三角函数公式的推导及公式大全

1、诱导公式 目录·诱导公式·诱导公式记忆口诀·同角三角函数基本关系·同角三角函数关系六角形记忆法·两角和差公式·倍角公式·半角公式·万能公式·万能公式推导·三倍角公式·三倍角公式推导·三倍角公式联想记忆·和差化积公式·积化和差公式·和差化积公式推导诱导公式诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin2ksincos2kcostan2ktancot2kcot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角

2、函数值之间的关系：sinsincoscostantancotcot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sinsincoscostantancotcot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sinsincoscostantancotcot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin2sincos2costan2tancot2cot公式六：/2±及3/2±与的三角函数值之间的关系：sin/2coscos/2sintan/2cotcot/2tansin/2coscos/2sintan/2cotcot/2tansin3/2c

3、oscos3/2sintan3/2cotcot3/2tansin3/2coscos3/2sintan3/2cotcot3/2tan(以上kz) 诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于k·/2±(kz)的个三角函数值，当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变；当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sincos;cossin;tancot,cottan. 奇变偶不变然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。符号看象限例如：sin(2)sin(4·/2)，k4为偶数，所以取sin。当是锐角时，2(270°，360°)，sin(2

4、)0，符号为“”。所以sin(2)sin上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把视为锐角时，角k·360°+kz，-、180°±，360°-所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦” 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”； 第二象限内只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限内切函数是“”，弦函数是“”； 第四象限内只有余弦是“”，其余全部是“” 其他三角函数知识：同角三角函数基本关系

5、同角三角函数的基本关系式倒数关系:tan ·cot1sin ·csc1cos ·sec1商的关系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方关系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：参看图片或参考资料链接构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。1倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；2商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积。由此，可得商数关

6、系式。3平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式两角和与差的三角函数公式sinsincoscossinsinsincoscossincoscoscossinsincoscoscossinsin               tantantan               1tan ·tan   &

7、#160;           tantantan               1tan ·tan 倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式升幂缩角公式sin22sincoscos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()          2tantan2        1tan2()半角公式半

8、角的正弦、余弦和正切公式降幂扩角公式              1cossin2(/2)                2              1coscos2(/2)              

9、0;  2              1costan2(/2)             1cos万能公式万能公式        2tan(/2)sin       1tan2(/2)       1tan2(/2)cos   &#

10、160;   1tan2(/2)       2tan(/2)tan       1tan2(/2)万能公式推导附推导：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，因为cos2()+sin2()=1再把*分式上下同除cos2()，可得sin2tan2/(1tan2()然后用/2代替即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos

11、        3tantan3()tan3        13tan2()三倍角公式推导附推导：tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以cos3()，得：tan3(3tantan3()/(1-3tan2()sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3

12、()sin2sin2()3sin4sin3()cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos即sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元 减 4元3角欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)余弦三倍角：4元3角 减 3元减完之后还有“余”注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化积公式三角函数的和差化积公式       

13、                   sinsin2sin-·cos-                  2             2             

14、60;          sinsin2cos-·sin-                   2            2                       

15、 coscos2cos-·cos-                           2             2                         &

16、#160; coscos2sin-·sin-                      2            2积化和差公式三角函数的积化和差公式sin ·cos0.5sinsincos ·sin0.5sinsincos ·cos0.5coscossin ·sin 0.5coscos和差化积公式推导附推导：首先,我们知道si

17、n(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,假设把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(c

18、os(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就

19、可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)利用变角思想. A=(A+B)/2+(A-B)/2 B=(A+B)/2-(A-B)/2 sinA+sinB=sin(A+B)/2+(A-B)/2+sin(A+B)/2-(A-B)/2 =sin(A+B)/2*cos(A-B)/2+cos(A+B)/2*sin(A-B)/2+sin(A+B)/2*c

20、os(A-B)/2-cos(A+B)/2*sin(A-B)/2 =2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2 其它的同理可得 答复：2008-09-21 15:32提问者对答案的评价：共0条评论.其他答复 共1条答复评论 举报 SBB55学长 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb两式求和得 sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb此式从右往左即为积化和差 令a+b=x.a-b=y,则a=(x+y)/2,b=(x-y)/2得 sinx+siny=1/2*sin(x+y)/2cos(x-y)/2这就是和差化积 仿

21、此可得其余6个公式 三角函数相关公式大全关键词： 三角公式    三角函数                                           最近复习微积分,几个

22、三角函数的转换弄得我晕头转向,本来高中的时候就没记熟,现在又得记一遍了=.=好郁闷,进度太慢了.1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图    在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：· 正弦函数· 余弦函数· 正切函数· 余切函数· 正割函数· 余割函数1.2 直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图    在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：· 正弦函数· 余弦函数· 正切

23、函数· 余切函数· 正割函数· 余割函数2 转化关系2.1 倒数关系2.2 平方关系2 和角公式 3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式3.2 半角公式3.3 万能公式4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式4.2 和差化积公式  三角函数公式大全三角函数1. 与0°360°终边相同的角的集合角与角的终边重合：终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合： 终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合：假设角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：假设角与角的终边关于y轴对称，则角与角的

24、关系：假设角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad°57.30°=57°18 1°0.01745rad3、弧长公式：. 扇形面积公式：4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取异于原点的一点Px,yP与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .5、三角函数在各象限的

25、符号：一全二正弦，三切四余弦6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函数的基本关系式： 9、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：一基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 二角与角之间的互换公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 , ,. 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：A、0定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数；上为增函数上为减函数上为增函数上

26、为减函数上为增函数；上为减函数注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，假设在上递增减，则在上递减增.与的周期是.或的周期.的周期为2，如图，翻折无效. 的对称轴方程是，对称中心；的对称轴方程是，对称中心；的对称中心.当·；·.与是同一函数,而是偶函数，则.函数在上为增函数.× 只能在某个单调区间单调递增. 假设在整个定义域，为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称奇偶都要，二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.定义域不关

27、于原点对称奇函数特有性质：假设的定义域，则一定有.的定义域，则无此性质不是周期函数；为周期函数；是周期函数如图；为周期函数；的周期为如图，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： . 有.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数yAsinx的振幅|A|，周期，频率，相位初相即当x0时的相位当A0，0 时以上公式可去绝对值符号，由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长当|A|1或缩短当0|A|1到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换用y/A替换y由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长0|1或缩短|1到原来的倍，得到ysin

28、 x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向左当0或向右当0平行移动个单位，得到ysinx的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向上当b0或向下当b0平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移用y+(-b)替换y由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsinxA0，0xR的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法1.三角函数恒等变形的基本策略。1常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tan

29、x·cotx=tan45°等。2项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=+，=等。3降次与升次。4化弦切法。4引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。2.证明三角等式的思路和方法。1思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。2证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三

30、角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。1发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。2寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。3合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例1已知，求1；2的值.解：1； (2) .说明：利用齐次式的结构特点如果不具备，通过构造的方法得到，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例2求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，当时，所以，函数的值域为。例3已知函数。1求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；2证明：函数的图像关于直线对称。解： (1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：

31、欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。例4 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 xR,1当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；2该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：1y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x1)+ +2sinx·cosx+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2k,kZ，即 x=+k,kZ。所以当函数y取最大值时，

32、自变量x的集合为x|x=+k,kZ2将函数y=sinx依次进行如下变换：i把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；ii把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数y=sin(2x+)的图像；iii把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍横坐标不变，得到函数y=sin(2x+)的图像； iv把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。说明：此题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂

33、后最终化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。此题1还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx0时，y=+1=+1化简得：2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得：yymax=，此时对应自变量x的值集为x|x=k+,kZ例5已知函数 将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； 如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解： 由=0即即对称中心的横坐标为由已知b2=ac 即的值域为.综上所述， ， 值域为 . 说明：此题综合运用了三角函数、余

34、弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例6在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，(1)求的值；(2)假设，且a=c，求的面积。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因为，所以，因为，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为。三角函数一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)1已知点Ptan，cos在第三象限，则角的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2集合Mx|x±，kZ与Nx|x，kZ之间的关系是 A.MNB.NM C.MN D

35、.MN 3假设将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 A.60° B.60° C.30° D.30° 4已知以下各角1787°，(2)957°，(3)289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是 ( )A.12 B.23 C.13 D.24 5设a0，角的终边经过点P3a，4a，那么sin2cos的值等于 A. B. C. D. 6假设cos()，2，则sin(2)等于 A. B. C. D.± 7假设是第四象限角，则是 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 8已知弧度数为2的圆心

36、角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 A.2 B. C.2sin1 D.sin2 9如果sinxcosx，且0x，那么cotx的值是 A. B.或 C. D. 或 10假设实数x满足log2x2sin，则|x1|x10|的值等于 A.2x9 B.92x C.11 D.9 二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)11tan300°cot765°的值是_. 12假设2，则sincos的值是_. 13不等式lg20)2cosx1，(x(0，)的解集为_. 14假设满足cos，则角的取值集合是_.15假设cos130°a，则tan50°_. 16

37、已知f(x)，假设(，)，则f(cos)f(cos)可化简为_. 三、解答题本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17本小题总分值12分设一扇形的周长为C(C0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？18(本小题总分值14分设90°180°，角的终边上一点为Px，)，且cosx，求sin与tan的值.19(本小题总分值14分)已知，sin，cos，求m的值.20(本小题总分值15分)已知0°45°，且lg(tan)lg(sin)lg(cos)lg(cot)2lg3lg2，求cos3sin3的值.21(本小题总分值15分)已知sin(5)cos()和cos()cos()，且0，0，求和的值. 三角函数一、选择题本大题共10小题，每题5分，共50分1以下函数中，最小正周期为的偶函数是 A.ysin2x B.ycosC.ysin2xcos2xD.y 2设函数y