利用导数研究函数的极值、最值 (1)

1、第第 2 课时课时利用导数争辩函数的极值、最值利用导数争辩函数的极值、最值一、选择题1.(2016四川卷)已知 a 为函数 f(x)x312x 的微小值点，则 a()A.4B.2C.4D.2解析f(x)3x212，x0，2x2 时，f(x)2 时，f(x)0，x2 是 f(x)的微小值点.答案D2.函数 f(x)12x2ln x 的最小值为()A.12B.1C.0D.不存在解析f(x)x1xx21x， 且 x0.令 f(x)0， 得 x1； 令 f(x)0， 得 0 x1.f(x)在 x1 处取得微小值也是最小值，且 f(1)12ln 112.令 f(x)0，得 xk1.f(x)与 f(x)随

2、 x 的变化状况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).(2)当 k10，即 k1 时，f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k11，即 k2 时，f(x)在0，1上单调递减，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(1)(1k)e.综上，当 k1 时，f(x)在0，1上的最小值为 f(0)k；当 1k0，b0，且函数 f(

3、x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，若 tab，则 t 的最大值为()A.2B.3C.6D.9解析f(x)12x22ax2b，则 f(1)122a2b0，则 ab6，又 a0，b0，则 tabab229，当且仅当 ab3 时取等号.答案D12.(2017长沙调研)若函数 f(x)13x3x223在区间(a，a5)上存在最小值，则实数 a 的取值范围是()A.5，0)B.(5，0)C.3，0)D.(3，0)解析由题意，f(x)x22xx(x2)，故 f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其图象如图所示.令13x3x22323得，x0 或 x3，则结合图象可

4、知，3a0，解得a3，0)，故选 C.答案C13.函数 f(x)x33axb(a0)的极大值为 6，微小值为 2，则 f(x)的单调递减区间是_.解析令 f(x)3x23a0，得 x a，则 f(x)，f(x)随 x 的变化状况如下表：x(， a) a( a， a)a( a，)f(x)00f(x)极大值微小值从而（ a）33a（ a）b6，（ a）33a ab2，解得a1，b4.所以 f(x)的单调递减区间是(1，1).答案(1，1)精选文档314.(2017济南模拟)设函数 f(x)ln(xa)x2.(1)若当 x1 时，f(x)取得极值，求 a 的值，并争辩 f(x)的单调性；(2)若 f(x)存在极值，求 a 的取值范围，并证明全部极值之和大于 lne2.解(1)f(x)1xa2x，依题意，有 f(1)0，故 a32.从而 f(x)（2x1） （x1）x32，且 f(x)的定义域为32，当32x0；当1x12时，f(x)12时，f(x)0.f(x)在区间32，1，12，上单调递增，在1，12 上单调递减.(2)f(x)的定义域为(a，)，f(x)2x22ax1xa.方程 2x22ax10 的判别式4a28，若0，即 2a 2时，f(x)0，故 f(x)无极值.若0，即 a 2，则 2x22ax10 有两个不同的实根，