求m的取值范围;2若关于x的一元二次方程 mx2 n 2 x m 3 0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；3设2中方程的两根分别为、，若：1： 2 ,且n为整数，求m的最小整数值.29 .已知关于X的方程a2X2+(2a-1)X+ 1 = 0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求a的取值范围；(2)是否存在实数a,使方程的两个实数根互为相反数双口果存在，求出a的值;如果不存在， 说明理由.解：(1)根据题意，得A=(2a-1)2-4a2>0,解得a<1./.

7、当a<0时,方程有两个不相等的实数根2a-1军=0,解 aX1与X2互为相反4(2)存在.理由如下：如果方程的两个实数根X1,X2互为相反数，则X1 + X2 =得a= 1,经检验,a= 1是方程的根.，当a= 1时，方程的两个实数根 数.上述解答过程是否有错误 ？如果有，请指出错误之处，并解答.30 .已知：关于x的方程x2+2x- k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若“，3是这个方程的两个实数根，求:的值;(3)根据(2)的结果你能得出什么结论?参考答案1. A【解析】【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x - k=0有实数根，可得？= b2- 4ac>

8、Q据此列不等式求解即可 【详解】由题意得，4+4k>0, 解之得，k>- 1.故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 (awQ)的根的判别式？=b2-4ac与根的关系，有实数 根包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况2. B【解析】解：a=k, b= - 2, c=1, .=b24ac= (2) 2-4Xkxi=4- 4k> 0,解得：k< 1. k 是二次项系数不能为 0, kw0,即kw 1且kw 0. k为非负整数，k=l.故选B.点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件

9、.3. C【解析】【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式即可得出=8>0,由此可得出该方程有两个不相等的实数根，即A选项不符合题意；B (C)、设方程的两个实数根分别为m、n,根据根与系数的关系即可得出 m+n=-2、m?n=-1,由此即可得出 B选项不符合题意、C选项符合题意；D、 利用公式法求出方程的解，由此即可得出 D选项不符合题意.综上即可得出结论.【详解】解：A. .在方程 x2 2x 1 0 中，4 22 4 118 0,，该方程有两个不相等的实数根，A选项不符合题意;B、C,设方程的两个实数根分别为m、 nm+n=-2 , m如=-1 ,B选项不符合题意，C选项符合题意；

10、D.利用公式法可知：X 2 W 1 J2,2 .D选项不符合题意.故选：C【点睛】考查根与系数的关系，解一元二次方程-公式法，根的判别式，比较基础，难度不大4. D【解析】分析：根据根与系数的关系可得出XiX2=0,此题得解.详解： 一元二次方程X2- 2x=0的两根分别为X1和X2,-XlX2=0 .故选D. c点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于一是解题的关键.a5. A【解析】【分析】欲求X12+X22的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.【详解】由题意知，1 3XiX2= , Xi+X2= 一,2 222，2/3、215X 1 +X2 =（X1

11、+X2） -2X1X2= （一） -2X = .224故选A.【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是将根与系数的关系与代数式变形相结合【解析】解：方程X2- 6x- c=0有一个根为2, 设另一个根为 s,则有s+2=6,s=4.故选C.7. A【解析】 【分析】，、一，311 、一，.根据韦达7E理求信 X1 x2 3, X1 x2 ,然后由一 变形为含有Xi+X2和X1?X2的式子，2X1 X2并代入求值即可.【详解】丁方程2X2 6X 3 0的二次项系数a=2, 一次项系数b=-6 ,常数项c=3,3，根据韦达7E理，得 X1 X2 3, X1 X2 ,21 1Xi X2 c2.

12、X1 X2g故选:A. 【点睛】 2考查一兀一次万程 aX bX c 0 a 0根与系数的关系，熟记公式bc,心X1 X2一 ,X1X2 ,是解决本题的关键.aa8. A【解析】分析：由方程有实数根可知根的判别式b2-4ac>°结合二次项的系数非零，可得出关于a 元一次不等式组，解不等式组即可得出结论.a 5 0详解：由已知得：2,44 a 510解得：a>l且aw 5.故选A.点睛：本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关 键.9. A【解析】【分析】根据关

13、于x的一元二次方程x2+3x -7=0的两个实数根分别为 “、3,由一 元二次方程根的定义可得 j+3” =7由根与系数的关系可得 “ +3= 3,再把要求的式子变形 为(2+3a) + ( a +K最后把相应的数值代入进行计算即可得.【详解】.关于X的一元二次方程x2+3x - 7=0的两根分别为 8 3,"2+3 a =7 a + 3 - 3,a2+4 a + 3 =( a2+3 a) + ( a +)3 =7 3=4,故选A .【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练应用是解题的关键.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用 的解题方

14、法.10. A【解析】【分析】利用根与系数的关系求解.【详解】“，,、一，、1 一 ，解：当a=0时，方程是一兀一次方程，方程是 4x-1=0,解得x=-,是正根；4当aw 0时，方程是一元二次方程.a=a , b=4, c= - 1,. =16+4a>0,4、八x1+x2= - - > 0,ac 1 nx1?x2= - >0,a解得：-4< a<0.总之：-4< aw0.故选：A.【点睛】根与系数的关系：ax2+bx+c=0(a 0),x1x2应用时，需要把题目中化为包含两个根的和，两个根的积的形式，利用根与系数的关系，整体代入求值，这个方法贯穿中学数学考

15、试，高考中也是必考内容，所以需要特别掌握211.3【解析】解：3x22x6=0, .两根之和=-2=2.故答案为：2 .33312. 12石【解析】【分析】欲求| “-日的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再利用根与系数的关系可得：o+3=2(a 2),a3a2 5,而 a32= o+2 3 =2(a+ 3),a2 5=2 2(a 2),即可求得”的值，即可求得方程，解方程求得方程的两根，从而求得| a-耳的值.【详解】由题意知，a+ 3=2(a 2), a3a2 5,而 a32= a+2 3 2(a+3), /. a2 - 5=2 2 (a 2) , /. a2-4a+3=0,

16、解得：a1=1, a2=3.又.方程有两根， =4 (a-2) 2+4(a2-5) =- 16a+36>0,，aw ? ,，a2=3 舍去4,当 a=1 时，原方程化为：x2+2x - 4=0,解得：a = 1 -后,3。1+J5,I a- = 2 J5 .故答案为：1, 2币.【点睛】bc本题考查了根与系数的关系.1 .根与系数的关系为：x1+x2= b, x1x2=-.aa2 .将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.3 . 一元二次方程有根，则4>0.13. 3【解析】设两根分别为X1和X2,则|X1-X2|的最大值问题可转化为(X1-X2)2的最大值

17、问题，展开并利用韦 达定理将两根全部替换成a即可.【详解】设方程两根分别为 X1和X2,则：(X1-X2)2=(X1+X2)2-4X1X2,=(4a)2-4 >(5a2-6a),=16a2-20a2+24a,=-4a2+24a=-4(a-3) 2+36,，(Xi-X2)2=-4(a-3) 2+36 > 36当a=3时，(xi-x2)2可取最小值36,则|X1-X2|可取最小值6,故答案为3.【点睛】熟练掌握配方法以及韦达定理是解答此类题的关键14. 0【解析】【分析】根据方程x2- (2m-1) x+m2-1=0的两实数根为x1，X2,得出Xi+X2与X1X2的值，再根据 xi2+

18、X22=3 ,即可求出 m的值.【详解】解：,一方程 x2 (2m1) x+m21=0 的两实数根为 x1，X2,X1+X2=2m- 1, X1X2=m2 - 1 ./ X12+X22=(X1+X2)22x1x2= (2m1) 2- 2 (m21) =3,解得：m1=0, m2=2.丁方程有两实数根，= (2m-1) 2-4 (m2-1) >0,即mW - , /. m2=2 (不合题意，4舍去),，m=0.故答案为0.【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握X2是方程x2+px+q=0的两根时，X1 +X2= - p , X1X2=q.【解析】【分析】根据一元二

19、次方程根与系数的关系求解即可.【详解】丁方程x2 6x 4 0两根为Xi和X2,Xi X2 6, X1X24,Xi X2 Xi X2 6- （-4） =10.故答案为：6 ; -4; 10.【点睛】本题考查了一元二次方程aX2+bX+c=0 （aw。根与系数的关系，若 Xi, X2为方程的两个根，则Xi, X2与系数的关系式：Xi X2- , Xi X2 c .aa16. 7【解析】【分析】一元二次方程且二次项系数为i的方程的根与系数的关系：Xi+X2=-b （b是一次项数），XiX2=c （c是常数项），根据这一关系解答即可.【详解】因为，一元二次方程X2-3x+1=0的两根分别为 Xi,X

20、2，则Xi+X2=3, XiX2=i ,所以，X；+X2=（Xi+X2）2-2 XiX2=9-2=7故答案为：7【点睛】本题考核知识点：一元二次方程X2+bX+c=0根与系数的关系：Xi+X2=-b （b是一次项数），XiX2=C （c是常数项）.2117. 一4【解析】.Xi、X2是关于X的一元二次方程 X2 5x a 0的两个实数根，X| x2 5, x1 x2 a,22又. x1x2（x1 x2）（x1 x2） 10,x1x22又X1x2；(X| X2)2；(x1 X2)24x1 x2 ,-21j5 4a 2，斛倚：a -4.点睛：(1)若关于x的一元二次方程 ax2 bx c 0 (a

21、 0)的两根分别是 x1、X2 ,则：x1x2a,x1x2c ； (2)当 x1x20 时，x1x2J(x_x2")24x1x2.a218. -37【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程22m 4 x2 2x m2 m 12 0,求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根【详解】解：设方程的另一根为 x2,关于x的一元二次方程(m-4) x2+2x+m2-m-12=0 的一个根是 0,，x=0 满足关于 x 的一元二次方程(m-4) x2+2x+m 2-m-12=0 , ' m2-m-12=0 ,( m-4) ( m+3) =0,解得

22、，m=4或m=-3;m-4wQm=-3 ,又由根与系数的关系知0+x2= 2,77解得，x2=2,即方程的另一根是 2,77故答案为-3 ,.7【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根就是元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键【解析】 【分析】由方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，即可得根的判别式=b2-4ac=0,即可得方程9-4m=0,解此方程即可求得答案.【详解】,方程 x2-3x+m=0 有两个相等的实数根， =b2- 4ac= (-3) 2-4 x 1 x m=9 - 4m=0,解得：m=24|故答案为：:

23、【点睛】本题考查了二次方程根的判别式的知识.此题比较简单，注意掌握二次方程0时，方程无实数根.k的方程，求出k的取值.本题考查了根的判别式,总结:二次方程根的情况与判别式的关系：(1) >0?方程有两个不相等的实数根;(2) A=0?方程有两个相等的实数根;(3) < 0?方程没有实数根.21 . -1.ax2+bx+c=0 (aw0)的根与 =b2-4ac有如下关系：当> 。时，方程有两个不相等的两 个实数根；当 =0时，方程有两个相等的两个实数根；当<720.一3【解析】二次方程有两等根，则根的判别式=b2-4ac=0,建立关于.方程有两个相等的实数根,.=0,且

24、k-10又 = (k-1) 2-4 (k-1) ( k-2) =-3k2+10k-7, -3k2+10k-7=0 ,k= 7 ,3故答案为73【点睛】【分析】利用一兀二次方程根与系数的关系可知Xl+x2=-P=-3, X1?X2= =1 ,而aa(1+X1)( 1+X2)=1+X 1+X2+X1?X2,再把前面的值代入即可求出其值.【详解】一元二次方程 X2+3X+1=0的两根为X1和X2, X1+X2=- -=-3 , X1?X2= =1 ,aa而(1+ X 1)(1+ X2)=1+ X1+ X2+X1?X2=1-3+1=-1 ,故答案为：-1.【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是

25、熟练掌握X1+X2=-b, X1?X2=c.a a22. m=- 1,另一个根为-1【解析】【分析】由方程X2 2mx m 2 0的一个根为3可知9+6m+m-2=0 ,即可求出m的值，根据根与系数的关系求出另一个根即可.【详解】设另一个根为X1,丁方程X2 2mx m 2 0的一个根为3,/. 9+6m+m-2=0 ,解得：m=-1,X1+3=-2m=2 , X1=-1 ,故m=-1 ,另一个根为-1,【点睛】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题关键123. m> 一3试题分析：方程有两个不相等的实数根，则0,即可求出m得取值范围试题解析：原方程可变形为x2

26、 4x 5 3m 0.2关于x的一兀一次万程 x 2 3m 1有两个不相等的实数根，&4 2 4 5 3m 12m 4 0,-，一 1斛得：m 一.31，m的取值范围为m -.3点睛：一元二次方程有两个不相等的实数根，0.24. (1) m的取值范围为 m>- 1且mO; (2)不存在符合条件的实数m,理由见解析【解析】试题分析：(1)由于x的方程mx2+ (m+2) x+m =0有两个不相等的实数根，由此可以得 4到判别式是正数，这样就可以得到关于m的不等式，解不等式即可求解；(2)不存在符合条件的实数m.设方程mx2+ (m+2) x+m=0的两根分别为x1、x2,由根4一，

27、一m 2111 x1 x2 小 、，一 一与系数关系有：x1+x2=- m- , x1?x2= j ,又£ + £ =:，然后把前面的等式代入其中即可求m,然后利用(1)即可判定结果试题解析：(1)由1=(m 2)2 4 mm 0,得 m>-1,又 mO，m的取值范围为m>- 1且廿0；(2)不存在符合条件的实数m.x1x2设方程两根为x1，x2则x1x2X2解得m= - 2,此时< 0.，原方程无解，故不存在.25. k的取值范围为k>0且kw1.【解析】【分析】先由Jk有意义，得k>。又方程有两个不相等的实数根，得到 k-iwo,且4>

28、;0,即二(2灰)2-4 (k-1) =4,即可得到k的取值范围【详解】, ：、k要有意义，. . k> 0;又方程有两个不相等的实数根，k-1 W0且 A>。,即=(24)2-4(k-1)=4 ,得到 kwi;所以k的取值范围为k>0且kwi.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的情况列出不等式并求解.5226.当k 且k 1时，关于x的万程k 1 x 2k 1 x k 1 0有两个不相等的 4实数根.【解析】【分析】根据方程有两个不相等实数根，得出根的判别式>0,再建立关于k的不等式，求得k的取值范围，最后根据二次项系数不为零，从而得出答案.

29、【详解】解：根据题意得k 1 0且& (2k 1)2 4 k 1 k 10,5斛得k且k 1 ,452即当k 且k1时，关于x的万程k 1 x 2k 1 x k 1 0有两个不相等的实4数根.【点睛】一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) > 0时，方程有两个不相等的实数根；(2) =0时，方程有两个相等的实数根；(3) < 0时，方程没有实数根.27. (1)m wi 且 m# 0(2)件-2【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的定义和判别式得到mO且A= (2)24卅0,然后求解不等式即(2)先根据根与系数的关系得到Xl+X2= , X1X2=,再将已知条件变形得

30、mmX1X2-(X1 + X2)=-,然后整体代入求解即可.2【详解】(1)根据题意，得 mO且 A= (2)24m>0,解得m< 1且0.(2)根据题意，得 X1 + X2= , X1X2=一,mm- X1X2 X1 X2=；, 即 X1X2 (X1 + X2)=:,£_ 2_= 1mm2解得m=- 2.本题考查一元二次方程aX2+bX+c=0(a w耦的判别式和根与系数的关系(韦达定理) 根的判别式：(1)当=群-4ao0时，方程有两个不相等的实数根;(2)当 =b2-4ac=0时，方程有有两个相等的实数根;(3)当4加2-4acv。时，方程没有实数根.bc韦达te理

31、：右一兀一次方程 aX2+bX+c=0(a 金/两个头数根 X1, X2,那么X1+X2= , X1X2=.aa28 .1 m的取值范围是 m 4; 2证明见解析；3 m的最小值为6.(1)根据一元二次方程根的情况与判别式的关系解答即可；(2)根据由于方程 mX2+( n-2)X+m-3=0有两个实数根可知 m*O,当m>4时，即可得出两根的积 3 >0,从而得出方 程的两根符号相同；(3)由已知得mO, ”+3=L , “？牌二，再根据a： 3=1： 2,mm得出3 a = -? 2 a= ,再进行整理得出(n-2) 2= m ( m-3),根据 m>4,且n为mm2整数，得出m为整数，即可得出答案.【详解】221 关于X的万程X 2m 4 x m 5m没